高考数学 9.1 平面向量的线性运算复习课件 理.ppt

9 1平面向量的线性运算 2 在平行四边形abcd中 下列结论错误的是 a ab dcb ad ab acc ab ad bdd ad cb 0解析 a显然正确 由平行四边形法则知b正确 c中ab ad db 所以错误 d中ad cb ad da 0 3 在 abc中 已知d是ab边上一点 若ad 2db cd ca cb 则 等于 a b c d 解析 因为cd ca ad cd cb bd 且ad 2bd 0 2得 3cd ca 2cb 所以所以 4 在平行四边形abcd中 ab a ad b an 3nc m为bc的中点 则mn 用a b表示 解析 由an 3nc 得4an 3ac 3 a b 所以 5 已知在四边形abcd中 且 ad bc 则四边形abcd的形状是等腰梯形 解析 ab dc且所以abcd为梯形 又 ad bc 所以四边形abcd为等腰梯形 1 向量的有关概念既有又有的量叫做向量 的向量叫做零向量 记作0 规定零向量的方向是任意的 的向量叫做单位向量 方向的向量叫做平行向量 或共线向量 且的向量叫做相等向量 且的向量叫做相反向量 大小 方向 长度为0 长度为1 相同或相反 非零 长度相等 方向相同 长度相等 方向相反 2 向量的表示方法用小写字母表示 用有向线段表示 用坐标表示 3 向量的运算加法 减法运算法则 平行四边形法则 三角形法则 实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 a 2 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a 运算律 交换律 分配律 结合律 a 相同 相反 0 4 平面向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是 5 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内两个的向量 那么对这个平面内任一向量a 实数 1 2 使a 1e1 2e2 有且只有一个实数 使得b a 不共线 有且只有一对 6 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内 分别取与x轴 y轴正方向相同的两个单位向量i j作为基底 对任一向量a x y 使得a xi yj 则实数对叫做向量a的直角坐标 记作a x y 其中x y分别叫做a在x轴 y轴上的坐标 a x y 叫做向量a的坐标表示 相等的向量坐标 坐标相同的向量是的向量 有且只有一对实数 x y 相同 相等 7 平面向量的坐标运算 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 如果 则ab 3 若a x y 则 a 8 平行与垂直的充要条件 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是 2 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是 x1 x2 y1 y2 a x1 y1 b x2 y2 x2 x1 y2 y1 x y x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 9 向量的夹角两个非零向量a和b 作oa a ob b 则叫做向量a与b的夹角 记作 如果夹角是 我们说a与b垂直 记作 aob 0 180 a b 90 a b 例题1判断下列各命题是否正确 1 若 a b 则a b 2 若a b c d是不共线的四点 则ab dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件 3 若a b b c 则a c 4 a b的充要条件是 a b a b 5 a b 是a b的必要不充分条件 解析 1 不正确 两个向量的模相等 但它们的方向不一定相同 因此由 a b 不能推出a b 2 正确 因为ab dc 所以 ab dc 且ab dc 又因为a b c d是不共线的四点 所以四边形abcd是平行四边形 反之 若四边形abcd是平行四边形 则ab dc且ab dc 又ab与dc方向相同 因此ab dc 3 正确 因为a b 所以a b的模相等且方向相同 又因为b c 所以b c的模相等且方向相同 所以a c的模相等且方向相同 所以a c 4 不正确 当a b 且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b a b不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 5 正确 因为 a b 不能推出a b 但a b a b 所以 a b 是a b的必要不充分条件 点评 判定与平面向量概念有关的命题的真假时 关键在于透彻理解平面向量的概念 还应注意零向量的特殊性 以及两个向量相等必须满足 1 模相等 2 方向相同 拓展训练 在三角形abc中 e f分别为ac ab的中点 be与cf相交于g点 设ab a ac b 试用a b表示ag 解析 如图 ag ab bg ab be ab ba bc 1 ab ac ab 1 ab ac 1 a b 又所以解得所以 例题3 设a b是两个不共线的非零向量 1 若oa 2a b ob 3a b oc a 3b 求证 a b c三点共线 2 若8a kb和ka 2b共线 求实数k的值 分析 证a b c三点共线 可转化为证这三点构成的两向量共线 也可以利用oa xob yoc 通过证x y 1来确定a b c三点共线 两向量共线后可得两向量系数的比例关系 由此可得关于k的方程 即可求得k的值 1 解法1 因为ab 3a b 2a b a 2b bc a 3b 3a b 2a 4b 2ab 所以ab bc共线 又ab bc有公共点b 所以 a b c三点共线 解法2 设oa xob yoc 即2a b x 3a b y a 3b 即 3x y 2 a x 3y 1 b 0 所以3x y 2 0 x 3y 1 0 解得显然x y 1 所以 a b c三点共线 2 因为8a kb和ka 2b共线 所以存在实数 使8a kb ka 2b 即 8 k a k 2 b 0 因为a与b不共线 所以8 k 0k 2 0 解得 2 所以k 2 4 拓展训练 设两个非零向量e1和e2不共线 1 如果ab e1 e2 bc 3e1 2e2 cd 8e1 2e2 求证 a c d三点共线 2 如果ab e1 e2 bc 2e1 3e2 cd 2e1 ke2 且a c d三点共线 求k的值 分析 a c d三点共线 存在实数 使ac cd 解析 1 证明 ab e1 e2 bc 3e1 2e2 cd 8e1 2e2 ac ab bc 4e1 e2 8e1 2e2 cd 所以ac与cd共