（新课标）2017春高中数学 第1章 解三角形综合检测 新人教A版必修5.doc

2017春高中数学 第1章 解三角形综合检测 新人教a版必修5一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在abc中，a80，b100，a45，则此三角形解的情况是(b)a一解b两解c一解或两解d无解解析bsina1005080，bsinaab，此三角形有两解2(2015吉林省长春市质量监测)已知abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则abc的面积为(c)ab1cd2解析a2b2c2bc，cosa，a，又bc4，abc的面积为bcsina，故选c3(2016吉林绥化一模)两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离分别为10 km和20 km，灯塔a在观察站c的北偏东15方向上，灯塔b在观察站c的南偏西75方向上，则灯塔a与灯塔b的距离为(b)a10 kmb10 kmc10 kmd30 km解析在abc中，acb1590(9075)120.已知ac10km，bc20km，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos12010220221020()700，ab10.故选b4已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是(c)a1x5bxc1x或x5d1x解析当x为最大边时，x5；当3为最大边时，1x.x的取值范围是：1x或x5.5已知关于x的方程x2xcosacosb2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则abc一定是(c)a直角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形解析由题意知：cosacosbsin2，cosacosbcos180(ab)cos(ab)，(cosacosbsinasinb)，cos(ab)1，ab0，ab，abc为等腰三角形，故选c6等腰abc底角b的正弦与余弦的和为，则它的顶角是(a)a30或150b15或75c30d15解析由题意：sinbcosb.两边平方得sin2b，设顶角为a，则a1802bsinasin(1802b)sin2b，a30或150.7在abc中，内角a、b、c所对的边分别是a、b、c，已知8b5c，c2b，则cosc(a)abcd解析由及8b5c，c2b得，5sin2b8sinb，cosb，cosccos2b2cos2b1.8(2015东北三省四市联考)若g是abc的重心，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且abc0，则角a(d)a90b60c45d30解析由重心性质可知0，故，代入abc0中，即(ba)(ca)0，因为，不共线，则即故cosa，因为0a180，所以a30，故选d9abc中，已知下列条件：b3，c4，b30；a5，b8，a30；c6，b3，b60；c9，b12，c60.其中满足上述条件的三角形有两解的是(a)abcd解析csinbbc，故有两解；bsinaab，故有两解；bcsinb，有一解；cbsinc，无解所以有两解的有，故选a10在abc中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(b)abcd解析三边不等，最大角大于60，设最大角为，故对的边长为a2.sin，120，由余弦定理，得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，解得a5，三边长为3,5,7，sabc35sin120.11(2016江西一模)在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对边的边长，若cosasina0，则的值是(b)a1bcd2解析将cosasina0，整理得(cosasina)(cosbsinb)2，即cosacosbsinbcosasinacosbsinasinbcos(ab)sin(ab)2，cos(ab)1，sin(ab)1，ab0，ab，即ab，c.利用2r，得a2rsina，b2rsinb，c2rsinc，则.(r为abc的外接圆半径)12如图，一货轮航行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15，与灯塔s相距20n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(b)a20()n mile/hb20()n mile/hc20()n mile/hd20()n mile/h解析由题意可知smn153045，ms20，mns45(9030)105，设货轮每小时航行xn mile，则mnx，msn1801054530，由正弦定理，得，sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45，x20()，故选b二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13在abc中，已知b1，sinc，bcoscccosb2，则或.解析由余弦定理的推论，得cosc，cosb.bcoscccosb2，2，a2，即|2.sinc，0c180，cosc，或cosc.又b1，即|1，或.14已知abc的周长为1，且sinasinbsinc若abc的面积为sinc，则c60.解析sinasinbsincabc.又abc1，c1，ab.又sabcabsincsincab，cosc，c60.15(2016河北石家庄市一模)已知abc中，ac4，bc2，bac60，adbc于d，则的值为6.解析在abc中，ac4，bc2，bac60，由余弦定理得cos60，解得ab6(负值舍去)因为rtabd与rtacd有公共边ad，所以62bd242(2bd)2，解得bd，所以cd，所以cd.故6.16在abc中，cos2，则abc的形状为直角三角形.解析cos2，cosa.由余弦定理的推论，得cosa，a2b2c2.abc为直角三角形三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2016北京理，15)在abc中，a2c2b2ac.(1)求b的大小；(2)求cosacosc的最大值解析(1)由余弦定理及题设条件得cosb.又0b，所以b.(2)由(1)知ac，则cosacosccosacoscosacosasinacosasinacos.因为0a0)，由余弦定理得cosa.(2)由(1)知cosa，因为a是abc的内角，所以sina.由(1)知b5k，c3k，因为abc的面积为45，所以bcsina45，即5k3k45，解得k2.由正弦定理得2r28，解得r14，所以abc外接圆半径的大小为14.19(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析如图所示，考点为a，检查开始处为b，设公路上c，d两点到考点的距离为1km.在abc中，ab1.732，ac1，abc30，由正弦定理，得sinacb，acb120(acb60不合题意)，bac30，bcac1.在acd中，acad，acd60，acd为等边三角形，cd1.605，在bc上需要5min，cd上需要5min.最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持续5min该考点才算合格20(本题满分12分)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cosb，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值解析(1)由2得cacosb2.又cosb，所以ac6.由余弦定理得a2c2b22accosb又b3，所以a2c292613.解得a2，c3或a3，c2.因为ac，所以a3，c2.(2)在abc中，sinb.由正弦定理，得sincsinb.因为abc，所以c为锐角，因此cosc.于是cos(bc)cosbcoscsinbsinc.21(本题满分12分)(2015山东淄博市检测)已知锐角三角形abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且tana.(1)求角a的大小；(2)当a时，求c2b2的最大值，并判断此时abc的形状解析(1)由已知及余弦定理，得，sina，因为a为锐角，所以a60.(2)解法1：由正弦定理，得2，所以b2sinb，c2sinc2sin(120b)c2b24sin2bsin2(120b)44cos2bsin2b42sin(2b30)由，得30b90，所以302b30150，当sin(2b30)1，即b60时，(c2b2)max6，此时c60，abc为等边三角形解法2：由余弦定理得()2b2c22bccos60b2c2bc3.bc(当且仅当bc时取等号)，b2c23，即b2c26(当且仅当bc时等号)故c2b2的最大值为6，此时abc为等边三角形22(本题满分14分)如图所示，a、b两个小岛相距21n mile，b岛在a岛的正南方，现在甲船从a岛出发，以9n mile/h的速度向b岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开b岛向南偏东60方向行驶，问行驶多