【2012考研学员普发】数学(二)阶段测评试卷答案——第3次.pdf

1 机密 启用前 机密 启用前 2012 届全国硕士研究生入学统一考试 万学 海文公共课标准课程基础阶段测试卷答案 数学二 第三次 2012 届全国硕士研究生入学统一考试 万学 海文公共课标准课程基础阶段测试卷答案 数学二 第三次 答题注意事项 答题注意事项 1 本试卷考试时间 180 分钟 满分 150 分 2 试卷后面附有参考答案 供学员测试后核对 1 本试卷考试时间 180 分钟 满分 150 分 2 试卷后面附有参考答案 供学员测试后核对 2 一 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求 把所选项前的字母填在题后的括号内 一 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C B D C A 1 当0 x 时 下列与x等价的是 A 1 ln 1 x x B 1 x e C 11x D 1 cosx 答案 A 解析 当0 x 时 有 11 xx eex 1 11 2 xx 2 11 1 cos 22 xxx 利用排除法知应选 A 事实上 1 lnln 1 1 x xx x 2 已知 f x在xa 处可导 则 0 lim x f axf ax x A fa B 2 fa C 0 D 2fa 答案 B 解析 已知一点的导数 提示应考虑在此点按导数定义进行讨论 00 limlim2 xx f axf axf axf af axf a fa xxx 3 函数 yf x 在 0 xx 处取得极大值 则 A 0 0fx B 0 0fx C 0 0fx 且 0 0fx B 21 4 II C 21 4 II D 12 4 II 答案 D 解析 直接计算 12 I I是比较困难的 可应用不等式tan 0 xx x 于是 tan 1 x x 1 tan x x 故应选 D 7 111213212322 212223111312 313233313332 aaaaaa AaaaBaaa aaaaaa 010 100 001 P 100 001 010 Q 且 mn P AQB 则 A 5 6mn B 6 5mn C 5 5mn D 6 6mn 答案 C 解析 B是A的经过交换第一 二行再交换第二 三列后所得到的结果 且 22 PQE 因此 m n均 为奇数时 有 mn PP QQ 从而 mn P AQPAQB 可见 C 是正确的 8 设A为mn 矩阵 且mn 若A的行向量组线性无关 则 4 A 方程组Axb 有无穷多解 B 方程组Axb 仅有唯一解 C 方程组Axb 无解 D 方程组Axb 仅有零解 答案 A 解析 由于A的行向量组线性无关 知 r Amn 故增广矩阵A的秩 r Am 即有 r Ar Amn 于是方程组Axb 有无穷多解 A 选项入选 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 9 10 11 12 13 14 1 2 n e 8 1 2 1 sin1 3 9 计算 1 2 0 lim xxnx x x eee n 答案 1 2 n e 解析 22 2 02 0 0 1 1lnln 2 2 limln lim lim 0 lim xxnxxxnx xxnx xxxnx x x eeeeeen eene xxnx x xn xeee x eee eee n 1 21 2 nn n ee 10 已 知 f x是 微 分 方 程 2 2xfxf xxx 满 足 初 始 条 件 10f 的 特 解 则 1 0 f x dx 答案 8 解析 111 1 2 0 000 02f x dxxf xxfx dxf xxxdx 11 2 00 2f x dxxx dx 于是 11 2 00 1 2 2 f x dxxx dx 由定积分的几何意义可知 1 2 0 2 4 xx dx 故 1 0 f x dx 8 11 曲线 12yx xx 与x轴所围图形的面积S 答案 1 2 解析 求出曲线与x轴的交点 确定哪一段位于x轴上方 哪一段位于x轴下方 曲线 12yx xx 与x轴的交点为0 1 2xxx 因此该曲线与x轴所围图形的面积可表示为 5 212 001 121212Sx xx dxx xx dxx xx dx 12 432432 01 11111 44442 xxxxxx 12 已知 f x为连续函数 且 0 sin x xt dtf x 则 0 xfx dx 答案 解析 因为 0 00 sinsinsin xx x f xxt dtxtuuduudu 令 可得 sin fxx 故 0 00000 sincoscoscossin xfx dxxxdxxdxxxxdxx 13 积分区域D是由yx 和 2 xy 围成的平面区域 计算二重积分 sin D ydxdy y 答案 1 sin1 解析 将D写成 2 01 yyxy 则 2 11 00 sin 1sin1 sin1 y y y Idydxyydy y 14 已知二次型 222 123123121323 55266f x x xxxcxx xx xx x 的秩为2 则参数c 答案 3 解析 此二次型对应矩阵为 513 153 33 A c 因为 2r A 故 513 1530 33 A c 解得3 c 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 15 本题满分 9 分 求极限 2 22 0 ln sin lim ln2 x x x xex xex 解析 原式 2 222 0 ln sinln lim lnln xx xx x xee xee 3 分 2 2 0 2 sin ln 1 lim ln 1 x x x x e x e 6 分 6 2 2 0 2 sin lim x x x x e x e 222 22 00 sin lim lim x x x xx x ex e xex 8 分 1 9 分 16 本题满分 10 分 设 1 0 01f xt tx dtx 求 f x的极值 单调区间和凹凸区间 解析 11 22 00 xx xx f xt tx dtt tx dtttx dtttx dt 2 分 1 333 22 0 111 2332323 x x ttxx xtxt 4 分 2 1 2 fxx 令 0fx 得 2 2 x 因为01x 所以 2 2 x 6 分 又当 2 0 2 x 时 0fx 当 2 1 2 x 因此 f x的单调减区间是 2 0 2 单调增区间是 2 1 2 8 分 由 20fxx 01x 知 221 263 f 为极小值 10 分 17 本题满分 9 分 已知 uf x y xyz 函数 zz x y 由方程 z xyz xy g xyzt dte 确定 其中f可微 g连续 求 uu xy xy 解析 令vxyzt 则 zz xyxy g xyzt dtg v dv 得方程 z xyz xy g v dve 2 分 两边对x求偏导有 xyz zz g zyg xyey zx xx 4 分 得 xyz xyz yg xyyzez xg zxye 6 分 类似地可得 xyz xyz xg xyxzez yg zxye 7 分 7 又 13 uz ffy zx xx 23 uz ffx zy yy 8 分 代入整理得 12 uu xyxfyf xy 9 分 18 本题满分 11 分 一条曲线通过点 2 3 其上任意点处的切线夹在两坐标轴之间的线段均被切点平分 求此曲线的方 程 解析 设所求曲线方程为 yf x 则曲线上点 00 xy处的切线方程为 000 yfxxxy 切线与y轴 x轴的交点分别为 000 0 yx fx 0 0 0 0 y x fx 3 分 又 00 xy为切线与坐标轴所截线段的中心 因此有 0 00 0 1 2 y xx fx 且 0000 1 2 yyx fx 5 分 整理 将 00 xy分别替换为 x y 得方程 0 xyy 7 分 分离变量并求解方程得 xyC 9 分 又曲线通过点 2 3 从而有6 C 故满足条件的曲线方程为6 xy 11 分 19 本题满分 11 分 设连续函数 f x在 1 单调减小 且 0f x 若 1 1 n n n k uf kf x dx 证明lim n n u 存在 解析 利用单调有界数列必有极限证明 表达式中含有定积分 可利用积分中值定理 1 1 1 11 11 nn nn nn kk uuf kf kf x dxf x dx 2 分 1 1 n n f nf x dx 1f nf 1 n n 4 分 由 f x在 1 连续且单调减小知 1f nf 即 1nn uu 0 f n 10 分 即 n u有下界 故lim n n u 存在 11 分 20 本题满分 12 分 设有曲线1yx 过原点作其切线 求此曲线 切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得 的旋转体的侧面积 解析 设切点的横坐标为 0 x 则切点为 00 1xx 曲线1yx 在此点处的切线斜率为 0 0 1 21 x x y x 于是切线方程为 00 0 1 1 21 yxxx x 3 分 又因它经过原点 以点 0 0代入切线方程得 0 0 0 1 21 x x x 解得 0 2x 因此切线方程为 1 12 2 yx 即 1 2 yx 切点为 2 1 5 分 由曲线1yx 12x 绕x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 2 22 2 1 11 1 21211 21 Syydxxdx x 2 3 2 2 1 1 43435 51 66 xdxx 8 分 由直线段 1 2 yx 02x 绕x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 2 222 2 2 000 115 2121 222 Syydxxdxxdx 2 2 0 51 5 22 x 11 分 因此所求旋转体的侧面积为 12 SSS 6 11 51 12 分 21 本题满分 10 分 计算二重积分 22 max xy D edxdy 其中 01 01Dx yxy 解析 记 1 01 0Dx yxyx 2 01 1Dx yxxy 2 分 于是 222222 12 max max max xyxyxy DDD edxdyedxdyedxdy 4分 9 22 12 xy DD e dxdye dxdy 6分 2211 0000 xy xy dxe dydye dx 8分 2211 00 xy xe dxye dy 9分 1 e 10分 22 本题满分 11 分 设 12345 A 其中 135 线性无关 且 21354135 3 26 13 求方程组Ax 的通解 解析 因为 135 线性无关 又 24 可由 135 线性表示 所以 3 r A 2 分 齐次线性方程组0Ax 的基础解系中含有两个线性无关的解向量 由 21354135 3 26 得 1234512345 23 01 0 10 1 10 61 所以方程组0Ax 的两个解为 1 3 1 1 0 1 T 2 2 0 1 1 6 T 6 分 由于这两个向量线性无关且 3 r A 故 12 是齐次线性方程组0Ax 的基础解系 8 分 又由 13 得 12345 1 0 1 0 0 所以方程组Ax 的特解是 1 0 1 0 0 T 10 分 综上所述 方程组Ax 的通解为 1 122 kk 其中 12 k k为任意常数 11 分 23 本题满分 11 分 设A为 3 阶方阵 123 是A的三个不同特征值 对应特征向量分别为 123 令 123 10 证明 2 AA 线性无关 若 32 32 AAA 求A的特征值 并计算行列式 AE 解析 令 2 123 0kk Ak A 由 22 1 2 3 iiiiii AAi 知 222 112321122333112233 0 kkk 即 222 121311122322123333 0 kkkkkkkkk 2 分 由题设 123 分别是三个不同特征值 123 的对应特征向量 则必线性无关 即有 2 12131 2 12