2014年高考数学安徽卷理科第15题的推广与反思.pdf

3 4 中学数学教学 2 0 1 4年第 4期 2 0 1 4年高考数学安徽卷理科第 1 5题的推广与反思 方 法 L 一 一 一 安徽省 铜 陵 市第一 中学 陈 良骥 邮编 2 4 4 0 0 0 摘 要 2 0 1 4年安徽省高考数 学理科试卷 第 1 5题以向量的数量积为背景 结合计数原理 等知 识 构 思精 巧 综合 性 强 值得 研 究 本 文将 对其 进行 推 广探 究 关键词 高考数学安徽卷 第 1 5题 推广探 究 2 0 1 4年高考数学安徽卷 理 第 1 5 题 已知 两个 不 相等 的非 零 向量 n 6 两组 向量 x x 2 x 3 x 4 x 5 和 y l y 2 y 3 y 4 5 均 由 2 个 口 和 3 个 6排 列而 成 记 S x l Y 1 x 2 2 x 3 3 x4 4 x 5 j 5 S 表示 S所有可能取值 中的最小值 下列 命题正确 的是 写上所有正确命题 的编 号 s有 5 个不同的值 若 上 6 则 s 与I n l 无关 若 n 6 则 s 与 I 6 l 无关 若 6 I 4 a 则 s 0 若 l I 2 I 口I S 8 l n l 贝 0 口 与6的 夹角为 本 题 属 于 非 常 规 题 以 向 量 的 数 量 积 为 背 景 结合计数原理等知识 构思精巧 给人启迪 现略作 推 广与 反思 如下 推广 1 已知 两个 不相 等 的非 零 向量 口 6 两组 向量 x x 2 x 和 1 Y Y 均 由 个 口和 个 6排列 而 成 N 记 S x1 j l x 2 2 xm ym n 下用 局 部 调 整 的 方 法 研 究 S 的 所 有 取 值 可能 不 妨设向量 x x x 就是 竺 乏 a 口 b 6 6 则Y Y j 的 初 始情形是 6 6 6 6一直不变 对 z j 的初始情形中的前一个a 与前 一 个 b 进 行 一 次 交 换 变 为 6 n 一 个 6 6 6 此 时 S记 作 S 显 然 S 一 m 一1 一 个 l a I 一1 I 6 I 2 a 6 再对 z 的初 始 情 形 中 的前 两 个 口与前两个 6进行一次交换 变为 6 6 J 一 F 个 口 6 6 此 时 S记 作 S 显然 S 2 一 m 一 2 一 个 I n I 一2 l 6 l 4 a 6 再对 Y Y y 的初始情形 中的前i 个 n 与 前i 个6 进 行 一 次 交 换 变 为 扫 6 6 n n b 此 时 S 一 一 个 n V 记作 s 显然 0 i i N 且 S 一 i j I 72 一i 1 扫 I 4 2 i a 直 至i 时 Y y z y 变 为 二 6 6 6 a a 0 b 6 一 1 个 n 个 s 一 I 6 I 4 2 m a 6 由此我们可以得 到 S有 4 1个 不同的值 分 别是 s S 5 2 S 二 s 一 l 0 1 z 4 一 l z 4 2 i n 一 0 一 l z I U l 一Z I D l U 个 个 此时s 记作s 显然S 一 J n l 4 6 I 现 保 持 向 量 x l x 2 x 是a a 口 6 0 i D t i N 5 0 i i N 组 成一 个 等差 数 列 公 差 d一 一 口一 6 2 0 1 4年 第 4期 中学数 学教 学 3 5 用 S S 分别表示 S所有可能取值 中的 最小值 最 大值 S 一s 一 1 b l 2 ma b 若 a 上 b 则 s 与1 a l 无关 S 一s 一研 I a I l b I s 和n与 6的夹 角无关 S 一 S i 一m n b 推广 2 已知 两个 不 相等 的非零 向量 a 6 向量 x x x 由 个a和 个 b 排列而成 向量 Y Y 2 Y 均 由 愚个 a和 z 个 b排 列而 成 是 z 忌 z 忌 z N 记 S x l Y1 x 2 Y 2 xm Ym 下用 研究 S的所有 取值 可 能 不 妨设向 量x x 就是 a a 口 6 b b 厶 则Y J z Y 的 初 始情形是 口 6 6 b b b 一 r 个 f 个 此时s记作S 显然s 一愚I a I n l l 2 m 一 是 口 b 竺 现保持 向量 x 1 x 2 x 是a a 口 b b b b一 直 不变 对 Y Y z Y 的初始情形中的前一个a 与 前 一 个 6 进 行 一 次 交 换 变 为 6 n 口 一 个 口 6 b b 此时 S记作 S 显然 S 一 尼 一1 I 口I 一1 J b J 一忌 2 n b 再 对 Y Y z Y 的 初 始 情 形 中 的 前 两 个 a 与 前 两 个 b 进 行 一 次 交 换 瘦 为 6 6 a n a 0 b 6 此 时 S 记 作 S 2 个 显 然 S 2一 忌一 2 4 n b 一2 l b I 一是 再 对 Y Y Y 的初始 情形 中的前 i 个 a 与 前i 个b 进 行 一 次 交 换 变 为 允 b b 6 口 a a 口 a b b 此 时 S 记作 S 显然 0 i 忌 i N 且 S 一 是 一i I 口 I i l b I 一 2 i a b 直 至i 一 时 Y Y Y 变 为 扫 b b a a b b v 一 个 个 S 一 一是 l 6 l 仇 愚 口 b 由此我们类似推论 1得到 S有 1 个 不 同的值 分 别 是 S S S S S 一 忌 一 l a l 一i I b l 一是 2 i a b 0 i 是 i N S 0 i 忌 i N 组 成一 个 等差 数列 公差 d一一 a b 用 S S 分别表示 s所有可能取值中的 最小值 最大值 S i 一S 7 2 一是 l 6 I 忌 n 6 若 a上 6 则 s 与 I 口l 无关 S 一s o 一愚l a I 7 2 I b 1 2 一是 b m 忌时 s 和 a与 b的夹角有关 S 一 S i 一是 n一 6 一 点 反 思 反 思 1 通 过 局 部 置 换法 我 们 发 现 当 x x z x 与Y Y z 尽量 同序 即口 b个数较 少时 s值 较大 而 x x x 与 Y Y z Y 尽量 反序 即 n b 个数较多时 s值较小 与排序不等式 反序和 乱序和 同序 和 有异 曲同工 之妙 反思 2 已知两个不相等的非零 向量 a 6 向量 x x x 由m个 0和 个 6排列 而成 向量 Y z Y 均 由 个 口和 z 个 b排列 而 成 愚 Z N 记 S x 1 Y 1 x 2 Y 2 xm n J m n S有 N 1个不 同的值 分 别是 S s s 2 sN 其 中 N rai n m 走 z S 一 尼 一i l a I n i I b 1 m一愚 2 i 口 6 0 i 愚 i N S 0 i 愚 i N 组成一个等差 数列 公差 d一一 a一 6 用 S S 分别 表示 S所有 可 能取 值 中的 3 6 中学数 学教 学 2 0 1 4年第 4期 立足 通性通法 兼顾 巧解巧法 对 一道公 开课例 题 的解法分析 与拓展 安徽省寿县第一 中学 梁 昌金 邮编 2 3 2 2 0 0 最近 我有幸聆听了我校一位资深教师的数 学公开课 主讲 内容是高三第二轮复习解析几何 专题 授课教师力求对解析几何 问题求解 的常见 方法与思想进行梳理 让学 生体会到 直线 与 圆 锥曲线位置关系 有关综合问题常用 的数学思想 与方法 解题 的基本规律与技巧等 从而提高综 合分析问题和解决 问题的能力 其中一道解析 几 何题 引起 了我 的极 大兴趣 课后 在评课 时才 知 道 这道解析几何题选 自安徽省合肥市 2 0 1 3 届高 三第 三次 教 学质 量检 测理 科数 学第 2 O题 1 原题再 现 解 法分 析 题 目 平面 内定点 F 1 0 定直线 l z一 4 P 为平 面 内动 点 作 P Q 上 z 垂 足 为 Q 且 l P Q f 2 l PF 1 1 求动点 P 的轨迹方程 2 过点 F与坐标轴不垂直的直线 交动点 P 的 轨迹 于 A B 线段 AB 的垂 直平 分线 交 z 轴 l F l 于点R 试判断 是否为定值 I D 1 分析 第 1 问属于常规题 第 2 问考查 了解析 几何 的 通性 通法 并 考 查 了 函数 与 方 程 的 思想 数形结合的思想 化归与转化的思想 特殊 与 一般 的思 想 本 题 是 圆锥 曲 线 的 一 个 性 质 带 有数学探究的意味 在分析 问题时要充分挖掘试 题的本质 揭示 数学问题 的精髓 有意识地让学 生从 特殊 到 一 般 去 发 现 结 论 推 厂 命 题 既 口 J以 使学生享受学习成功的喜悦 也循序渐进地撩开 了数学试题 的真实面纱 逐渐使学生达到融会贯 通 的学 习境 界 解 1 点 P 的 轨 迹 方 程 为 等 1 2 证法 1由条件 直线 AB 的斜率必存在 且 不 为 0 可设 AB Y一是 一 1 愚 0 f Y k 一 1 联立方程组 z Y 消去Y 得 3 1 4 3 4 k 一 8 k 4 k 一 1 2 0 设 A 1 Y1 B 2 2 贝 l 2 8 k 4 k 一 1 2 一 丽 设 AB 中点 为 D y o 知 一 L 一 一 所以线段 AB的垂直平分线方程为 一 一i 1 3 4 k 一 3 4 k 1 一 一 I 一 一 志 令 得 一 职I 1 一 一 上接 第 3 6页 最小值 最大值 s 一s 女 一 N I b l N 口 b 若 n上 b 则 s