数学专题总结：高考备考精品.pdf

第 1页 共 34页 数学数学专题总结专题总结 高考备考精品 高考备考精品 一 不等式解题方法一 不等式解题方法一 不等式解题方法一 不等式解题方法 一 从一 从与与的大小说起的大小说起 引例 引例 正实数中 对任意a b m 都有 这就是 分数的基本性质 分数的分子和分母乘以同一个正数 其值不变 这 连小学生都知道 但 我们的话题却要从这儿开始 问题 问题 对以上 性质 如果将冒号后的文字改变一个字 将 乘 改成 加 即变成 这里的等号还能成立吗 请看下例 例 例 1 1 1 1 若b a 0 m 0 则有 A B C D 解答 解答 淘汰法 令a 1 b 2 m 3 淘汰 B C D 答案为 A 例 例 2 2 2 2 变例 1 为解答题 若b a 0 m 0 试比较和的大小 解 解 1 1 1 1 比较法 作差 变形 判定符号 因为 解 解 2 2 2 2 综合法 由因推果 由整式推出分式 a bma mbab am ab bma b m b a m 说明 说明 因果关系 步步清楚 只是在第三步时 对ab的无中生有 不易想到 解 解 3 3 3 3 分析法 由果索因 由分式化为整式 第 2页 共 34页 欲使 只须a b m b a m 只须am bm 只须a 说明 说明 a放大为b 则缩小为 结果是分值缩小 将缩成 目标是 约 去m 解 解 5 5 5 5 放缩法 从左到右 a 0 m 0 求证 法 法 1 1 1 1 等式法 不等式变为方程 设 得 即x 0 故有 说明 说明 这种等式法实为比较法的一种变式 即作差法的另种形式 法 法 2 2 2 2 等式法 未知数论设作因子 设 则所以 说明 说明 这种等式法为比较法的另一种形式 即作商法的另种形式 法 法 3 3 3 3 函数法 视m为x 设有函数 函数在 0 m 上是减函数 故 是 0 m 上的增函数 图右 其中a 1 b 2 f 0 0 是 第 4页 共 34页 0 上的减函数 法 法 4 4 4 4 不等式法 把证不等式化为解不等式 解不等式 即x m为正数时 原不等式真 说明 说明 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式 如证a2 a 1 0 即x2 x 1 0 的解为 R R R R 视参数为变量 解出的参数值域符合题设的取值范围即可 法 法 5 5 5 5 极限法 把参数m作极端处理 当m 0 时 当m 时 故有 说明 说明 对于解答题来讲 这种解法的理由不充分 因为对于函数f m 的单调性 并没讲清楚 没有交待f m 是上的增函数 如果是确定性的选择题例 1 即与的大小关系是确定的 不需要讨论m的范围时 则这种极限法是很简便的 小结 真分数的 放大性 真分数的分子和分母加上同一个正数 其值变大 以这种 放大性 为基础 可推出许多重要的分式不等式 如 1 a b a b 2 数列 an 是增数列 而数 bn 是减数列 练习 1 正数中 再证 分别用函数法 方法程和解不等式法 2 用不同的方法证明 第 5页 共 34页 3 用不同的方法证明 三 千方百法 会战高考不等式 考题 1 2006 年赣卷第 5 题 对于 R 上可导的任意函数 f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 分析 从已知条件 x 1 f x 0 出发 可得如下的不等式组 或 因此 f x 有两种可能 其一 f x 为常数 其二 f x 在区间上 为减函数 在上为增函数 解答 综合法 依题意 当 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 1 上是增函数 当 x0 函数 f x ax bx2 当 b 0 时 若对任意 x R 都有 f x 1 证明 a 当 b 1 时 证明 对任意 x 0 1 f x 1 的充要条件是 b 1 a 当 00 b 0 a 解 先证必要性 对任意 x 0 1 f x 1 1 f x 据此可以推出 1 f 1 即 a b 1 a b 1 第 6页 共 34页 对任意 x 0 1 f x 1f x 1 因为 b 1 可以推出 1 即 a 1 1 a b 1 a 再证充分性 因为 b 1 a b 1 对任意 x 0 1 可以推出 ax bx2 b x x2 x x 1 即 ax bx2 1 因为 b 1 a 对任意 x 0 1 可以推出 ax bx2 1 即 ax bx2 1 1 f x 1 综上 当 b 1 时 对任意 x 0 1 f x 1 的充要条件是 b 1 a 解 因为 a 0 00 0N 时 对任意 b 0 都有 分析 本题的第 小题之间成梯式结构 是 和 的 基础 从策略上看 如在 上遇着困难 可承认 的结论 并利用它迅速地解出 第 7页 共 34页 和 来 此题恰恰是第 难 而 容易 对于 已知为两个不等式 而求证一个不等式 其基本思路是 对已知不等式用综合 法 下推 对求证不等式用分析法 上追 如 欲使 只须 此时 综合下推 的方向就清楚了 解 当 n 2 时 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知 当 n 3 时有 解 又 an 0 故有 0 解 放大为了化简 令 则有 故取 N 1024 可使当 n N 时 都有 说明 本小题是条件不等式的证明 已知 2 个不等式 求证 1 个不等式 在分析 综合 第 8页 共 34页 放缩三法联合证明综合大题时 优先考虑分析法 随时思考待证的不等式需要什么 需 要的东西如何从已知的不等式中得到 练习 对考题 3 已知条件不变 对设问作如下改写 设 利用数学归纳法证不等式 利用上述结果 证明不等式 二 函数最值的求解方法二 函数最值的求解方法二 函数最值的求解方法二 函数最值的求解方法 一 二次函数最值寻根一 二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值 是从配方法开始的 设a 0 f x ax 2 bx c 初三学生已知 二次函数f x 在a 0 时 有最小值 a0 探索二次函数y ax 2 bx c 的单调区间 并指出函数的最值点 解答 解答 任取x10 有减区间和增区 间 显然 二次函数的最值点为 函数有最小值 评说 评说 从这里看到 二次函数的最点 就是两个 异性 单调区间的交接点 练 练 1 1 试研究一次函数没有最点 从而没有最值 解 解 任取 则有 1 时 函数在 R R 上为增函数 时 时 第 10页 共 34页 2 时 函数在 R R 上为减函数 时 时 所以 一次函数在 R R 上没有最点 从而一次函数无最值 既无最大值 也无最小 值 说明 说明 一次函数定义在 R R 上 定义域内找不到这样的 点 使得该点两边邻域是异 性的两个单调区间 本例从反面看到 最点是单调区间的 变性 的 转折点 二 从二 从到到 高中生将 最点 变形为 并由此得到一个一次函数 精明的学生发现 这个一次函数与对应的二次函数有某 种 关系 甚至有学生在偷偷地利用这种 关系 这种 关系 到了高三才彻底解决 函数正是函数的 导函数 即 函数求 最根 的问题 正好是的导函数的 求根 问题 导函数的根 就是的驻点 很清楚 二次函数的驻点就是二次函数的最点 问题变得这么明朗 求的最点 就是求的根 俗说中 最根 真的与 根 字 巧合了 例 例 2 2 设 在同一坐标系中 分别作得和的 图象 如右 试说明的正负性与单调性的对应关系 解析 解析 与相交于 第 11页 共 34页 1 时 递减 2 时 递增 3 时 得到最小值 故对应关系为 1 负区与的减区对应 2 正区与的增区对应 3 零点与的最值对应 练 练 2 2 已知二次函数的导函数图象如右图的直线 则有 第 12页 共 34页 1 增区间为 减区间为 2 的最 值为 3 若 求的解析式 解答 解答 从右图上看到 1 的根为 故有 1 2 时 0 故的增区间为 时 0 函数递增 2 时 0 函数递增 故在有极大值 在上有极小值 故 是的 2 个极点 前者为极大点 后者为极小点 又时 故函数既无最大值 也 无最小值 从而无最点 说明 说明 这是三次函数有 2 个驻点 且都为极点的例子 而三次函数无驻点或有驻点但 不是极点的例子如下 练 3 练 练 3 3 研究下列三次函数的驻点 极点 最点和单调区间研究下列三次函数的驻点 极点 最点和单调区间 1 2 解析 解析 1 函数无驻点 无极点 无最点 是 上的增函数 2 有 2 个重合的驻点 第 14页 共 34页 1 当时 函数递增 2 当时 函数也递增 因此 驻点不能分出两个 相异 的单调区间 故不是的极点 无 极点 当然也无最点 是 R R 上的增函数 说明 说明 函数相重合的两驻点不成为极点 可理解为它们消 去了 中间 的一个 相异 的单调区间后 将两边的 同性 的单调区进行了链接而成为 一个单调区间 经过以上的讨论得知 定义在 R R 上的三次函数 不管它有无驻点或极点 它是不会有最点的 四 极点何时为最点四 极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点 那么 在什么条件下极点成为最点呢 驻点是极点的必要不充分条件 那么极点是最点的什么条件呢 我们研究 极点何时成为最点 例 例 4 4 已知的导函数 试探究的极点和最点 解析 解析 有 3 个相异的根 它们都是的极点 易知原函数 R R 易知为的减区间 为的增区间 为的减区间 为的增区间 的 4 个单调区间依次成 减 增 减 增 的顺序 使得首 尾两个区间的单 调性相异 从而使得在 两次探底 中得到最 小 点 比较三个极值的大小 得的最小值为 对应两个最小点和 1 第 15页 共 34页 说明 说明 定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点 x1 x2 xn 当n为奇数时 有最点存在 最点在依次为奇数的极点中产生 通过奇数位上的极值 比大小可得 当n为偶数时 函数无最点 练 练 4 4 求函数的最值 解析 解析 函数是定义在一个开区间上的可导函数 令 得的唯一驻点即为最点 时 函数递增 时 函数递减 故有最大值 说明 说明 本函数是二次函数的复合函数 用配方法求最值也很简便 等号成立条件是 五 最值寻根的导数判定五 最值寻根的导数判定 若定义在一个开区间上的函数有导函数存在 那么是否有最值 的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究 1 若导函数无根 即 则无最值 2 若导函数有唯一的根 即 则有最值 此时 导函数 的根即是函数最根 3 若导函数有多个的根 则应从多个驻点中依次判定极点 最点的存在性 第 16页 共 34页 例 例 5 5 在以下四个函数中 有最值存在的函数是 A B C D 解析 解析 对于 A 定义区间虽有两个 但都有 无最值 对于 B 函数有重合的两驻点 无最值 对于 C 无最值 对于 D 当时 令 得 有最值 1 本题答案为 D 练 练 5 5 判断以下函数 是否有最值 如果有 求出最值判断以下函数 是否有最值 如果有 求出最值 1 2 解析 解析 1 无最值 2 当时 由 得 有最值 当时 是增函数 当时 是减 函数 故是的最大值 六 最根与高考题六 最根与高考题 第 17页 共 34页 导数应用于高考 一般都在研究函数的单调性和函数最值问题 对可导函数来讲 这两个问 题互相捆绑着 于是导数问题的 根本 则变成 最根 问题 例 例 6 6 已知可导函数在 R R 上恒有 且不为常数 试研究 的单调区间和函数最值 解析 解析 由可知 时 函数为减函数 时 函数为增函数 由此可知 是的唯一的根 故为最根 故有减区间 增区间 有最大值 说明 说明 本题是在研究 抽象函数 无具体解析式的一类函数的性质 只在 满足性质条件下 通过 最根 的判定而确定了的单调区间和最值 有些不等式的证明 还可以通过构造函数 研究这个函数的 最值 而确认不等式是否成立 练 练 6 6 已知函数 1 求函数的最大值 2 设 证明 解析 解析 1 故有唯一的最根 故的最大值为 2 设 则 第 18页 共 34页 当时 因此在内为减函数 当时 因此在上为增函数 从而 当时 有最小值 因为 所以 即 说明 说明 问题 2 的解决 是用 最根 证明不等式 七 余兴七 余兴荒唐错误荒唐错误打从何来打从何来 学生小新读完上文 很感兴趣 他模仿着 练练 4 4 的题型 只是变了几个系数 结果成了下 面的问题 例 例 7 7 研究函数有无最值 小新解答 小新解答 令 得的唯一驻点为 最点 因此有最值 讨论 讨论 是最值吗 若为最大值 我们可以找到比它更大的 如 果是最小值 我们可以找到比它更小的 解答错了 错在哪里 作为思考题留给读者 提示 提示 本函数的定义域不是 一个 开区间 三 二项式的展开三 二项式的展开三 二项式的展开三 二项式的展开 1 1 二项式 a a b b n n展开 追根n n 1 1 第 19页 共 34页 根据乘法法则 分别有 1 a b 1 a b 2 a b 2 a 2 2ab b2 3 a b 3 a 3 3a2b 3ab2 b3 4 a b 4 a 4 4a3b 6a2b2 4ab3 b 4 展开后 2 的系数是 1 的系数 错位相加 3 的 系数是 2 的系数 错位相加 4 的系数是 3 的系 数 错位相加 n 的系数是 n 1 的系数 错 位相加 草式如下 由此看到 a b n展开式的系数是由 a b 1的系数 1 1 错位相加 累 计 n 1 次的结果 例 例 2 2 设 a b 6 A0a 6 A1a 5 b A2a 4 b 2 A6b 6 a b 7 B0a 7 B1a 6 b B2a 5 b 2 B7b 7 试用Ai i 0 1 6 的代数式表示Bj j 0 1 2 7 解析 解析 a b 7 a b 6 a b A0a 6 A1a 5 b A5ab 5 A6b 6 a b A0a 7 A0 A1 a 6 b A1 A2 a 5 b 2 A5 A6 a b 6 A6b 7 于是有B0 A0 B1 A0 A1 B2 A1 A2 B3 A2 A3 B4 A13 A4 B5 A4 A5 B6 A5 A6 B7 A6 第 20页 共 34页 说明 由 6 到 7 的系数 错位相加 草式如下 这是一个有趣的规律 它说明 二项式展开式的每个系数也是 二项式 即展开式的每个 系数都是一个二项式的和 一般地 Br 1 Ar A r 1 r 0 1 n 1 特别地 B0 0 A0 A0 Bn An 1 0 An 1 2 2 二项式含二项式 二项式含二项式看杨辉三角收藏看杨辉三角收藏 上面的 错位加法 有意思 二项式中的二项式更有意思 如果把草式简化 只把各行的 加 法结果 依次开列出来 就得到我们熟悉的杨辉三角形 图右 这个三角形可命名为 1 1 三角形 因为 1 这个 三角形是从 1 1 开始的 2 三角形的任何一行数的和 自我相加之后变成了下一行各数之和 这个三角形可命名为 2 打滚三角形 因为从 2 开始 上行各数之和翻一倍 便成为下行各数之和 这个三角形还可命名为 二项式中的二项式三角形 中 因为这个三角形中的任何一个数 都等于这个数肩上 2 数之和 如三角形中第 5 行的 第 3 数 10 就等于它的肩上两数 第 4 行第 2 3 两数的和 10 4 6 二项式中的二项式 肩挑两数 中两数是唯一的吗 例 例 3 3 在杨辉三角形中 第 5 行第 3 数上的数 10 写成肩上 2 数的和 可以是 A 10 4 6B 10 3 7C 10 2 8 D 10 5 5 解答 解答 杨辉三角形中的任何一个数 都由 1 1 的错位加法形成 因为加法的结果有唯一 性 所以 第 5 行第 3 个数 10 肩挑两数的结果 4 6 是唯一的 答案为 A 说明 这个三角形还可以命名为 单肩串数三角形 因为三角形中任何一个数都等于它的 一个肩上数斜向上顶住的一串数 第 21页 共 34页 如三角形中第 5 行第 3 数 10 它等于它右肩上的数 6 并由 6 向左斜上方串联的一组数的和 即 10 6 3 1 它也等于它左肩上的数 4 并由 4 向右斜上方串联的一组数的和 即 10 4 3 2 1 单肩串数 实为 肩挑两数 性质推论 单肩串数 实为 肩挑两数 递推的结果 例 如数 10 如果是右肩串数 则是 3 次 肩挑两数 的结果 10 6 4 6 3 1 6 3 1 0 6 3 1 0 单肩串数 是 肩挑两数 的递推结果 从而是 错位加法 的累计结果 图右 3 3 子集组合 子集组合得得展开式系数式系数 为了弄清二项式 a b n a b a b a b A0a n A1a n 1b An 1ab n 1 Anb n 展开时系数的形成过程 我们先回 头看 和的平方 展开时 系数是怎样形成的 a b 2 a b a b 我们视a为主字母 视b为系数 其中的 2 个b分别记作b1和b2 于是有 a b 2 a b1 a b2 a 2 b 1 b2 a b1b2 a 2 2ab b2 由此看到 最高项a 2的系数为 1 次高项 a的系数是b1 b2 这是从集合 b1 b2 中 每 次取 1 个元素所成的组合 其组合数为 2 常数项b1b2 是从集合 b1 b2 每次取出 2 个元素所成的组合 组合数为 1 统一地看 最高项a 2中不含 b 因此可以看作 从集合 b1 b2 每次取出 0 个元素所对应 的组合 组合数为 1 这样一来 和的平方 展开式可写成 a b 2 a 2 ab b 2 有了这个基础 我们也可以用 组合数 表示二 项式 a b n展开后各项的系数 例 例 4 4 试探索用组合数表示二项式 a b n a b a b a b A0a n A1a n 1b An 1ab n 1 Anb n 展开式中各系数A0 A1 An 1 An 第 22页 共 34页 解答 解答 对于a n 它是从集合 b1 b2 bn 中每次取出 0 个元素的组合 组合数 为A0 对于a n 1b 它是从集合 b1 b2 bn 中 每次取出 1 个元素的组合 组合数为A1 对于ab n 1 它是从集合 b1 b2 bn 中 每次取出n 1 个元素的组合 组合数为 对于b n 它是从集合 b1 b2 bn 中 每次取出n个元素的组合 组合数为 于是 二项式 a b n可展开成如下形式 a b n a n a n 1b ab n 1 b n 这就是所谓的 二项式定理 说明 二项式展开后各项的系数依次为 其中 第 1 个数 1 从第 2 个数开始 后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为 这就是二项式展开 系数递推 的依据 二项式系数递推实际上是组合数由到 的递推 4 4 加法定理加法定理来自二项式性质来自二项式性质 将杨辉三角形中的每一个数 都用组合符号表示出来 则得图右的三角形 自然 肩挑两数 的性质可写成组合的 加法式 如 这里 1 相加两数和是 下标相等 上标差 1 的两数 2 其和是 下标增 1 上标选大 的组合数 一般地 杨辉三角形中第n 1 行任意一数 肩挑 两数 的结果为组合的加法定理 有了组合的加法定理 二项式 a b n展开式的证明就变得非常简便了 例 例 5 5 试用数学归纳法证明二项式定理 第 23页 共 34页 a b n a n a n 1b ab n 1 b n 证明 证明 1 当n 1 时 a b a b a b命题真 2 假设n k时命题真 即 a b k a k a k 1b ab k 1 b k 两边同乘以 a b 由 错位加法 可得 a b k 1 a k 1 a kb a k 1 b 2 ab k b k 1 a k 1 a kb ab k b k 1 综合 1 2 可知 对任意的n N N 二项式 a b n展开式成立 5 5 n n始于始于 1 1r r始于始于 0 0 二项式定理将 a b 的乘方式展开成一个数列的和 a b n a n a n 1b a n rbr b n a n rbr 展开式中的r从 0 取到n 故展开式共有n 1 项 其中关于r的通项a n rbr不是它的第 r 项 而是第r 1 项 故二项式展开式的通项公式为Tr 1 a n rbr 初学者经常误 成Tr a n rbr 在通项公式中弄清了 n与r的关系 后 以下考题可以做到 一挥而就 例 例 6 6 已知 求展开式中x 9的系数 分析 分析 x 9的系数与 x 9的二项式系数虽然不是一回事 但仍可用通项公式 a n rbr求出对 应的r来 解答 解答 设展开式的第r 1 项能化简得到x 9项 则有Tr 1 x 2 9 r 令18 3r 9得r 3故x 9的系数为 第 24页 共 34页 说明 说明 数学解题 切忌拘泥公式 如本题中求r的值 不一定要硬套通项公式 事实上 展开式按x的降幂排列 第 1 项的指数是 18 第 2 项的指数是 15 依次递减 指数为 9 的 项是第 4 项 故有r 3 由此直接得x 9的系数为 这样的计算量大为减少 6 6 数形趣遇 数形趣遇算式到算图算式到算图 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇 它把数形结合带进了计算数学 求二项式展开式系数的问题 实际上是一种组合数的计算问题 用系数通项公式来计算 称 为 式算 用杨辉三角形来计算 称作 图算 例例 7 7 2007 全国甲卷理 13 文 16 的展开式中常数项 为 式算 式算 先考虑展开后的常数项 Tr 1 x 8 r 1 令 8 2r 0 得r 4 得 70 2 令 8 2r 2 得r 5 得 56 故求得的展开式中常数项为 70 2 56 42 图算 常数项产生在展开后的第 5 6 两项 用 错位加法 很容易 加出 杨辉三角形第 8 行的第 5 个数 简图如下 14641 第 25页 共 34页 15101051 1520156 1 353521 7056 图上得到 70 56 故求得展开式中常数项为 70 2 56 42 点评 点评 式算 与 图算 趣遇 各扬所长 各补所短 杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图 对杨辉三角形熟悉的考生 比如他熟悉到了它的 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 那么他可以心算不动笔 对本题做到一望而答 杨辉三角形在 3 年内考了 5 个 相关的 题目 这正是高考改革强调 多想少算 逻辑 思维与直觉思维并重 的结果 这 5 个考题都与二项式展开式的系数相关 说明数形结合思 想正在高考命题中进行深层次地渗透 四 函数周期性的求解四 函数周期性的求解四 函数周期性的求解四 函数周期性的求解 1 1 正弦函数的周期 正弦函数的周期 三角函数 以正弦函数y sinx为代表 是典型的周期函数 幂函数y x 无周期性 指数函数y a x 无周期性 对数函数y logax无 周期 一次函数y kx b 二次函 数y ax 2 bx c 三次函 数y ax 3 bx2 cx d 无周期性 周期性是三角函数独有的特性 1 1 正弦函数正弦函数y y sin sinx x的最小正周期的最小正周期 在单位圆中 设任意角 的正弦线为有向线 段MP 第 26页 共 34页 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周 正弦线MP的即时位置 和变化方向重现一次 同时还看到 当P的旋转量不到一周时 正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现 因此 正弦函数y sinx的最小正周期 2 2 2 y y sin sin x x 的最小正周期 的最小正周期 设 0 y sin x 的最小正周期设为L 按定义y sin x L sin x L sin x 令 x x则有 sin x L sinx 因为 sinx最小正周期是 2 所以有 例如 sin2x的最小正周期为 sin的最小正周期为 3 3 正弦函数正弦函数y y sin sin x x 的周期性的周期性 对正弦函数 sinx的自变量作 一次替代 后 成形式y sin x 它的最小正周期与y sin x的最小正周期相同 都是 如的最小周期与y sin 3x 相同 都是 于是 余弦函数的最小正周期与 sinx的 最小正周期相同 都是 2 2 2 复合函数的周期性 复合函数的周期性 将正弦函数y sinx进行周期变换x x sinx sin x 第 27页 共 34页 后者周期变为 而在以下的各种变换中 如 1 初相变换 sin x sin x 2 振幅变换 sin x Asin x 3 纵移变换Asin x Asin x m 后者周期都不变 亦即Asin x m与 sin x 的周期相同 都是 而对复合函数f sinx 的周期性 由具体问题确定 1 1 复合函数复合函数f f sinsinx x 的周期性的周期性 例题 例题 研究以下函数的周期性 1 2 sinx 2 2 的定义域为 2k 2k 值域为 0 1 作图可知 它是最小正周 期为 2 的周期函数 解答 解答 1 2sinx的定义域为 R R 值域为 作图可知 它是最小正周期为 2 的周期函数 说明 说明 从基本函数的定义域 值域和单调性出发 通过作图 还可确定 logax sinx sin sinx 都是最小正周期 2 的周期函数 2 2 y y sinsin 3 3 x x的周期性的周期性 对于y sin 3x sinx 3 L 2 肯定是它的周期 但它是否还有更小的周期呢 我们可以通过作图判断 分别列表作图如下 第 28页 共 34页 图上看到 y sin 3x 没有比 2 更小的周期 故最小正周期为 2 3 3 y y sinsin 2 2 x x的周期性的周期性 对于y sin 2x sinx 2 L 2 肯定是它的周期 但它的最小正周期是否为 2 可以通过作图判定 分别列表作图如下 第 29页 共 34页 图上看到 y sin 2x 的最小正周期为 不是 2 4 4 sinsin 2 2n n x x和和 sinsin 2 2n n 1 1 x x的周期性的周期性 y sin2x的最小正周期为 还可通过另外一种复合方式得到 因为 cos2x的周期是 故 sin 2x 的周期也是 sin 2x 的周期 由 cosx的 2 变为 sin 2x 的 就是因为符号法 负负得正 所致 因此 正弦函数 sinx的幂符合函数 sin mx 当 m 2n时 sin m x的最小正周期为 m 2n 1 时 sin mx 的最小正周期是 2 5 5 幂复合函数举例幂复合函数举例 例 例 1 1 求y sinx 的最小正周期 解答 解答 最小正周期为 例 例 2 2 求的最小正周期 解答 解答 最小正周期 为 2 例 例 3 3 求的最小正周期 解答 解答 最小正周 期为 说明 说明 正弦函数 sinx的幂复合函数 当q为奇数时 周期为 2 q为偶数时 周期为 3 3 周期函数的和函数 周期函数的和函数 两个周期函数 如 sinx和 cosx 它们最小正周期相同 都是 2 那么它们的和函 数 第 30页 共 34页 即 sinx cosx的最小正周期如何 和函数的周期与原有函数的周期保持不变 这个结论符合一般情况 对于另一种情况 当相加的两个函数的最小正周期不相同 情况将会如何 1 1 函数函数 sinsinx x sin2sin2x x的周期性的周期性 sinx的最小正周期为 2 sin2x的最小正周期是 它们之间谁依赖谁 或依赖一个第 三者 列表如下 表上看到函数 sinx sin2x的最小正周期是 2 2 2 函数函数 sinsinx x sin2sin2x x的周期性的周期性 依据上表 作 sinx sin2x的图像如右 从图上看到 函数的最小正周期为 2 由 sinx sin2x的最小正周期中的大者决定 因为前者是后 者的 2 倍 从图上看到 sinx sin2x仍然是个 振动 函数 但振幅已经不是常数了 3 3 函数函数 sinsinx x sin sinx x的周期性的周期性 sinx的最小正周期为 2 sinx的最小正周期是 3 们之间的和 sinx sinx的最小正周期也由 较大的 决定吗 即 和函数 的周期为 3 吗 第 31页 共 34页 不妨按周期定义进行检验 设 则x0 3 因此 3 不是 sinx sinx的最小正周期 通过作图 直观看到 sinx sinx的最小正周期为 6 即 sinx和 sinx最小正周期的 最小倍数 4 4 周期函数在高考中 周期函数在高考中 三角函数是高考命题的重要板块之一 小题考 大题也考 比分约占高考总分的七分之一 与立体几何相当 与立几不同的是 它还与函数 方程 不等式 数列 向量等内容综合 正弦函数是三角函数的代表 而周期性又是正弦函数的特性 关系到正弦函数的试题 有 2 种形式 1 直接考 求正弦函数的最小正周期 2 间接考 考周期在正弦函数性质中的应用 求单调区间 求最值 简单方程的通解等 1 1 求正弦函数的周期求正弦函数的周期 例 例 1 1 函数y sin 的最小正周期为 A B C 2 D 4 解答 解答 最小正周期是 最小正周期的一半 即 2 答案为 C 说明 说明 图象法判定最简便 sinx 的图象是将 sinx的图象在x轴下方部分折到x 轴上方去 倍角法定判定最麻烦 解答 解答 1 y 2cos2x 1 的最小正周期由 cos2x决定 第 32页 共 34页 2 2 求正弦函数的周期求正弦函数的周期 例 例 2 2 1 y 2cos 2x 1 的最小正周期 为 2 y sinx cosx 的最小正周期 为 解答 解答 1 y 2cos 2x 1 的最小正周期由 cos 2x 决定 故答案为 2 故答案为 说明 说明 都可看作 sinx的幂函数的复合函数 3 3 函数周期性应用于求值函数周期性应用于求值 例题 例题 f x 是 R R 上的偶函数 且是最小正周期为 的周期函数 解答 解答 说明 说明 周期性应用于区域转化 将 无解析式 的区域函数转化到 有解析式 的区间 上求值 若时f x sinx试 求的值 4 4 函数周期性应用于求单调区间函数周期性应用于求单调区间 例题 例题 x R R 求函数y sin 2x sinxcosx 2cos 2x 的单调增区间 解答 函数的最小正周期为 令得 因为函数周期为 故函数的单调增区间为 说明 说明 先求包含零点的增区间 再用最小正周期求单调增区间的集合 周期函数在高考中 5 5 周期性应用于求函数零点周期性应用于求函数零点 例题 例题 已知函数 解答 解答 令得 故交点横坐标的值的集合为 说明 说明 先求绝对值最小的解 再利用最小正周期求 通解 5 5 高考史上的周期大难题 高考史上的周期大难题 第 33页 共 34页 高考史上第一次 周期大难题 出现在恢复高考后的第 3 年 即 1980 年的理科数学卷上 本题排在该卷的第六大题上 在有十个大题的试卷上 这是个中间位置 然而 从当年的得 分情况来看 本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目 这点为命题人事先未 能预料 后来分析 该题的难点有三 1 函数抽象 导致周期中含有