陈世民理论力学公式.doc

第一章 牛顿力学的基本定律1 质点运动的描述（1） 直线坐标系 （2） 平面极坐标系（3） 自然坐标系 （4） 柱坐标系 2 牛顿定律 惯性定律的矢量表述 （1） 直角坐标系中（2） 极挫标系中（3） 直角坐标系中3 质点运动的基本定理 几个量的定义：动量 角动量 冲量 力矩 冲量矩 动能 （1） 动量定理 （2） 动量矩定理 （3） 动能定理 4机戒能守恒定理 T+V=E1 细杆OL绕固定点O以匀角速率转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度和加速度。解：依几何关系知： 又因为： 故：2已知某质点的运动规律为：y=bt,a和b都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度和加速度。解：得： 3已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是r和，这里和是常数。求出质点的加速度矢量. 解：由题知： 且： 故： 4将一质量为的质点以初速度与水平线成角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的倍，这里是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需时间。解：依牛顿第二运动定律有： 积分并代入初始条件：时：解得：当再次夹角为时：可解出：第二章 有心运动和两体问题1有心力和有心运动 （1） 有心运动的三个特征：平面运动 动量守恒() 机械能守恒()（2） 运动微分方程极坐标 可导出： 2 距离平方反比引力作用下的质点运动可由比内公式导出： （为由初始条件决定的常量）近日点： 远日点：且 可得半长轴长：2 距离平方反比斥力作用下的质点运动（粒子散射）的双曲线模型 （）可导出： 散射角： 卢瑟福散射公式：（式中散射截面：，立体角：将散射角公式两侧微分并代入即得散射公式）4 质点运动轨道的讨论（1） 圆轨道的稳定条件 （等效势能：）再利用可导出： （）（2） 轨道的轨迹曲线 1.质点在有心力的作用下运动，质点速度的大小为，这里是常数。已知时，速度与矢量间夹角为。求质点的轨道方程。解: 且又因为 故上式转化成 积分并代入初始条件得 即： 2.由于核电荷部分地被原子中的电子所屏蔽，屏蔽库仑势为，其中。Z为原子序数。试讨论电子在上述势场中作圆轨道运动时的稳定条件。解：电子运动时的等效势能 稳定条件：得： 得：解出 （注: 无意义）第三章 非惯性参考系（1） 平动非惯性系 () 即：（2） 旋转非惯性系 ()2 地球自转的效应（以地心为参考点）写成分量形式为：2. 一圆盘以匀角速度绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为，求在以地面为参考系时，质点M的速度和加速度（表示成质点M离弦中点的距离的函数）.解:设的速度,加速度分别为和,依题意知: 5一楔子，顶角为，以匀加速度沿水平方向加速度运动。质量为的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度及质点对楔子的压力. 解:依 得: 又因为在平动非惯性中:. 得: 则楔子对斜面的压力 6一缆车，以大小为,与地平线成角的匀加速度上升。缆车中一物体自离缆车地板高度处自由下落。求此物体落至地板处的位置。解:以缆车为坐标原点建立坐标系,如右图则,物体满足： ，则：知：又因为： 则：即:向后方偏离9一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度绕固定的圆盘中心转动。有一质量为的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率向圆盘的边缘走动。试分别利用（1）地面惯性系；（2）圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力解：（1）以地面惯性参考系讨论,设人走的半径为，切向为 则有： （2）以圆盘非惯性讨论： 则：第四章 质点组动力学1 质点组（1） 质心： 对于连续体: （2） 内力与外力: 且内力满足: 2 质点组运动的动量、角动量、动能（1） 动量 （2） 角动量 （3） 动能 3 质点组运动的基本定理（1） 动量定理： 质心定理：（2） 角动量定理： （3） 动能定理：对质心：4 开放的质点组： 或 2求出半径为的匀质半球的质心位置。解：如右图所示，取一截面元与底面相距，则其质量： 则：质心与底面距离 6重量为的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平边长分别为和。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子分别移动了多少距离？解：依图设大小楔子水平位移分别为 且依水平方向动量守恒： 对其积分得：且有代入上式得：7一炮弹以仰角发射，速率为，当炮弹达到最高点时，爆炸成质量分别为和的两块弹片。已知火药爆炸的能量是。爆炸后的瞬时，两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片落地时相隔的距离。解：炮弹从空中降下的时间，在最高点处沿飞行方向动量守恒。 设炸后的速率分别为。则有： 可解得： 则：质量为的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的质量为倾角为，置于光滑水平面上。求（1）物体水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈对物体的反作用力和水平面对劈的反作用力。解：如右图所示，建立各方向矢量，设劈与物体间的与反作用力为，则：则物体相对于尖劈的水平加速度：在方向上，物体受与的作用：依几何关系：解得：代入式可得：水平面对劈的反作用力 第六章 分析力学1虚功原理：（平衡时）理想条件下，力学系的平衡条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零： 用广义坐标来表述： 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏数 方程为： 若拉氏数中不显含广义坐标，则：即 循环积分： 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用5哈密顿函数与正则方程（1） 哈密顿函数 式中为广义坐标动量（2） 正则方程 若哈氏函数中不显含广义坐标，则：即：循环积分 在稳定条件下（H中不显含），则有能量积分：6