勾股定理知识点及典型例题.doc

勾股定理一、勾股定理： 1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 即 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是 。2. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为 的三角形是直角三角形。（2）有两个角 的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为的线段（一）结合三角形：1.已知ABC的三边、满足，则ABC为 三角形2.在ABC中，若=（+）（-），则ABC是 三角形，且 3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 4.已知 与互为相反数，试判断以、为三边的三角形的形状。5.已知：在ABC中，三条边长分别为、，=，=2，=（1） 试说明：C=。7若ABC的三边、满足条件，试判断ABC的形状。（二）、实际应用：知识点： 梯子滑动问题：（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米 知识点： 直角边与斜边和斜边上的高的关系：1.直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）A. B. C. D. 知识点：爬行距离最短问题：1.如图，一块砖宽AN=5，长ND=10，CD上的点F距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是 cm2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？3. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）A. B. C. D. 知识点：实际问题：1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是 米。3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 。4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米，B60，则江面的宽度为 。 （三）求边长1. （1）在R中，、分别是A、B、C的对边，C=已知：=6，=10，求； 已知：=40，=9，求；2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。 （四）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米 此时轮船离开出发点多少km? 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（五）折叠问题：1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在