湖南省师大附中高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数 学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合m=x|x22x0，n=x|xa，若mn，则实数a的取值范围是（）a2，+）b（2，+）c（，0）d（，02（5分）给出下面四个命题：p1：x（0，+），；p2：x（0，1），p3：x（0，+），；p4：x（0，），x，其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p43（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）a10b11c512d1 0244（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移（0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（）abcd5（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）a9b11c12d166（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则+=（）a2b0c2d不能确定7（5分）已知边长为1的正方形abcd位于第一象限，且顶点a、d分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）a1bc2d8（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）abcd29（5分）若曲线c1：x2+y22x=0与曲线c2：y（ymxm）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）a（，）b（，0）（0，）c，d（，）（，+）10（5分）已知集合a=x|x=a0+a13+a232+a333，其中ai1，2，3（i=0，1，2，3且a30，则a中所有元素之和等于（）a3 240b3 120c2 997d2 889二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11（5分）在abc中，a=15，b=10，a=60，则cosb=12（5分）如图，椭圆的长轴为a1a2，短轴为b1b2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点a2在平面b1a1b2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为13（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=14（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点p（x1，y1），q（x2，y2），总能使得f（x1）f（x2）4（x1x2），则实数a的取值范围为15（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，若按此规律继续下去，则a5=，若an=145，则n=三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）设函数（1）求f（x）的最小正周期（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值17（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加a、b、c三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛甲选手通过项目a、b、c测试的概率为分别为、，且通过各次测试的事件相互独立（1）若甲选手先测试a项目，再测试b项目，后测试c项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为，求的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛18（12分）如图，abc的外接圆o的半径为5，ce垂直于o所在的平面，bdce，ce=4，bc=6，且bd=1，cosadb=（1）求证：平面aec平面bced；（2）试问线段de上是否存在点m，使得直线am与平面ace所成角的正弦值为？若存在，确定点m的位置；若不存在，请说明理由19（13分）等比数列an中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列（1）求此数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=3an（1）nlgan，求数列bn的前n项和sn20（13分）已知圆c：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：+=1（ab0）的右焦点f和上顶点b（）求椭圆的方程；（）过原点o的射线l与椭圆在第一象限的交点为q，与圆c的交点为p，m为op的中点，求的最大值21（13分）已知函数f（x）=exax2x1（xr）（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a0，有f（x）湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合m=x|x22x0，n=x|xa，若mn，则实数a的取值范围是（）a2，+）b（2，+）c（，0）d（，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出m中不等式的解集确定出m，根据n以及m为n的子集，确定出a的范围即可解答：解：由m中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即m=（0，2），n=x|xa，且mn，a2，则a的范围为2，+）故选：a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）给出下面四个命题：p1：x（0，+），；p2：x（0，1），p3：x（0，+），；p4：x（0，），x，其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4考点：命题的真假判断与应用 专题：探究型；数形结合分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题p1可利用两个指数函数的图象进行判断p2可以利用对数的图象来判断p3可以利用对数和指数函数的图象来判断p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象 可知：x（0，+），所以命题p1错误p2：作出对数函数的图象，由图象知：x（0，1），使命题p2正确p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确p4：当x（0，）时，所以恒有成立，所以命题p4正确故选d点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想3（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）a10b11c512d1 024考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值解答：解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024故答案为：d点评：本题主要考察框图和程序算法，属于基础题4（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移（0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+） 的图象向左平移（0）个单位长度，所得函数为y=sin（x+）为奇函数，则的最小值为，故选：c点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题5（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）a9b11c12d16考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点c时，直线截距最大，此时z最大由得，即c（2，3），此时z=x+3y=2+33=11，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则+=（）a2b0c2d不能确定考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+=2解答：解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，+=2故选：c点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用7（5分）已知边长为1的正方形abcd位于第一象限，且顶点a、d分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）a1bc2d考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：令oad=，由边长为1的正方形abcd的顶点a、d分别在x轴、y轴正半轴上，可得出b，c的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令oad=，由于ad=1，故0a=cos，od=sin，如图bax=，ab=1，故xb=cos+cos（）=cos+sin，yb=sin（）=cos故=（cos+sin，cos）同理可求得c（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2， 的最大值是2，故选c点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题8（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）abcd2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求值解答：解：如图所示，四面体为正四面体是由边长为1的正方体的面对角线围成其边长为，则其表面积为4（）=2故选d点评：本题考查了学生的空间想象力，属于中档题9（5分）若曲线c1：x2+y22x=0与曲线c2：y（ymxm）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）a（，）b（，0）（0，）c，d（，）（，+）考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用 专题：压轴题；数形结合分析：由题意可知曲线c1：x2+y22x=0表示一个圆，曲线c2：y（ymxm）=0表示两条直线y=0和ymxm=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与ymxm=0要有2个交点，根据直线ymxm=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围解答：解：由题意可知曲线c1：x2+y22x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；c2：y（ymxm）=0表示两条直线y=0和ymxm=0，由直线ymxm=0可知：此直线过定点（1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线ymxm=0与圆相交即可满足条件当直线ymxm=0与圆相切时，圆心到直线的距离d=r=1，化简得：m2=，解得m=，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线ymxm=0与圆相交时，m（，0）（0，）故选b点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题本题的突破点是理解曲线c2：y（ymxm）=0表示两条直线10（5分）已知集合a=x|x=a0+a13+a232+a333，其中ai1，2，3（i=0，1，2，3且a30，则a中所有元素之和等于（）a3 240b3 120c2 997d2 889考点：计数原理的应用；数列的求和 专题：综合题；排列组合分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得a中所有元素之和解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3332种方法，当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有332=18种方法，即集合a中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）18；同理可得集合a中含有a1项的所有数的和为（30+31+32）18；集合a中含有a2项的所有数的和为（320+321+322）18；集合a中含有a3项的所有数的和为（331+332）27；由分类计数原理得集合a中所有元素之和：s=（0+1+2）18+（30+31+32）18+（320+321+322）18+（331+332）27=18（3+9+27）+8127=702+2 187=2 889故选d点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11（5分）在abc中，a=15，b=10，a=60，则cosb=考点：正弦定理 专题：计算题分析：由正弦定理可求得 sinb=，再由 ba，可得 b为锐角，cosb=，运算求得结果解答：解：由正弦定理可得 =，sinb=，再由 ba，可得 b为锐角，cosb=，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinb=，以及b为锐角，是解题的关键12（5分）如图，椭圆的长轴为a1a2，短轴为b1b2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点a2在平面b1a1b2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为考点：椭圆的应用；循环结构；二面角的平面角及求法 专题：综合题；压轴题分析：确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角，利用点a2在平面b1a1b2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，可求得cosa2of1=，即可求得结论解答：解：由题意，椭圆中a=4，c=，a2of1为二面角的平面角点a2在平面b1a1b2上的射影恰好是该椭圆的左焦点在直角a2of1中，cosa2of1=a2of1=即二面角的大小为故答案为：点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角，解题的关键是确定二面角的平面角13（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论解答：解：因为f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=xm，其原函数f（x）=x2mx+c（c为常数），所以可得方程m=m，解得m=故f（x）=x故答案为：x点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键14（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点p（x1，y1），q（x2，y2），总能使得f（x1）f（x2）4（x1x2），则实数a的取值范围为a考点：导数的几何意义 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：不妨设x1x2，则x1x20，由f（x1）f（x2）4（x1x2），可得4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点p（x1，y1），q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围解答：解：不妨设x1x2，则x1x20，f（x1）f（x2）4（x1x2），4，f（x）=alnx+（x+1）2，（x0）f（x）=+2（x+1）+2（x+1）4，a2x2+2x2x2+2x=2（x）2+a，故答案为：a点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）f（x2）4（x1x2）的几何意义，是解答的关键15（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，若按此规律继续下去，则a5=35，若an=145，则n=10考点：归纳推理 专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n的值即可解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+13+1=5个实心点，第三个有1+13+1+23+1=12个实心点，第四个有1+13+1+23+1+33+1=22个实心点，第n个有1+13+1+23+1+33+1+3（n1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点若an=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）设函数（1）求f（x）的最小正周期（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值解答：解：（1）f（x）=sinxcoscosxsin=sinxcosx=（sinxcosx）=sin（x），=，f（x）的最小正周期为t=8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x），它关于x=1的对称点（2x，g（x），由题设条件，点（2x，g（x）在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2x）=sin（2x）=sinx=cos（x+），当0x时，x+，则y=g（x）在区间0，上的最大值为gmax=cos=点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键17（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加a、b、c三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛甲选手通过项目a、b、c测试的概率为分别为、，且通过各次测试的事件相互独立（1）若甲选手先测试a项目，再测试b项目，后测试c项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为，求的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率（2）依题意，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望解答：解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1）（1）（1）=，故甲选手能通过海选的概率为：1（1）（1）（1）=若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1）（1）（1）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是（2）依题意，的可能取值为1，2，3，p（=1）=p1，p（=2）=（1p1）p2，p（=3）=（1p1）（1p2）1，的分布列为： 1 2 3 p p1 （1p1）p2 （1p1）（1p2）e=p1+2（1p1）p2+3（1p1）（1p2）p3，分别计算当甲选手按cba，cab，bac，bca，abc，acb的顺序参加测试时，e的值几时甲选手按cba的顺序参加测试时，e最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按cba的顺序参加测试更有利用于进入正赛点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题18（12分）如图，abc的外接圆o的半径为5，ce垂直于o所在的平面，bdce，ce=4，bc=6，且bd=1，cosadb=（1）求证：平面aec平面bced；（2）试问线段de上是否存在点m，使得直线am与平面ace所成角的正弦值为？若存在，确定点m的位置；若不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得bdab，ad=，ab=10=直径，由此能证明平面aec平面bced（2）以c为原点，直线ca为x轴，cb为y轴，ce这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段de上存在点m，且时，使得直线am与平面ace所成角的正弦值为解答：（1）证明：bd平面abc，bdab，又bd=1，cos，ad=，ab=10=直径，acbc，又ec平面ace，bc平面bced，平面aec平面bced（2）解：存在如图，以c为原点，直线ca为x轴，cb为y轴，ce这z轴，建立空间直角坐标系，则a（8，0，0），b（0，6，0），d（0，6，1），e（0，0，4），=（8，6，1），=（0，6，3），设=（0，6，3），01，故=+=（8，66，1+3），由（1）得平面ace的法向量为=（0，6，0），设直线am与平面ce所成角为，则sin=，解得线段de上存在点m，且时，使得直线am与平面ace所成角的正弦值为点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（13分）等比数列an中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列（1）求此数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=3an（1）nlgan，求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列an的通项公式（2）由，得bn=3an（1）nlgan=92n1（1）nlg3+（n1）lg2，由此能求出数列bn的前n项和sn解答：解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，（2）由，得bn=3an（1）nlgan=92n1（1）nlg3+（n1）lg2，sn=9（1+2+2n1）（1）+（1）2+（1）n（lg3lg2），n为偶数时，sn=9+（lg3lg2）（）lg2=9（2n1）+n为奇数时，=9（2n1）+sn=点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用20（13分）已知圆c：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：+=1（ab0）的右焦点f和上顶点b（）求椭圆的方程；（）过原点o的射线l与椭圆在第一象限的交点为q，与圆c的交点为p