中科大史济怀数学分析课件 75-76.pdf

131 7 5 可积性理论 7 5 可积性理论 设f是有限闭区间 a b上的有界函数 1 1 2 kk xxkn 是 a b的分割 其分点为 0 ax 12n xxxb 振幅 振幅 记 11 sup inf sup inf kkkkkk Mfa bmfa bMf xxmf xx 称Mm 为f在 a b上的振幅 kkk Mm 为f在 1 kk xx 上的振 幅 1 2 kn 上和与下和 上和与下和 称 1 1 n kkk k S fMxx 为f关于分割 的上和 S f 1 1 n kkk k m xx 为f关于分割 的下和 任取 121 nkkk xx 1 2 kn 称 1 1 n kkk k S ffxx 为f关于分割 的 Riemann 和 显然成立 S f S f S f 定理 7 12定理 7 12 设f是有限闭区间 a b上的有界函数 是 a b的分割 若在 的分点的基础上再添加l个分点而得到 a b的另一个分割 则有不等式 S fS fS fl S fS fS fl 作为推论 对于 a b的任意两个分割 12 必有 12 S fS f 证 证 只需证明1l 的情形 设 的分点为 012n axxxxb 的分点 为 00 011kkn axxxyxxb 1 1 n kkk k S fmxx 0 000 0 1 111 11 kn kkkkkkkkk kk k mxxmxxmxx 132 0 0000 0 1 111 11 kn kkkkkkkkkk kk k mxxmyxmxymxx 0 0000 1 111 1 inf inf k kkkkkkk k m xxfxyyxfy xxy 0 1 1 n kkk k k mxxS f 0 000 0 1 111 11 kn kkkkkkkkk kk k m xxMxxm xx 0000 1 kkkk S fMmxx Sf 同理可证 S fS fS f 将 12 的分点合起来得到 a b的另一个分割 3 则有 1332 S fS fS fS f 上积分和下积分 上积分和下积分 设f是有限闭区间 a b上的有界函数 称 inf I fS f 是 a b的分割 为f在 a b上的 Darboux 上积分 称 sup I fS f 是 a b的分割 为f在 a b上的 Darboux 下积分 显然 a b上有界函数f的上积分 I f和下积分 I f都存在 并 且 I fI f 定理 7 13 Darboux 定理 定理 7 13 Darboux 定理 若f是有限闭区间 a b上的有界函数 则 0 lim S fI f 0 lim S fI f 证 证 0 存在 a b的分割 0 使得 0 2 S fI f 假定分割 0 的小区间个数为1l 对于 a b的任意分割 将 0 和 的分点合起 133 来得到 a b的另一个分割 显然 比 最多只多出l个分点 于是 0 S fS fS fl 0 0 22 S fI fS fS fl 取0 21l 则当 时便有0 22 S fI f 这说 明 0 lim S fI f 同理可证 0 lim S fI f 定理 7 14 可积性定理 定理 7 14 可积性定理 若f是有限闭区间 a b上的有界函数 则 下述 3 个条件彼此等价 1 0 存在 a b的分割 使得 S fS f 2 f在 a b上的上积分和下积分相等 即 I fI f 3 f在 a b上 Riemann 可积 证 证 1 2 0 取 a b的分割 使得 S fS f 故 0 I fI fS fS f 从而 0I fI f 2 3 对于 a b的分割 由 S fS fS f I fI f 00 lim lim S fI fS fI f 便知存在有限极限 0 lim b a S ff x dx 3 1 0 存在 a b的分割 1 1 2 kk xxkn 其分 点为 012n axxxxb 使得 12 n 1 kkk xx 1 2 kn 都成立 1 1 33 n bb kkk aa k f x dxfxxf x dx 134 让 1 kkk xx 1 2 kn 变动可得到 11 11 33 nn bb kkkkkk aa kk f x dxmxxMxxf x dx 于是 2 3 S fS f 定理 7 15 定理 7 15 若f是有限闭区间 a b上的单调函数 则f在 a b上可 积 证 证 不妨设f在 a b上递增 f af b 0 取 a b的分割 1 1 2 kk xxkn 01n axxxb 使得 f bf a 于是 1 1 n kkk k S fS fxx 11 1 n kkkk k f xf xxx 1 1 n kk k f xf x f bf a f bf a 由定理 7 14 便知f在 a b上可积 定理 7 16 定理 7 16 若f是有限闭区间 a b上的连续函数 则f在 a b上可积 证 证 0 取 a b的分割 1 1 2 kk xxkn 01 axx n xb 使得 k b a 1 2 kn 于是 1 1 n kkk k S fS fxx ba ba 由定理 7 14 便知f在 a b上可积 练习题 7 5 练习题 7 5 283 P 2 3 5 问题 7 5 问题 7 5 284 P 2 135 7 6 Lebesgue 定理 7 6 Lebesgue 定理 定义 7 2定义 7 2 设E是实数集 若0 总存在可数个开区间 n In 覆盖 了E 并且满足 1 n n I 则称E是零测集或测度为零的集 注记 7 注记 7 2 将定义 7 2 中的 可数个开区间 换成 至多可数个区 间 后 仍然能作为零测集的定义 证 证 假定实数集E能被至多可数个总长度可以任意小的区间所覆盖 因而 0 存在闭区间族 abA 下标集A至多可数 覆盖 了E 并且 2 A ba 选出可数个开区间 n In 覆盖住至多可 数集 aAbA 并且满足 1 2 n n In 于是 可数个 开区间 n In abA 便覆盖了E 其总长度 1 11 2222 n n Ann baI 命题 命题 至多可数个零测集的并集仍然是零测集 零测集的子集仍然是 零测集 证 证 只需证明可数个零测集的并集仍然是零测集 设 n En 是可 数个零测集 0 n 取可数个开区间 n i Ii 覆盖住 n E 并 且满足 1 2 n i n i I 于是 可数个开区间 n i In i 覆盖了 1 n n E 并 且满足 1112 n i n nin I 例 1例 1 数轴上的空集 独点集 有限集和可数集都是零测集 长度不 为零的区间不是零测集 定义 7 3定义 7 3 设f是区间I上的函数 xI 记 f x r 为f在小区间 136 xr xrI 上的振幅 称 0 lim ff r xx r 为f在x处的振幅 显然 1212 0 sup ff xx rf yf yy yxr xrI 引理 7 1引理 7 1 设f是区间I上的函数 xI 那么 f在x处连续 f x 0 证 证 假定f在x处连续 0 0r 使得 yI yxr 成立 2 f yf x 故 12 y yxr xrI 成立 12 f yf y 12 22 f yf xf yf x 于是 1212 sup f x rf yf yy yxr xrI 0 0 ff xx 假定 0 f x 0 0r 使得 f x r 故yI yxr 成立 f f yf xx r 即f在x处连续 Lebesgue 数 Lebesgue 数 若开区间族J覆盖了有限闭区间 a b 则0 使得 区间 Ea b E 必有J中的开区间IE 称 为 a b的开区间 覆盖J的 Lebesgue 数 证 证 反证法 假定结论不成立 则n 区间 n Ea b 1 n E n 使得 n E不能被J中的任何开区间所包含 n 取 nn xE 便得到数列 n xa b 该数列有子列收敛于 xa b 因为开区间族J覆盖了 a b 故存在J中的某个开区间I 使 得xI 取0 使得 xxI 成立 再取足够大的 0 n 使得 0 2 n xx 和 0 0 1 2 n E n 同时成立 0 n yE 有 137 yx 000 2 nnn y xxxE 这说明 0 n ExxI 从而得到矛盾 定理 7 17 Lebesgue 定理 定理 7 17 Lebesgue 定理 函数f在 a b上可积 当且仅当同时成立 1 f在 a b上有界 2 f的不连续点的全体是零测集 即f在 a b上几乎处处连续 证 证 仅当 假定f在 a b上可积 已知 1 成立 由引理 7 1 f的 不连续点的全体恰为 1 1 0 ffj j xa bxxa bx 故 为了证 2 只要证 1 fj xa bx 是零测集 由定理 7 14 0 a b 的分割 1 1 2 kk xxkn 0 ax 1n xxb 使得 1 1 n kkk k xxS fS f j 对于 1 fj xa bx 中的点x 若它不是 的分点 则必存在 某个k使得 1 kk xxx 由 1 fkj x 便知 1 1 k j kk xxx 从而 1 1 101 k j fkknj xa bxxxx xx 于是 1 fj xa bx 能被有限个区间所覆盖 而这有限个区间的 总长度 11 111 1 kk jj n kkkkkkkk k xxjxxjxx 这说明 1 fj xa bx 是零测集 当 假定f在 a b上有界 并且f的不连续点的全体是零测集 要 证f在 a b上可积 不妨设f在 a b上的振幅0 0 存在可 数个开区间 j Uj 覆盖了零测集 0 f xa bx 并且 1 2 j j U 对于f的连续点 xa b 取包含 x 的开区间 x V 使得 f 138 在区间 x Va b 上的振幅sup inf xx f Va bf Va b 2 ba 于是 开区间族 0 jxf UVjx 覆盖了 a b 令 0 是 这 个 开 区 间 覆 盖 的 Lebesgue 数 再 取 a b的 分 割 1 1 2 kk xxkn 01 axx n xb 使得 由于每 个小闭区间 1 kk xx 能包含在某个 j U 或 x V 中 Lebesgue 数的性质 故 1 1 n kkk k S fS fxx 11 11 jkkxkk kkkkkk UxxVxx xxxx 1 11 2 n jkk jk Uxx ba 22 ba ba 这说明f在 a b上可积 定理 7 14 例 2例 2 Dirichlet 函数 1 0 x D x x 在有限闭区间 a b上不可 积 这是因为 Dirichlet 函数D处处不连续 例 3例 3 Riemann 函数 R x 0 1 x p xq qq 是既约分数 0 在有限闭区间 a b上可积 这是因为 Riemann 函数R的不连续点的全体恰为 而 可数集 是零测集 推论 1推论 1 若 a b上有界函数f的不连续点的全体至多可数 则f在 a b 上可积 推论 2推论 2 若函数f在 a b上可积 则f也在 a b上可积 反之可能不 成立 例如 1 1 xa b f x xa b 139 推论 3推论 3 若函数 f 在 a b 上可积 c da b 则 f 在 c d 上可积 推论 4推论 4 设 f 是 a b 上的函数 ca b 若 f 分别在 a c 和 c b 上 可积 则 f 也在 a b 上可积 推论 5推论 5 若函数 f g 在 a b 上可积 则 fg也在 a b 上可积 当g处处 不取零值 并且 f g 在 a b 上有界时 f g 也在 a b 上可积 练习题 7 6 练习题 7 6 291 P 1 2 问题 7 6 问题 7 6 291 P 2 第 1 章至第 7 章主要内容的回顾 第 1 章至第 7 章主要内容的回顾 可用微分与积分 主要矛盾 离散 与连续 次要矛盾 逐点与一致 一般矛盾 这三条线将所有内容串联 起来 见图示 数列的极限数列的极限 实数完备性或连续性的七个等价命题 比较原理 Stolz 定理等 极限极限 函数的极限函数的极限 单调函数的单侧极限 Cauchy 收 函数的连续函数的连续 一致