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有限差分法分析电磁场边界问题研究论文摘要：用有限差分法计算长方体槽内电位分布的实际问题，应用迭代法求解差分方程，得出多次迭代后的矩阵，用matlab作图。并用分离变量法作为解析解与有限差分法的计算结果进行比较，分析误差。The actual problem is calculated using the finite difference method rectangular tank potential distribution, iteration method for solving differential equations, matrix obtained after multiple iterations, using matlab plot. And by separation of variables as analytical solutions and the results were compared finite difference method, and analysis errors.引言：在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解理论分析：有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。差分运算的基本概念：有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程5。对单元函数 而言，取变量的一个增量=，则函数的增量可以表示为=- (3.1.1)称为函数的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为=- (3.1.2)称为函数的中心差分或一阶中心差分。函数一阶差分与自变量增量h的比值/称为一阶差商。在一阶差分运算中，它常用来近似函数的一阶导数。函数的二阶差商定义为 (3.1.3) 它常被用来近似函数的二阶导数。我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义，并用它们来近似函数二阶以上的导数。但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到，因此就不在赘述了。3.1 个相同形式的差分方程。有限差分法应用有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题67。现在，以静电场边值问题 （3.2.1）（3.2.2）为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图3.2-1中。图3.2-1 有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的电位分别用和表示。设函数在处可微，则沿方向在处的泰勒公式展开为 （3.2.3）将和分别代入式（3.2.3）,得 （3.2.4） （3.2.5）由（3.2.4）-（3.2.5）得 （3.2.6）（3.2.4）+（3.2.5）得 （3.2.7）同理 （3.2.8） （3.2.9）将式(3.2.7)、（3.2.9）代入式（3.2.1），得到泊松方程的五点差分格式 当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式： （3.2.10）从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程8。对于场域内的每一个结点，关系式（3.2.10）式都成立，都可以列出。分离变量法：具体例题如下：3） 如图所示，有一长方形的导体槽，a = 20，b = 10，设槽的长度为无限长，槽上有一块与槽绝缘的盖板，电位为100V，其他板电位为零，求槽内的电位分布。 解：用有限差分法求金属盒内电位（20x10）（1）在盒内取2010个离散的电位节点第一步，在场域内部节点上选定电位初始值，为简单起见，可将它们都取为零，记为=0，常称为零次解。第二步，将零次解代入差分方程式（3.2.10），得出诸内部节点电位值的一次解，它们为：=0=0=25其他=0；在求出一次解的200个节点电位值以后，原来零次解中的200个节点电位值将被一次解中的相应电位值所取代，在计算机的内存中不予保留，从而达到了节省存储空间的目的。第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位值等于该节点周围四个相邻节点（或边界点）一次解电位值的算术平均值，并用二次解电位值冲去内存中的原一次解电位值。这样迭代一次又一次的继续下去，可望诸节点的电位值变化越来越小，这时可取这些节点上的电位值为该边值问题的数值解，经50次迭代，得到电位分布如下：000000000000.09930.10890.14230.14670.17780.19210.18920.0920000.13250.14480.25320.31840.39770.43340.35420.1537000.13960.24200.38330.51650.56710.55860.38180.1796000.16920.39430.53920.65850.67730.65810.46550.2314000.23870.53550.73200.89691.01730.97400.66030.2704000.36180.77121.14081.42731.51961.26790.79680.3287000.57931.24191.78322.04592.02521.70031.15740.6089000.95981.86282.48762.81792.84382.40661.74080.8674001.36582.52223.45673.96573.94243.46612.46491.3123001.94643.67364.95135.58955.72304.85603.53891.8705002.79435.16366.90568.03727.84146.83465.02022.7216003.89317.313010.008211.092111.08869.70187.17203.8510005.562110.594413.760815.635215.573713.693210.21655.5458008.250714.711819.528321.930021.874219.360314.60067.94890011.321420.840327.181430.356330.331627.093320.793511.45010017.520330.511338.578842.373842.293638.383830.311317.50320027.750844.805554.006857.993257.945953.869944.883327.85870048.687367.016874.626977.508077.455074.576167.098948.718000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.00000Matlab源程序：u=zeros(20,10);/生成20x10的零矩阵j=2:9;u(10,j)=100;/定义槽盖的电势为100for i=1:20for j=2:9u(i,j)=100/19*(i-1)endendu;h=input(Input h for h(1=h1:);for n=1:kfor i=2:19for j=2:9a=u(i,j);b=u(i,j+1);c=u(i+1,j);d=u(i-1,j);e=u(i,j-1);f=0.25.*(b+c+d+e);u(i,j)=a+h.*(f-a)endendendu /计算多次迭代之后的矩阵y=1:20x=1:10subplot(1,2,1),mesh(x,y,u);subplot(1,2,2),contour(x,y,u) /作出一行两列的图像，分别为立体图和平面图（以上输入分别为h=1.9,k=50）Matlab绘制图像为：由上4得出的数值解可以看出，金属盒内点电位分布是越靠中间电位越高，越靠近金属盒顶部电位越高，这是由于金属盒底部和两边的电位都为零，而顶部最高。由此表明此方法计算出的电位值，符合金属盒内的电位分布情况。当用解析法求解时：槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件 :（2.1.1）（2.1.2）（2.1.3）（2.1.4）（2.1.5）应用分离变量法 , 得到满足方程 ( 1 ) 和边界条件式(2)式 (4) 的解的形式为 （2.1.6）带入边界条件（3）得100= （2.1.7）利用三角函数正交性，求得系数，最后可得槽内电位的解析解为：.解析法的优点是：可将解答表示为已知函数的显式，从而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。但解析法也存在严重缺点，主要是，它仅能解决很少量的问题。事实上，只有在为数不多的坐标系中才能分离变量，而用积分方程法是往往求不出结果，致使分析过程既困难又复杂。结论：本文在讨论电磁场边值问题求解时，将电磁场进行了理想化处理，以一简单边界条件的电磁场边值问题为例，建立相应的数学模型，将场域离散为一些网格，运用差分原理，对场域内偏微分方程及边界上的边界条件进行差分离散化处理，在通过差分运算求出场域内电位值。可以通过上述分析得到这样一些有意义的结论：（1）使用有限差分法求解电磁场边值问题是可行的，只要将网格取得足够小，是可以将离散的点看成连续的。求出离散的数值解，更符合实际应用的需要，而且随着计算机技术的发展，求解差分方程的过程变得简单，使得有限差分法在电磁场问题计算中更具有优势。（2）场域内取的节点越多，计算结果就越精确，当节点划分足够多的时候，离散的点可以看作连续的。但节点划分越多，迭代次数就越多，计算量就越大，所以计算时应根据实际需要，划分合适的节点数。心得：通过以上学习可以看出，利用Matlab强大的计算与图像功能模拟各类物理场的实验是成功的。用Matlab可以解决除上述问题以外，还可以解决两根载流长直导线的磁场问题，大地中的电流问题，自由空间电磁波传播过程问题以及电磁场中梯度、散度、旋度问题等诸多问题。该方法不仅为学习大学物理中电磁场等课程提供了良好的辅助手段，同时在科研当中为相关电磁场问题的设计分析开辟了另一条途径。因此，将Matlab工具引入计算机模拟是可行和有必要的，我们在学习和研究理论问题时，要善于建立物理模型，巧妙的利用计算机的快速运算能力，来帮助我们解决实际问题。在分析一些复杂问题时，虽然我们很难得到一个简单的解析解，但是可以利用有限差分法，结合计算机强大的运算能力，将复杂的方程转化成纯数值计算，得到符合预期精度的数值结果。当代的和未来的科研人员，应当熟练掌握这些软工具，提高编程能力，才能使理论研究更加得心应手。另外，计算机模拟的结果方便直观，便于分析。因此，利用Matlab等计算机软件进行仿真解决物理问题有必要进一步推广，而且具有良好的应用前景。分组：电子1202魏国武 12213052汤世忠 12213048参考文献 1 徐立勤 曹伟电磁场与电磁波 M 北京 : 科学出版社,2006:102-107. 2 冯慈璋 , 马西奎. 工程电磁场导论 M . 北京 : 高等教育出版社 , 2000 :32240 .3 何红雨. 电磁场数值计算法与 MATLAB 实现 M . 武汉 : 华中科技大学出版社 , 2004 : 4210 .4 余定峰 李 超. 有限差分法在静态电磁场计算中的应用J .电子测试2009(4),23-26.5 赵得奎 刘勇.MATLAB在有限差分数值计算中的应用J.四川理工学院报,2005,18(4):61