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江苏昆山中学高三数学模拟试卷 2010年8月一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，不需要写出解答过程。）1已知，函数为奇函数，则。2定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为 。3设为实数，且，则。4若函数，（且）的值域为R，则实数的取值范围是。5设平面内有四个向量，满足，设为的夹角，则 。6双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是。7相交成90角的两条直线和一个平面所成的角分别为30和45，则这两条直线在该平面上的射影所成锐角为 。8设，则的取值范围是。9设P、Q是曲线的任意两点，则直线PQ的倾斜角的取值范围是。10已知函数，若存在，当时，恒成立，则实数的最大值为 。11已知函数的最小正周期是，则。12如下图所示有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 。二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的。）13若直线始终平分圆的周长，则的范围为A（0，1） B（0，1C（，1）D（，114已知，且，则点A的轨迹为A直线和若干个点 B直线和单位圆C若干条直线D单位圆和原点15期中考以后，班长算出了全班54个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原54个分数一起，算出这55个分数的平均值为N，则的值为A1 B C D16设函数的图像如下图，则的大小为A B C D三、解答题（本大题共5小题，共80分。写出必要的计算过程及推理证明。）17（本小题满分14分）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（1）最多能过几关；（2）连过前三关的概率是多少？18（本小题满分16分）如果不等式（为常数）对恒成立，求实数的取值范围。19（本小题满分16分）如下图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O。设PA平面ABCD，ECPA，且PA=2。（1）当CE为多少时，PO平面BED；（2）在（1）的情形下，求二面角EPBA的大小。20（本小题满分16分）过抛物线上一点A（1，1）作抛物线的切线交轴于D，交轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。21（本小题满分18分）已知函数关于点（1，1）成中心对称，且。（1）求函数的表达式；（2）设数列满足：，。求证：江苏昆山中学高三数学模拟试卷 2010年8月数学试题参考答案一、填空题10218 34456 78R 9104 11112二、选择题13D 14D15A 16C三、解答题17由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（1）因骰子出现的点数最大为6，而6424，6525，因此，当时，第次抛掷出现的点数之和已不可能大于，即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。（2）设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”。第关游戏中，基本事件总数为个。第1关：事件A1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为第2关：事件A2所含基本事件数为方程，当分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）过此关的概率为：第3关：事件A3所含基本事件数为方程，当分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）过此关的概率为：故连过前三关的概率为18显然，当时，取任意实数不等式恒成立。时，原不等式可变为，即故，在上为增函数，所以当时，在（0，1上，当时，此时，要使存在，必须有，即当时，在（0，1上，为减函数；当时，其值最小，所以综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；显然不可能大于或等于。19（1）当CE=1时，PO平面BED证明如下：四边形ABCD为正方形，ACBDPA平面BD，AO为PO在平面BD上的射影，BDPO过点E作EFAC，交PA于点F，连接OE，则PE2=EP2PF2，PE=3，在POE中，P E2=PO2OE2，POOEBDEO=O，PO平面BED（用向量法证明本小题参照给分）（2）方法一：以A为原点，直线AD为轴，直线AB为轴，直线AP轴建立空间直角坐标系，是平面PAB的一个法向量，且设是平面PBE的一个法向量，由，得， 解得，令，则，二面角EPBA的大小在区间（，）内，故二面角EPBA的大小为方法二：如下图，过E作EF平面PAB于F，过F作FHPB于H，连EH，则EHF为二面角FPBE的平面角易证四边形ABRP为正方形，且F为RB的中点，FB=1，易得在RtEFH中，从而因所求二面角为二面角FPBE的补角，故所求的二面角的大小为20解法一：过抛物线上点A的切线斜率为，切线AB的方程为B、D的坐标为B（0，1），D（，0），D是线段AB的中点。设P、C、E，F由得，由得，EF所在直线方程为：化简得当时，直线CD的方程为联立解得，消去，得P点轨迹方程为：当时，EF方程为：CD方程为 联立解得也在P点轨迹上因C与A不能重合，所求轨迹方程为解法二：由解法一知，AB的方程为，B（0，1），D（，0）故D是AB的中点。令，则因为C