（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第四课时 利用导数研究含参数不等式专题习题 理.doc

第四课时利用导数研究含参数不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数求解不等式问题1,2,7转化法求解不等式问题3,4,5,6含全称、存在量词不等式问题81.(2016南京市、盐城市高三年级第一次模拟)已知函数f(x)=axex在x=0处的切线方程为y=x.(1)求a的值;(2)若对任意的x(0,2),都有f(x)1k+2x-x2成立,求k的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=a(1-x)ex,因为函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f(0)=a1=1,得a=1.(2)由(1)知f(x)=xex0知k+2x-x20,即kx2-2x对任意x(0,2)都成立,从而k0.又不等式整理可得k0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以k0,所以ax2-2xx-lnx在区间1,e上有解.令h(x)=x2-2xx-lnx,则h(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2.因为x1,e,所以x+222ln x,所以h(x)0,h(x)单调递增,所以x1,e时,h(x)max=h(e)=e(e-2)e-1,所以ae(e-2)e-1,所以实数a的取值范围是(-,e(e-2)e-1.3.已知函数f(x)=aln x-x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a0,且对任意x1,x2(0,+),都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|,求a的取值范围.解:(1)f(x)=ax-2x=a-2x2x.当a0时,f(x)0时,f(x)=0,得x=a2(舍负).由f(x)0得a2x0,由f(x)a2.f(x)在(0,a2)上是增函数,在(a2,+)上是减函数.(2)若a0,f(x)在(0,+)上是减函数,由x1f(x2),所以|f(x1)-f(x2)|x1-x2|,即f(x1)-f(x2)x2-x1.即f(x1)+x1f(x2)+x2,只要满足g(x)=f(x)+x在(0,+)上为减函数.g(x)=aln x-x2+1+x,则g(x)=ax-2x+10,即a2x2-x在(0,+)上恒成立,a(2x2-x)min,(2x2-x)min=-18,所以a-18,即a的取值范围是(-,-18.4.设函数f(x)=x(ex-1)+ax2.(1)当a=-12时,求f(x)的单调区间;(2)若当x0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.解:(1)当a=-12时,f(x)=x(ex-1)-12x2.f(x)=(ex-1)+xex-x=(x+1)(ex-1).所以f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(0,+).f(x)的单调递减区间为(-1,0).(2)f(x)=x(ex-1+ax)0,x0.令g(x)=ex-1+ax,x0,+),g(x)=ex+a.当a-1时,g(x)=ex+a0,g(x)在0,+)上为增函数.而g(0)=0,从而当x0时,g(x)0,即f(x)0恒成立.若当a-1时,令g(x)=ex+a=0,得x=ln(-a).当x(0,ln(-a)时,g(x)0,g(x)在(0,ln(-a)上是减函数,而g(0)=0,从而当x(0,ln(-a)时,g(x)0,即f(x)0,f(x)0不恒成立.综上可得a的取值范围为-1,+).5.导学号 18702138已知函数f(x)=ln x,g(x)=k(x-1)x.(1)当k=e时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数k的值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+)且h(x)=ln x-k(x-1)x,当k=e时,h(x)=ln x-e(x-1)x,所以h(x)=1x-ex2=x-ex2.若0xe,则h(x)e,则h(x)0.所以h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,+)上的增函数,故h(x)极小值=h(e)=2-e,故函数h(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+),极小值为2-e,无极大值.(2)由(1)知,h(x)=1x-kx2=x-kx2,当k0时,h(x)0对x0恒成立,所以h(x)是(0,+)上的增函数,h(1)=0,所以0x1时,h(x)0时,若0xk,h(x)k,h(x)0.所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+)上的增函数,故只需h(x)min=h(k)=ln k-k+10.令u(x)=ln x-x+1(x0),所以u(x)=1x-1=1-xx.当0x0;当x1时,u(x)1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.(1)解:由题意得f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=12a.当x(0,12a)时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=1x-eex0.(3)解:由(2)知,当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f(12a)0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此h(x)在区间(1,+)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+).7.导学号 18702140已知函数f(x)=ex+ax-3,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=-2.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(2)用m表示不超过实数m的最大整数,如:0.3=0,-1.3=-2.若x0时,(m-x)ex0得x0,由f(x)0得x0时,不等式(m-x)exm+2等价于mxex+2ex-1,令g(x)=xex+2ex-1,所以g(x)=ex(ex-x-3)(ex-1)2,由(1)得u(x)=ex-x-3在(0,+)上单调递增,又因为u(1)0,所以g(x)在(0,+)上有唯一零点x0,且1x02,当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)的最小值为g(x0),由g(x0)=0得ex0=x0+3,所以g(x0)=x0(x0+3)+2x0+2=x0+1.由于1x02,所以2g(x0)3,因为m0),g(x)=x2+6x+c(cr).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=1时,对x1-2,2,x2-2,2,使f(x1)0得xa,由f(x)0,-axa,所以f(x)的单调递增区间为