线性模型引论(王桂芬著)课后习题答案.doc

第五章5.5由模型表示模型的残差由和分别为n*(p-q)和n*q的矩阵rk(x)=p得由为的解由（5.1.7）得此时则原模型可简化为如下模型： 因为为可知为模型的约束条件，在约束条件下，模型的残差为由于则的似然比检验可以写成5.6两个线性模型 其中I =1,2为了导出所需要的经验统计量，将两个模型写成矩阵形式 将它们合并，得到如下模型 要检验的假设为 （2）其中若记，为从模型（1）得到的LS估计于是有 （3）由于为求在约束条件（2）下的残差平方和，把约束条件下融入模型，当（2）成立时记它们公共值为，代入模型得约简模型原模型中在约束条件（2）下的LS估计，记为,故在约束条件的残差平方和相应的检验统计量为其中5.7 设yi=0+1xi+ei i=1.n eiN(0,2) 且相互独立，对一切线性组合a00+a11(a1a00) 做出置信系数为1- 的同时置信区间解：因为依题意：xi=xi1,xi2.xn,是n维向量，ei, i=1.n,为一列独立向量，服从eiN(0,2)分布，对一切线性组合a00+a11根据bonfrroni区间，P(h-h)2h(xx)h2F1,n-r()=1-F分布与t分布之间关系，F1,n-r=tn-r2记tn-r(2)自由度为n-r的t分布 上侧2分点。上式中：var(h)=2h(XX)-h,于是h(XX)-h是h的标准差的估计，记：h=h(XX)-h，则区间为公式： （h-tn-r2h , h+tn-r2h ) （1）依据区间公式（1），可知，一切线性组合a00+a11的置信系数为1-的同时置信区间为：a00+a11-tn-r2aii ,a00+a11+tn-r2aii 第六章6.2 （1）因为X=X1X212所以正则方程XX=Xy X1X2X1X2=X1yX2y 有 X1x1x1x2x2x1x2x2=x1yx2y 得=(X1X1X1X2X2X1X2X2)-1x1yx2y由因为(X1X1X1X2X2X1X2X2)-1=X1X1-1+ADA-AD-DAD其中A=(X1X1)-1X1X2， D=X2I-PX1X2-1=12=(X1X1)-1+ADA-AD-DADX1yX2y=(DX2y-AX1y所以 2=X2I-PX1X2-1X2y-X2X1(X1X1)-1X1y即证（2）又 (X1X1X1X2X2X1X2X2-1=(X1X1)-1+ADA-AD-DAD所以cov（）=cov（12）=2(X1X1)-1+ADA-AD-DAD所以cov（2）=2D=2X2I-PX1X2-16.3、（1） 得到的约简模型：相当于约束条件为：此时对于原模型：所以所以 其中（2） 同理可得：同理： 此时： （3）、同理： 第三题证明：一、 =二、k=（k）证：一、由=，=，且=-1y 可得，=-1（）y=-1y=-1y =-1y=-1y =二、由=且k=+k-1y，得 k=+k-1y=+k-1y =+k-1y =（k） 第四题判断：在定理6.7.1中，存在k0,使得（6.7.7）式对任给的向量都成立。答：错误。使得命题正确的参数k依赖于未知参数，且对于相对较小的，才会存在k使得命题成立。第七章7.3 解： 检验线性假设： 等价于检验线性假设： 于是 令 即有 若不拒绝，则模型可以简化为 其矩阵形式为 其中， 它的正则方程为 于是在下的约束解为、 则 而（书上第一节已给出） 由第五章的知识知道统计量具有以下形式 其中。于是这里统计量为其中以上已给出。习题7.5解：对于随机误差项相互独立的两向分类模型可写为矩阵形式显然，且对于和的任意的可估函数和的BLU估计为和，可求得故和正交。第七章第三题P232（7.5.1） （7.5.2）构造模型（7.5.1）在（7.5.2）原假设下的似然比。解：由已知可得：其中依然函数为：可得的MLE为：，其中，假设在下则检验问题的似然比统计量为其中：在原假设成立时，随着的增大而以分布收敛于。但是对照p234上（7.5.6）和（7.5.7）却没有发现陈老师说的结论，即代替，代替。第八章1.求证（8.3.3）式 以及可逆。证明：（1）记为纯方差分析模型中参数在约束下的解，则对应的残差平方和为 （8.3.2） 其中由于是在上的投影的平方和，故有是上的正交投影阵，即为在约束下，列张成空间的子空间的正交补空间的正交投影阵，又记为协方差分析模型在约束下的参数和的约束解对应的残差平方和，则可知与的关系和与的关系完全一样，故由（8.3.1）式和（8.3.2）式知成立。 （2）设，则由的幂等性得 ， 即。因而，这里。由于 的列与的列线性无关，此式意味着。由于从可以推出，所以的列线性无关，因此它是非奇异的，即可逆。8.4对于一个协变量的单项分类模型：其残差平方和： 相应地 由 式（8.2.2） 回归系数的LS估计为 。由定理8.1.1知，可估。又由定理4.1.2知，对于任意的可估函数，LS估计为其唯一的BLU估计。 所以，的BLU估计为 由式8.2.4得的LS估计为 = 。相应地 ， 的BL