第六届初赛试题解答.pdf

第3 期高云峰 第六届全国周培源大学生力学竞赛初试试题参考答案 9 5 水晶板由于自重而微微弯曲 如果不安装滚轴D 水晶球在 板上可以摆放的任意位置都不能平衡 魔术师的问题如下 1 如果把滚轴D 安装在A B 板的B 处 此时A B 板 由于自重所导致的最大挠度在何处 2 如果把滚轴D 安装在A B 板之间的某处 有可能 使水晶球 在板上静止 且球与板的接触点恰好是B 点 如果不需要具体计算 如何说明滚轴D 是更靠近A 点还是 更靠近B 点 定性画出此时A B 板挠度的示意图 3 如果把滚轴D 安装在A B 板的中点 能否让水晶 球0 在A D 之间某位置平衡 接触点为C t 同时让水晶 球0 2 在D B 之间某位置平衡 接触点为C 2 观众试着摆 弄了很久 总是顾此失彼 最终也没有成功 如果你认为本 问题有解 A C l 和A Q 的水平距离是多少 如果没有解 如何证明 魔术师解释说 虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同 但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料 很光滑 说完 在后落下的水晶球0 l 表面贴上了小纸片以示区别 假设小 纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量 只见魔术师对两个水晶球吹了吹 声称已经把魔力注入 其中 然后小心地把贴有纸片的0 1 球静止放在板上 接触 点为B 点 同时让纸片远离接触位置 松手后水晶球0 1 竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B 点 在观众的掌声中 魔术师撤走了0 1 球 把0 2 球拿了 起来 这个水晶球不太听话 我的魔力只能管1 分钟 魔术师说完把0 2 球转了转 然后更加小心地把0 2 球也放 在板上 接触点为B 点 观众发现 0 2 球在B 点停留了大 约1 分钟 然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B 端 掉了下来 1 根据题目叙述 试判断哪个水晶球涂了新型材料 2 水晶球0 1 可在B 点一直稳稳地停留 简要叙述其 原理 分析其中所涉及的关键参数 以及各参数应满足的必 要条件或关系 3 水晶球0 2 只能在B 点停留很短的时间 简要叙述 其原理 分析其中所涉及的关键参数 以及各参数应满足的 必要条件或关系 图3 4 技高一筹的魔术师 2 5 分 魔术正式开始 仍用上一题中的道具 板和球的具体参 数见第三题 魔术师首先撤去了滚轴D 观众看到两个水晶球在板 上任意位置静止释放 都会从板的B 端掉下去 但是细心的 1 观众发现 即使两水晶球放在板的相同位置 掉下去所需时注 第4 题解答中所用的参数都应在第3 第4 题中提 问却明显不同 及过 第六届全国周培源大学生力学竞赛初试试题参考答案 高云峰 清华大学航天航空学院 北京1 0 0 0 8 4 1 0 F C C O S 1 一丽S 2 s 的限制为s 佩 2 e 9 1 号码为9 C E 0 目 a r c c o s 1 一淼 为与地面的碰撞 3 e e 号码为6 c E H 如 o p c o s t 一高 2 骄傲自满的大力士 3 5 分 1 T 夏i 大力士拉绳的姿势不影响绳中 2 危险点坐标为 o 2 1 D c s 学 一 D s i n p 万方数据 第3 期刘延柱 再谈荡秋千 兼谈自激振动 图2 绳系卫星 附录 利用单摆简化模型对荡秋千运动作定性分析 将摆长 f j 妒 作为摆动角妒的函数 给出变长度单摆的动力学方 程 孚 s i n s p 0 1 其中以点号和撇号表示对时间t 和摆动角妒的导数 引入变 量z 妒 Y 驴 仅保留z 的一次项 化为一阶自治系统 五d y 一 考一 孚 可 2 方程 2 确定 z Y 相平面内的相轨迹 设摆长的控制规律 为 f l o 1 E z 3 其中参数 为小量 其符号与Y 的符号相反 s H s i g n y 4 控制规律 3 4 为人体重心缓慢升高 至最高点处快速下 降过程的近似表达 图3 将其代入方程 2 保留 的一次 项 化为 五d y 一 里 兰 2 I II 可I l Y 5 d z 7 上接第9 5 页 3 大力士在目 0 时最接近拉坏球门 T 1 0 3 5 6 0 M P a 夫人进入圆圈内 p 9 0 0 时可以有0 1 0 3 5 7 9M P a 3 顾此失彼的挑战者 3 0 分 1 最大挠度处 z 学j o 5 8 f 2 滚轴D 更靠近B 点 挠度示意图如下 图3 受控的变长度摆 s 0 为等长度单摆情形 其相轨迹微分方程为 五d y 一 里l o 孑 6 d o 所确定的相轨迹为围绕奇点茁 Y 0 的椭圆族 4 将变 长度单摆的方程 5 与方程 6 对照 其右边第1 项接近相 同 所确定的相轨迹仍接近椭圆 第2 项为保持正值的斜率 增量 其存在使 z Y 相平面内的方向场偏向椭圆外侧 所 确定的相轨迹必向外扩展 表明摆幅将不断增长 对相轨迹 曲线作数值计算 得到的结果与定性分析一致 3 参考文献 1 武际可 从荡秋千说开去 漫话共振 力学与实践 2 0 0 3 2 5 2 7 5 7 8 2 潘百齐 全唐诗精华分类鉴赏集成 南京 河海大学出版社 1 9 8 9 1 2 7 4 3 刘延柱 忻鼎亮 人体的自激摆动 上海力学 1 9 8 5 6 4 6 5 6 7 4 刘延柱 陈文良 陈立群 振动力学 北京 高等教育出版社 1 9 9 8 2 4 4 5B a r k o vB S t e i n d lA T r o g e rH At a r g e t i n gs t r a t e g yf o rt h e d e p l o y m e n to fat e t h e r e ds a t e l l i t es y s t e m I M AJA p p l i e d M a t h e m a t i c s 2 0 0 5 7 0 6 2 6 6 4 4 6M a g n u sK S c h w i n g u n g e n S t u t t g a r t B G T e u b n e r 1 9 6 9 1 3 3 解不存在 证明见解题过程 四 技高一筹的魔术师 2 5 分 1 水晶球D 2 涂了新型材料 2 关键参数tp 1 t a n O S 纸片重量 G 鬟糍 虻 筹 3 关键参数 p 2 t a n 初始角速度 u 1 5 0 9s i n 0 B r 万方数据 第六届全国周培源大学生力学竞