轮胎受力分析.pdf

自 年 月 第 卷第 期 西湘工 业大 学学报 轮胎受 力 分析 竺润祥 谭永 华 姜晋庆 弓毅 竺润祥副教授 摘要轮胎 力学是计算力学领域中比较复杂而新兴的一个分支 它伴随 着非 线性 有限元法发展而产生 本文着重介绍重直载荷作用下 充气轮胎的两种计算方法 一种是傅氏级数解法 把非 对称的垂直载荷展 成傅氏级数 从而将它简化为轴对称 问题求解 另一 种是几 何非线性接触问题解法 把轮胎看作 与地面接触的离散了的物体 采用接触体 有限 元 法解得 变形 有关算例已列于 文中 结 果表明 上述分析方法可行而正确 不仅 可供轮胎设 计工作者应用而且为类似结构分析提供了有力工具 关键词轮胎 有限元素法 弹性接触 引言 轮胎 在 国 民经济 中起着重要作用 但对它进行受力分析却是近年来才可 能实现的事 因 为轮胎 虽小但结构复杂 涉及非线性力学领 域 最近 美国 所属某研究所将轮胎力 学列入计划研究课 题 原因是 航天飞机中轮胎 是重 要部件之一 而且它标志着计算力学 的研究水平 达到了新的高度 充气轮胎是一个复杂受力系统 首元 轮胎在内压和地面载荷作用下 几何形状 明显变 化 小变形假设不再适用 其次 轮胎与基体橡胶和加 强 层帘线复合而成 而基体橡胶刚度 远小于帘线刚度 加之 橡胶呈超弹性和粘弹性 在 动态 下还有热 应力和轮胎呈 双曲率形 状 这样给受力分析带来很大困难 早 期 采用实验测得变形和应力 但成本高 周 期长且受环境影响 随着有限元 法完善 和发展 轮胎力学于 年代末开始兴起 相继建立了下列 模型 膜元模型 缺点在 本文收到日期 年 月 日 西北工业大学副教授 光大实业公 司工程师 了基地工程师 西北工业大学学报第 卷 于不能处理载荷 形状和材料不连续性 二维轴 对称元模型 局限于分析轴对称载 荷 三维连 续元 模型 不足 之处是耗费机时和容量 作为简化 应用半分析法以使问题降 价 例如本文欲研究的傅 氏解法 厚壳元模 型 后两种模型正处于应用发展阶段 本文介绍在垂直载荷作用下充气轮胎 受力分析的两种方法 傅氏解法 轮胎是一个旋转体 其几何形状可视作以轮 胎剖 面轮廓线为母线绕转动轴旋 转一周而 成 见图 采用圆柱坐标系 叩礼 为分析方便起见 认为加载按下列 步骤进 行 首先充气到指定值 然后以此状态作为轮 胎 承受垂直载荷作用的初始状态 加全 量 垂 直载 荷 轮 胎 在气压作用下受力分析可采 用轴对称非 线性有限 元法得到解答 在被离散的 剖面内每一 个节点有沿 和 方向两个 自由度 一旦气压已 知便可通过轴对称 非线 性有限元方程的增量 迭代 形式求得位移 垂直载荷被认为作用在轮胎旋转轴的对称铅 图 轮胎形状 垂面内 例受 地面反力尸作用 将它 沿周向进行傅氏展开 即 二 一 一 二 旧 二 艺尸 二 口 尸 口 二 乙 尸 二 主 夕 相应地 结构上某点位移 也展成傅氏 级数形 式 即 二 乙 二 口 二 二 拐 艺 二 二 名 二 口 采 用有限元法进行 分析时 元素位 移场为 乙 二 式 中 表 示元素节点个数 将式 代入 式 位移场为 第 期 竺润祥等 轮胎受力分析 艺 口 犯 艺 艺 心 艺 二 根据上述的加 载步骤 式进行 即 在垂 直载荷作用下充气轮胎受力分析可采 用非线性有限元方 程形 艺 二 足 乃目 份 式中 口 为弹性刚阵 万 和 二 分别为初位移和初应力刚阵 它 们所需的初 位移和初应 力即达到 指定充气值 时的相应值 右端项即为垂直载荷值 由于一次加足全量 因此可通过 求解式 直接求得位移值 口 和 表达式已由 推得 不再在此赘述 采 用 本法求解时 接触区和压力分布规律预先假定或由实测得到 几何非线性接触解法 充气轮胎在地面反力作用下受力分析还可采 用接触问题求解 由于 此 时轮胎已处于大变 形范围 因此必须考虑几何非线性 为简化起见 作下列侣设 接触力仅通过接触节点对传递 接触边界光滑连续 忽略摩擦力影响 设口 和口 为两个接触体 分别视 它们作独立的 隔离体的话 可建立各自平衡方程为 尸 式中 为刚度矩阵 为节点位移 尸为外载 而 表示作用在接触体上一组大小相等方 向相反的接触力 为 占 声 朴 在全部可能接触区内的节点对 以下用 下标表示 处 每一节点对间距方程为 一 式中 凡 和 分别表示可能 接触点对的初始间距和 相对间距 而 和 分别表示月 和口 接触体 沿接触点对各自局部标架的位移向量 由式 可求得 和 并令 一 一 一 一 一 一 下标 表示摘 取与接触节点对有关的行与列而组成 的矩阵 或向量 这 样 式 可改写为 图 刚体位移表达方式 由于轮胎靠与地面接触边界支持 因此必须引入指定位移边界条件 以消除总 刚阵的 奇异性 即轮胎刚体位移 令轮胎为口 体而地面为口 体 在口 体上选择 和 三 西北工业大学学报 第 卷 点 要求 轴平行 于总体坐标系 二 轴 轴平行 二 轴 而 王心嵋呢 此 咚呢 这样 口 体内任一点 在总体坐标系内由于 上述刚体位移而产生的位移为 盆 二 全 一 鑫 一 呈 鑫二 墨一 二盆一 二呈 鑫一 县 戏 一 盆 竺一 雪 二全一 二呈 三 一 二全 劣 盆 一劣呈 仓一 置 一 呈 基一 盆 一一 一下一石 护 劣玉一 劣 一 雪 义 产 彗 基一 鑫 对于 口 体全部接触点对 至 一 用 劣呈 一劣贯 劣号一 劣雪 二要一 盆 表示的刚体位移可表示为 式中 为由总体坐标系向局部标架间坐标转换阵 由式 得 成 一二妥 劣全一劣盆 二 宜 一二全 劣全一劣星 二 一二盆 盆 一劣呈 二 一二雪 至 一 呈 二皇一二呈二 雪 一二言 二皇一二全 宝 一二呈工号一二雪 戈呈一劣呈 二雪一 雪 劣竺一 雪 二遵一二呈 全 一劣雪 二至一 二扩 劣盆一 了 盆 一劣凳 劣盆一劣呈 劣盛一 劣县 劣若一 子 一一 一 这样 间距方程 中应增加由于刚体位移而引起的项 即式 表示的值 o o e ER u p u 口 1 2 此外 口 体在局部标架系内的平衡方程为 QR P 0 13 式中 Q 二 Q T T 为坐标转换阵 Q的表达式为 川 州川川川司 一 一 一 i 一 二 一 夕 一 灭x盛一劣舀 又xi一 xi x盛一 劣孟 一 二生一 x 全 0 在接触区内的接触边界条件为 R 0 R 0 若 0 若 0 表示接触 表示分离 i二1 2 k 14 式中i表示第i个接触节点对 共有k可能接触点对 由式 12 至 14 组成考虑刚体位移接触方程组 维数为 6 k 6 通过线性规划法可求得 R s 和 口 也是 6k十6个 而几何非线性有限元方程采用修正牛顿法求解 第2期竺润祥等 轮胎受力分析 3 算例 3 1试求充有4 50 8 x10 P a 内压的 6 5 0R1 6 型 在 地面反力764 4N作用 下的变形及接触区下 沉量 轮胎 网格图见图 3示 按材料分为各向同性 胎面胶 和正交 异 性 子午 胎体和带 束 层 两类 采用 三角形和四 六节点元素 采用傅氏解法 接触区假设 为椭圆形 长 短半轴由实验测得 压力分布规律设 为 e朋0 e朋6 1 一 一 丝一 鱼 6050 100 120 云10巧而 诊t R 一一 P 2 2 2 4 2 6 2 8 c3 0 0 3 2 0 3 4 0 3 6 0 式中e 是半接触区所围的圆心角 而k由 垂直 地面反力决定 0 器 定点实入 原始形状 一一 充气后形状 联合作用下形状 38陇月 二 10 一3 m I晓 图 3 轮胎网格 轴对称 图 4 轮胎变形 图4给出轮胎变形 由图可见计算和实测值比较接近 此外 接触区下沉 量的计算值是 0 0 2 8 9 5 m 而实测值是 0 03 0 5 4m 相对误差是5 5 由此可见 傅氏解法简单可行 但 不足 之处是计算时需要实验提供部分实测值 3 2 试计算 65 0R 1 6轮胎 在内压 3 82 2xlo 一 7 P a 和地面反力46 3 0 5N 作用 下 的接 触区参数和 变形 在进行三维有限元 分析时 利用对称性可只取 1 4 轮胎 网格见 图5所示 共取等参 8 节点体元3 2 4 个 计算分两阶段 进行 即首先计算轮胎 在内压作用下的非 线性解 在 此状态 下再逐次加反力到4 63 0 5N 附表介绍了接触区几何参数值而图6显示 变形图 附表 接触区参数 比较 单 位 m 接触区参数 下沉量 接触区短轴宽度 接触区长轴宽度 线性解 0 011 65 0 071 50 0 108 5 非线性解载荷到92 6 IN时实测值 0 012 90 0 0T 3 00 0 1100 0 02627 0 136 0 0 212 0 由表可见 接触区参数略为比计算值大一倍载荷时的实测值的一半 由于机时与容量限 西北 工 业大学学报 第8卷 制 本文没能 给 出载荷为9 261N时的参数值 另外图6显示变形与 6 结果类同 可见 上述结 果是合理的 生7 6 9 14 1 5 7 0 7吕 环向网格 b 剖面网格 10 一3 四 图6 三维体元网格 图 6 充气轮胎在地面反力作用下变形 4 结束话 本文介绍的傅氏解法和几何非线性接触问题解法为进行轮胎及类似复杂结构分析提供了 有效可靠的分析方法 考虑采用 几何非线性接触问题三维有限元 的解法十分消耗机时和容量 限制了这种方法 应用 继 续寻求有效 的解法迫在 眼前 例P C G法尤其适合三维有限元 分析 7 由此可见 非线性有限元法推 动了轮胎力学前进 而轮胎力学发展又 促使有限元法向新的高度进军 致谢 本课题系与北京橡胶工业 设计研究院协作项目 对该院轮胎 室许叔亮和刘大众同 志大力帮助 在此 表示衷心感谢 参考文 献 1 Rese areh a nd E du eatio n PrograminStru etu res a nd D ynam lc s NASA JIAFS J une 1985 2 L o u A Y C M o di fi ea t i ono fLin ear M em b r ane Th eor yf or P re dic ting I n fl a te dTi re 刀翻eloP切e ts f Me c h a灯fc P roe i 3 th M i dw es t ern M ee h an i es C on f 7 13 一 15 1973 pP 637 一 656 3 K aga H ok a m o t o K an dT oxa w a Y I nte rn a lSt r es s A na l y s i so f t h e Ti re un d er V ert ic a lL o a d s U s i n gFi n it e El e m en t M e th o d Ti re S e f T e c h 0 1 V o l 5 N o 2 1 977 p p 102 一 116 第2期 竺润祥等 轮胎受力分析 189 4 5 6 7 R othert H an dD e hm e l W N on l in ea r A na l y s i s o fI so t ro P i e O rt h o t o pie an dL a m i n a t e dpl a t esan dsh eus Fi rs t W or l dC on g resson C o m p u t a t i ona l M ee h an i es 1986 谭永华 充有内压轮胎 在垂直反力作用下的受力分析 西北工业大学研究生毕业 论文 19 8 7 年 R othert H I d e l d er g e r H an dJ aeo bi W O n the Fi n it e El e m ent S o l o tion o f th e Th r ee 一 dim ens io na lTir e C on t ao tP r o blem N uc l e ar E n g 9 a o dD e s g V o l 78 N o 3 1984 卢 p 363一 375 竺 润祥 姜晋庆 播焕友 陈国海 适用于大型结构有限 元 分析的E B E P C G 法 强度与环境 第 1期 1990年 S tre ngth A n a ly sis o fT ir es with G eo m etrie a lN o n lin e a r ity C o n sider ed Z huR n x fa 夕 Jfa ngJi gf 夕 T a Y o n gh u a G o g y f C o lleg e o fA str o n a u t ie s N o rt h w e ste r n P o l yt e e h n i e a l U n iv e r sit y H o w to e o n s id e r th ea e tu al e o mple x f a e to r s e o n n e e tedw ith str e n g th o f t ir e s 1 5 th ee u r r e n ttr e nd in t ir e m e e h a n ie s Th is p a P e re o n e e n tr ate s o n taking g e o m e trie al n o n li n e a r it yinto a e e o u n t T w oa p p r o a e h e sa r eu s e d Th e fir st s ta rtsw ith th es e m i a n a ly t i e a a p p r o a e h o r i g in allJ u s e dby K a g a i to redu ee the3一di m ens io na l p r b lom toZ 一 d im ens io na l one K a g a s m e t h o d 1 5on l丁 ap p lie ab le toge om etrie al lin e a r pr ob lem T h ea utho r s imP ro v e K aga 5 m e t h o db yt a 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