浙江省杭州市五校联盟高二数学下学期质检试卷 理（含解析）.doc

浙江省杭州市五 校联盟2014-2015学年高二下学期质检数学试卷（理科）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=（）ax|1x0bx|1x0cx|x1或x0dx|x1或x02已知集合m=x|x24x0，n=x|mx5，若mn=x|3xn，则m+n等于（）a9b8c7d63设f（x）=，则ff（ln2+2）=（）alog515b2c5dlog5（3e2+1）4如果对定义在r上的函数f（x），对任意x1x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“h函数”给出下列函数：y=x3+x+1；y=3x2（sinxcosx）；y=ex+1；f（x）=其中函数式“h函数”的个数是（）a4b3c2d15设x，y满足约束条件，若目标函数 的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）abcy=sin2xd6在abc中，点g是abc的重心，若存在实数，使=+，则（）a=，=b=，=c=，=d=，=7已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，sn是数列an前n项的和，则（nn+）的最小值为（）a4b3c22d8若实数x，y满足不等式组，且z=y2x的最小值等于2，则实数m的值等于（）a1b1c2d29设f1，f2分别为双曲线（a0，b0）的左，右焦点若在双曲线右支上存在一点p，满足|pf2|=|f1f2|，且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）abcd10三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=1，abac，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满足=，直线pn与平面abc所成角的正切值取最大值时的值为（）abcd二、填空题（共8题，每题3分，共24分）11已知函数f（x）=，若对任意的xt，t+2，不等式f（x+t）2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是12对于函数f（x）=，有下列4个命题：任取x1、x20，+），都有|f（x1）f（x2）|2恒成立；f（x）=2kf（x+2k）（kn*），对于一切x0，+）恒成立；函数y=f（x）ln（x1）有3个零点；对任意x0，不等式f（x）恒成立则其中所有真命题的序号是13已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，下列结论中：函数f（x）关于x=对称；函数f（x）关于（，0）对称；函数f（x）在（0，）是增函数，将y=cos2x的图象向右平移可得到f（x）的图象其中正确的结论序号为14如图，已知abc中，ab=ac=4，bac=90，d是bc的中点，若向量=+m，且的终点m在acd的内部（不含边界），则的取值范围是15数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为sn，则s30为16设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=17已知正方形abcd的边长为8，空间有一点m（不在平面abcd内）满足|ma|+|mb|=10，则三棱锥mabc的体积的最大值是18已知椭圆的左焦点为f1，右焦点为f2若椭圆上存在一点p，满足线段pf2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段pf2的中点，则该椭圆的离心率为三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分）19设函数f（x）=log2（4x）log2（2x），（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值20已知，数列an的前n项的和记为sn（1）求s1，s2，s3的值，猜想sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想21如图，长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e是线段ab中点（1）证明：d1ece；（2）求二面角d1ecd的大小的余弦值；（3）求a点到平面cd1e的距离22在平面直角坐标系xoy中，点p（a，b）（ab0）为动点，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点已知f1pf2为等腰三角形（）求椭圆的离心率e；（）设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，m是直线pf2上的点，满足，求点m的轨迹方程浙江省杭州市五校联盟2014-2015学年高二下学期质检数学试卷（理科）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1已知全集u=r，a=x|x0，b=x|x1，则集合u（ab）=（）ax|1x0bx|1x0cx|x1或x0dx|x1或x0考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=x|x0，b=x|x1，ab=x|1x0，则u（ab）=x|x1或x0，故选：d点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础2已知集合m=x|x24x0，n=x|mx5，若mn=x|3xn，则m+n等于（）a9b8c7d6考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：m=x|x24x0=x|0x4，n=x|mx5，若mn=x|3xn，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础3设f（x）=，则ff（ln2+2）=（）alog515b2c5dlog5（3e2+1）考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式，结合对数和指数幂的运算法则进行化简即可解答：解：f（ln2+2）=4eln2+22=4eln2=42=8，f（8）=log5（38+1）=log525=2，故ff（ln2+2）=2，故选：b点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数表达式直接代入是解决本题的关键4如果对定义在r上的函数f（x），对任意x1x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“h函数”给出下列函数：y=x3+x+1；y=3x2（sinxcosx）；y=ex+1；f（x）=其中函数式“h函数”的个数是（）a4b3c2d1考点：函数单调性的性质；函数的图象 专题：计算题；函数的性质及应用分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论解答：解：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，不等式等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，即函数f（x）是定义在r上的增函数y=x3+x+1；y=3x2+1，则函数在定义域上不单调y=3x2（sinxcosx）；y=32（cosx+sinx）=32sin（x+）0，函数单调递增，满足条件y=ex+1为增函数，满足条件f（x）=，当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“h函数”的函数为，故选c点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键5设x，y满足约束条件，若目标函数 的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）abcy=sin2xd考点：简单线性规划；函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，m0，平移直线，则由图象知，直线经过点b时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即b（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin2（x）+=sin2x，故选：c点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键6在abc中，点g是abc的重心，若存在实数，使=+，则（）a=，=b=，=c=，=d=，=考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由三角形的重心分中线为得，的值解答：解：点g是abc的重心，点g分中线为=（）=（），=+，故选：a点评：本题考查三角形的重心性质、向量相等，属于基础题7已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，sn是数列an前n项的和，则（nn+）的最小值为（）a4b3c22d考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列an的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值解答：解：a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，（1+2d）2=1+12d得d=2或d=0（舍去），an =2n1，sn=n2，=令t=n+1，则=t+262=4当且仅当t=3，即n=2时，的最小值为4故选：a点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题8若实数x，y满足不等式组，且z=y2x的最小值等于2，则实数m的值等于（）a1b1c2d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=y2x的最小值等于2，结合数形结合即可得到结论解答：解：由z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为2，即y2x=2，由，解得，即a（1，0），点a也在直线x+y+m=0上，则m=1，故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法9设f1，f2分别为双曲线（a0，b0）的左，右焦点若在双曲线右支上存在一点p，满足|pf2|=|f1f2|，且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率解答：解：依题意|pf2|=|f1f2|，可知三角形pf2f1是一个等腰三角形，f2在直线pf1的投影是其中点，由勾股定理知可知|pf1|=2 =4b根据双曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得 =；e=故选b点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=1，abac，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满足=，直线pn与平面abc所成角的正切值取最大值时的值为（）abcd考点：直线与平面所成的角 专题：综合题；空间角分析：以ab、ac、aa1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系axyz，可得向量的坐标关于的表示式，而平面abc的法向量=（0，0，1），可建立sin关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当=时，角达到最大值解答：解：以ab、ac、aa1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系axyz，则=（，），易得平面abc的一个法向量为=（0，0，1）则直线pn与平面abc所成的角满足：sin=|cos，|=，于是问题转化为二次函数求最值，而0，当最大时，sin最大，所以当=时，sin最大为，同时直线pn与平面abc所成的角得到最大值故选：a点评：本题给出特殊三棱柱，探索了直线与平面所成角的最大值，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题二、填空题（共8题，每题3分，共24分）11已知函数f（x）=，若对任意的xt，t+2，不等式f（x+t）2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是，+）考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由当x0时，f（x）=x2，x0时，f（x）=x2，从而f（x）在r上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，可得x+tx在t，t+2恒成立，计算即可得出答案解答：解：当x0时，f（x）=x2递增，当x0时，f（x）=x2递增，函数f（x）=，在r上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），不等式f（x+t）2f（x）=f（x）在t，t+2恒成立，x+tx在t，t+2恒成立，即：t（1）x在 xt，t+2恒成立，t（1）（t+2），解得：t，故答案为：点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，难度适中，关键是掌握函数的单调性的运用12对于函数f（x）=，有下列4个命题：任取x1、x20，+），都有|f（x1）f（x2）|2恒成立；f（x）=2kf（x+2k）（kn*），对于一切x0，+）恒成立；函数y=f（x）ln（x1）有3个零点；对任意x0，不等式f（x）恒成立则其中所有真命题的序号是考点：分段函数的应用 专题：数形结合；函数的性质及应用分析：作出f（x）=的图象，利用图象可得结论解答：解：f（x）=的图象如图所示：f（x）的最大值为1，最小值为1，任取x1、x20，+），都有|f（x1）f（x2）|2恒成立，正确；f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）8f（+8），故不正确；如图所示，函数y=f（x）ln（x1）有3个零点；对任意x0，不等式f（x）恒成立，则实数k的取值范围是（，+），结合图象，可得正确故答案为：点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键13已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，下列结论中：函数f（x）关于x=对称；函数f（x）关于（，0）对称；函数f（x）在（0，）是增函数，将y=cos2x的图象向右平移可得到f（x）的图象其中正确的结论序号为考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由2x=k，kz可解得函数对称轴不正确；由2x=k，kz可解得函数对称中心为：（，0），不正确；由2k2x2k+，可解得函数单调递增区间，可得正确；将y=cos2x的图象向右平移可得到y=cos2（x）=sin（2x），可得正确解答：解：f（x）=sin2x+sinxcosx=sin（2x），对于，2x=k，kz可解得函数对称轴为：x=，kz，故不正确；对于，由2x=k，kz可解得：x=，kz，故函数对称中心为：（，0），不正确；对于，由2k2x2k+，可解得函数单调递增区间为：k，k，kz，故可得函数f（x）在（0，）是增函数，正确；对于，将y=cos2x的图象向右平移可得到y=cos2（x）=cos（2x）=sin（2x）=sin（2x）=sin（2x），正确故答案为：点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查14如图，已知abc中，ab=ac=4，bac=90，d是bc的中点，若向量=+m，且的终点m在acd的内部（不含边界），则的取值范围是（2，6）考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；作图题；平面向量及应用分析：以ab为x轴，ac为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求的取值范围解答：解：以ab为x轴，ac为y轴，作图如右图，点a（0，0），b（4，0），c（0，4），d（2，2），则=+m=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则m（1，4m），又的终点m在acd的内部（不含边界），14m3，m，则=（1，4m）（3，4m）=16m23，m，216m236；故答案为：（2，6）点评：本题考查了向量在平面几何中的运用，属于基础题15数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为sn，则s30为470考点：数列的求和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用二倍角公式对已知化简可得，an=n2（cos2sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解解答：解：an=n2（cos2sin2）=n2cos+32cos2+302cos20=+=1+22232）+（42+52622）+（282+2923022）=（1232）+（4262）+（282302）+（2232）+（5262）+（292302）=2（4+10+16+58）（5+11+17+59）=2=470故答案为：470点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用16设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据m1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值解答：解：m1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又m1，解得m=1+故答案为：1+点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）点取得最大值，并由此列出关于m的方程是解答本题的关键，是中档题17已知正方形abcd的边长为8，空间有一点m（不在平面abcd内）满足|ma|+|mb|=10，则三棱锥mabc的体积的最大值是32考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：由已知点m（不在平面abcd内）满足|ma|+|mb|=10，可得点m在以a，b为焦点的椭球上（去掉在平面abcd内的点），球心为o当mo平面abcd时，mo=，此时三棱锥的高最大，即可得出解答：解：由已知点m（不在平面abcd内）满足|ma|+|mb|=10，可得点m在以a，b为焦点的椭球上（去掉在平面abcd内的点），球心为o当mo平面abcd时，mo=3，此时三棱锥的高最大，因此三棱锥abcm的体积的最大值=32故答案为：32点评：本题考查了椭球的定义及其性质、线面面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知椭圆的左焦点为f1，右焦点为f2若椭圆上存在一点p，满足线段pf2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段pf2的中点，则该椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先设切点为m，连接om，pf1，根据已知条件即可得到|pf1|=2b，并且知道pf1pf2，这样即可可求得|pf2|=2，这样利用椭圆的定义便得到2b+2=2a，化简即可得到b=，根据离心率的计算公式即可求得离心率e解答：解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段pf2相切于m点，连接om，pf2，m，o分别是pf2，f1f2的中点，mopf1，且|pf1|=2|mo|=2b，ompf2，pf1pf2，|f1f2|=2c，|pf2|=2，根据椭圆的定义，|pf1|+|pf2|=2a，2b+2=2a，ab=，两边平方得：a22ab+b2=c2b2，c2=a2b2代入并化简得：2a=3b，b=，a=1，c=，e=，即椭圆的离心率为故答案为：点评：本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分）19设函数f（x）=log2（4x）log2（2x），（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：计算题；转化思想分析：（1）由对数函数的单调性，结合，我们易确定出t=log2x的最大值和最小值，进而得到t取值范围；（2）由已知中f（x）=log2（4x）log2（2x），根据（1）的结论，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案解答：解：（1）即2t2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2令t=log2x，则，时，当t=2即x=4时，f（x）max=12点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键20已知，数列an的前n项的和记为sn（1）求s1，s2，s3的值，猜想sn的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想考点：数列的求和；归纳推理；数学归纳法 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）依题意，可求得s1，s2，s3的值，继而可猜想sn的表达式；（2）猜想sn=；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可解答：解：（1）an=，s1=a1=，s2=a1+a2=+=，s3=s2+a3=+=；猜想sn=；（2）证明：当n=1时，s1=，等式成立；假设当n=k时，sk=成立，则当n=k+1时，sk+1=sk+ak+1=+=，即当n=k+1时等式也成立；综合知，对任意nn*，sn=点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法，考查推理、证明的能力，属于中档题21如图，长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e是线段ab中点（1）证明：d1ece；（2）求二面角d1ecd的大小的余弦值；（3）求a点到平面cd1e的距离考点：点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明ce面d1de即可证明：d1ece；（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角d1ecd的大小的余弦值；（3）