河北省沧州市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

河北省沧州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）总体容量为102，现用系统抽样法抽样，若剔除了2个个体，则抽样间隔可以是（）a7b8c9d102（5分）已知双曲线x2=1（b0）的离心率，则b等于（）a2b3c4d53（5分）已知向量=（a，2，1）与=（1，2a，3）垂直，则a等于（）a2b2c1d14（5分）已知f（x）是函数f（x）=（x23）ex的导函数，在区间2，3任取一个数x，则f（x）0的概率是（）abcd5（5分）下列各组中给出简单命题p和q，构造出复合命题“pq”、“pq”、“p”，其中使得“pq”为真命题，“pq”为假命题，“p”为真命题的一组是（）ap：sin0，q：log63+log62=1bp：log43log48=，q：tan0cp：aa，b，q：aa，bdp：qr，q：n=正整数6（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）a这种抽样方法是一种分层抽样b这种抽样方法是一种系统抽样c这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数7（5分）某程序框图如图所示，若输出的s=57，则判断框内应填（）ak4？bk5？ck6？dk7？8（5分）已知椭圆e：+=1（ab0）过点p（3，1），其左、右焦点分别为f1、f2，且=6，则椭圆e的离心率是（）abcd9（5分）给出下列说法：命题“若x=k（kz），则sin2x=0”的否命题是真命题；命题“xr，2”是假命题且其否定为“xr，2”；已知a，br，则“ab”是“2a2b+1“的必要不充分条件其中说法正确的是（）a0b1c2d310（5分）已知函数y=xf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）abcd11（5分）在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac=90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，ab=ac=1，pa=2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为（）abcd12（5分）已知函数f（x）=lnx+x22x+2在et，+）（tz）上有零点，则t的最大值为（）a0b1c2d2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为14（5分）已知函数f（x）=2（a2+1）x2（x0，ar），则f（1）da=15（5分）如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am和cn所成角的余弦值为16（5分）如图，直线y=m与抛物线y2=4x交于点a，与圆（x1）2+y2=4的实线部分交于点b，f为抛物线的焦点，则三角形abf的周长的取值范围是三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设条件p：x26x+80，条件q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（12分）有甲、乙两个学习小组，每个小组各有四名学生，在一次数学考试中，成绩情况如下表：甲组学生一二三四成绩78929888乙组学生一二三四成绩86958296（）用茎叶图表示两组的成绩情况；（）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的概率19（12分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x千件2356成本y万元78912（1）求成本y与产量x之间的线性回归方程（结果保留两位小数）；（2）试估计产品产量达到一万件时所花费的成本费用附：=，=20（12分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，ab=bc=ca=aa1，d为ab的中点（1）求证：bc1平面dca1；（2）求二面角dca1c1的平面角的余弦值21（12分）在直角坐标平面内，已知点a（2，0），b（2，0），p是平面内一动点，直线pa、pb斜率之积为（）求动点p的轨迹c的方程；（）过点（，0）作直线l与轨迹c交于e、f两点，线段ef的中点为m，求直线ma的斜率k的取值范围22（12分）已知函数f（x）=（ax2x）lnxax2+bx（ar）（1）当a=0时，曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线斜率为1（e=2.718），求函数f（x）的极值；（2）当b=1时，求函数f（x）的单调区间河北省沧州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）总体容量为102，现用系统抽样法抽样，若剔除了2个个体，则抽样间隔可以是（）a7b8c9d10考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据系统抽样的定义进行判断即可解答：解：剔除了2个个体之后，样本为100，100能被10整除，样本间隔可以是10，故选：d点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础2（5分）已知双曲线x2=1（b0）的离心率，则b等于（）a2b3c4d5考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线x2=1（b0）的离心率，可得a=1，c=，求出b，即可求出b的值解答：解：双曲线x2=1（b0）的离心率为，a=1，c=，b=3，故选：b点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题3（5分）已知向量=（a，2，1）与=（1，2a，3）垂直，则a等于（）a2b2c1d1考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算 专题：空间向量及应用分析：由，可得=0，解出即可解答：解：，=a+4a3=0，解得a=1故选：c点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题4（5分）已知f（x）是函数f（x）=（x23）ex的导函数，在区间2，3任取一个数x，则f（x）0的概率是（）abcd考点：几何概型；导数的运算 专题：概率与统计分析：由题意，首先求出使f（x）0的x的范围，然后由几何概型的公式求之解答：解：由已知f（x）=ex（x2+2x3）0，解得x3或者x1，由几何概型的公式可得f（x）0的概率是；故选：a点评：本题考查了函数求导以及几何概型的运用；正确求出函数的导数，正确解不等式是关键；属于基础题5（5分）下列各组中给出简单命题p和q，构造出复合命题“pq”、“pq”、“p”，其中使得“pq”为真命题，“pq”为假命题，“p”为真命题的一组是（）ap：sin0，q：log63+log62=1bp：log43log48=，q：tan0cp：aa，b，q：aa，bdp：qr，q：n=正整数考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：若满足使得“pq”为真命题，“pq”为假命题，“p”为真命题，可得：p为假命题，q为真命题解答：解：若满足使得“pq”为真命题，“pq”为假命题，“p”为真命题，则p为假命题，q为真命题a=0，p为真命题；log63+log62=log66=1，q为真命题，不满足条件；blog43log48=，p为假命题；q：tan=0，为真命题cp：aa，b，为真命题；q：aa，b，为真命题dp：qr，为真命题；q：n=正整数，为真命题故选：b点评：本题考查了简易逻辑的判定、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）a这种抽样方法是一种分层抽样b这种抽样方法是一种系统抽样c这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2求解即可解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）5=90，方差=（8690）2+（9490）2+（8890）2+（9290）2+（9090）2=8五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）5=91，方差=（8891）2+（9391）2+（9391）2+（8891）2+（9391）2=6故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差故选：c点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解7（5分）某程序框图如图所示，若输出的s=57，则判断框内应填（）ak4？bk5？ck6？dk7？考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出s的值为57，从而即可判断解答：解：执行程序框图，可得k=2，s=4；k=3，s=11；k=4，s=26；k=5，s=57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出s的值为57故判断框内应填k4故选：a点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，s的值是解题的关键，属于基础题8（5分）已知椭圆e：+=1（ab0）过点p（3，1），其左、右焦点分别为f1、f2，且=6，则椭圆e的离心率是（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设f1（c，0），f2（c，0），则=（3c，1），=（3+c，1），利用=6，求出c，根据椭圆e：+=1（ab0）过点p（3，1），可得，求出a2=18，b2=2，即可求出椭圆e的离心率解答：解：设f1（c，0），f2（c，0），则=（3c，1），=（3+c，1），=9c2+1=6，c=4，a2b2=16，椭圆e：+=1（ab0）过点p（3，1），a2=18，b2=2，e=，故选：d点评：本题考查了椭圆的方程与性质，考查学生分析问题的能力，求出a，b，即可求出椭圆e的离心率9（5分）给出下列说法：命题“若x=k（kz），则sin2x=0”的否命题是真命题；命题“xr，2”是假命题且其否定为“xr，2”；已知a，br，则“ab”是“2a2b+1“的必要不充分条件其中说法正确的是（）a0b1c2d3考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：求出使sin2x=0的x值判断；由基本不等式得到2并写出原命题的否定判断；举例说明正确解答：解：若sin2x=0，则2x=k，即，故错误；2=，命题“xr，2”是假命题，其否定为“xr，2”，故正确；当a=0，b=1时，由ab不能得到2a2b+1，反之成立故正确正确的命题是故选：c点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件和必要条件的判定方法，考查了命题的否定，是基础题10（5分）已知函数y=xf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）abcd考点：函数的单调性与导数的关系 专题：导数的综合应用分析：通过观察函数y=xf（x）的图象即可判断f（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可解答：解：由图象看出，1x0，和x1时xf（x）0；x1，和0x1时xf（x）0；1x1时，f（x）0；x1，或x1时，f（x）0；f（x）在（1，1上单调递减，在（，1，（1，+）上单调递增；f（x）的大致图象应是b故选b点评：考查观察图象的能力，对于积的不等式xf（x）0，（或xf（x）0）的求解，函数导数符号和函数单调性的关系11（5分）在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac=90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，ab=ac=1，pa=2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为（）abcd考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：以a为坐标原点，以ab为x轴，以ac为y轴，以ap为z轴，建立空间直角坐标系，由已知条件分别求出向量和平面def的一个法向量，利用向量法能求出直线pa与平面def所成角的正弦值解答：解：以a为坐标原点，以ab为x轴，以ac为y轴，以ap为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，pa平面abc，bac=90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，ab=ac=1，pa=2，a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2），d（，0，0），e（），f（0，1），=（0，0，2），=（0，0），设是平面def的一个法向量，则，即，取x=1，则，设pa与平面def所成的角为，则 sin=|cos|=|=故选：c点评：本题是立体几何典型题，是2015届高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算在计算问题中，有“几何法”和“向量法”利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程12（5分）已知函数f（x）=lnx+x22x+2在et，+）（tz）上有零点，则t的最大值为（）a0b1c2d2考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理 专题：计算题；导数的综合应用分析：求导f（x）=（x0）；从而判断函数的单调性，再由f（e1）=+10，f（e2）=（2）0再求得t的最大值为2解答：解：f（x）=（x0）；令f（x）0解得0x或x2；令f（x）0解得x2；f（2）是极小值，f（2）=0，f（x）在，+）上无零点，et且f（et）0；f（e1）=+10，f（e2）=（2）0；当t2时，满足题意；即t的最大值为2；故选c点评：本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为0.32考点：等可能事件的概率 专题：计算题分析：因为口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，所以可求出口袋内白球数再根据其中有45个红球，可求出黑球数，最后，利用等可能性事件的概率求法，就可求出从中摸出1个球，摸出黑球的概率解答：解：口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，口袋内白球数为32个，又有45个红球，为32个从中摸出1个球，摸出黑球的概率为=0.32故答案为0.32点评：本题考查了等可能性事件的概率求法，属于基础题，必须掌握14（5分）已知函数f（x）=2（a2+1）x2（x0，ar），则f（1）da=考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：求出函数f（x）的导函数，得到f（1），再求出关于a的函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限后作差得答案解答：解：f（x）=2（a2+1）x2，f（1）=4a2a+4则f（1）da=（4a2a+4）da=故答案为：点评：本题考查了定积分，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的计算题15（5分）如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am和cn所成角的余弦值为考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点b1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可解答：解：如图，将am平移到b1e，nc平移到b1f，则eb1f为直线am与cn所成角设边长为1，则b1e=b1f=，ef=coseb1f=，故答案为点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题16（5分）如图，直线y=m与抛物线y2=4x交于点a，与圆（x1）2+y2=4的实线部分交于点b，f为抛物线的焦点，则三角形abf的周长的取值范围是（4，6）考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：圆（x1）2+y2=4的圆心为（1，0），与抛物线的焦点重合，可得|fb|=2，|af|=xa+1，|ab|=xbxa，即可得出三角形abf的周长=2+xa+1+xbxa=xb+3，利用1xb3，即可得出解答：解：圆（x1）2+y2=4的圆心为（1，0），与抛物线的焦点重合，|fb|=2，|af|=xa+1，|ab|=xbxa，三角形abf的周长=2+xa+1+xbxa=xb+3，1xb3，三角形abf的周长的取值范围是（4，6）故答案为：（4，6）点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设条件p：x26x+80，条件q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分别求出关于p，q的x的范围，根据p是q的必要不充分条件，得到不等式，解出即可解答：解：设集合a=x|x26x+80，b=x|（xa）（xa1）0，则a=x|2x4，b=x|axa+1，p是q的必要不充分条件，ba，解得：2a3，又当a=2或a=3时，ba，a2，3点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题18（12分）有甲、乙两个学习小组，每个小组各有四名学生，在一次数学考试中，成绩情况如下表：甲组学生一二三四成绩78929888乙组学生一二三四成绩86958296（）用茎叶图表示两组的成绩情况；（）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：计算题分析：（i）把两组数据的十位做茎，个位做叶，得到作出茎叶图（ii）先列举出分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果的个数，然后求出选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的基本事件的个数，由等可能事件的概率的求解公式即可解答：解：（）茎叶图：（5分）（）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果有16种，它们是：（78，86），（78，95），（78，82），（78，96），（92，86），（92，95），（92，82），（92，96）（98，86），（98，95），（98，82），（98，96），（88，86），（88，95），（88，82），（88，96）设“选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上”为事件a，则a中包含的基本事件有12个，它们是：（78，95），（78，96），（92，86），（92，95），（92，82），（92，96）（98，86），（98，95），（98，82），（98，96），（88，95），（88，96）所以所求概率为 p（a）= （13分）点评：本题主要考查了由统计图表绘制茎叶图，及等可能事件的概率求解公式的应用19（12分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x千件2356成本y万元78912（1）求成本y与产量x之间的线性回归方程（结果保留两位小数）；（2）试估计产品产量达到一万件时所花费的成本费用附：=，=考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（1）求线性回归直线方程要先求出均值，再由公式求出a，b的值，写出回归直线方程；（2）令x=10，求出y即可解答：解：（1）=4，=9，b=1.10a=91.104=4.60回归方程为：y=1.10x+4.60；（2）x=10时，y=1.1010+4.60=15.60点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是理解并掌握求回归直线方程中参数a，b的值的方法，及求解的步骤20（12分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，ab=bc=ca=aa1，d为ab的中点（1）求证：bc1平面dca1；（2）求二面角dca1c1的平面角的余弦值 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 专题：计算题分析：方法一（1）先做出辅助线，连接ac1与a1c交于点k，连接dk，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是dk（2）根据二面角dca1c1与二面角dca1a互补，做出辅助线，边做边证作ghca1，垂足为h，连接dh，则dhca1，得到dhg为二面角dca1a的平面角，解出结果方法二（1）以bc的中点o为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论（2）以bc的中点o为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值解答：（方法一）（1）证明：如图一，连接ac1与a1c交于点k，连接dk在abc1中，d、k为中点，dkbc1又dk平面dca1，bc1平面dca1，bc1平面dca1（2）解：二面角dca1c1与二面角dca1a互补如图二，作dgac，垂足为g，又平面abc平面acc1a1，dg平面acc1a1作ghca1，垂足为h，连接dh，则dhca1，dhg为二面角dca1a的平面角设ab=bc=ca=aa1=2，在等边abc中，d为中点，在正方形acc1a1中，所求二面角的余弦值为图一图二图三（方法二）（1）证明：如图三以bc的中点o为原点建系，设ab=bc=ca=aa1=2设是平面dca1的一个法向量，则又，令，又bc1平面dca1，bc1平面dca1（2）解：设是平面ca1c1的一个法向量，则又，令，所求二面角的余弦值为点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度21（12分）在直角坐标平面内，已知点a（2，0），b（2，0），p是平面内一动点，直线pa、pb斜率之积为（）求动点p的轨迹c的方程；（）过点（，0）作直线l与轨迹c交于e、f两点，线段ef的中点为m，求直线ma的斜率k的取值范围考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：（）设p点的坐标为（x，y），依题意，有由此可知动点p的轨迹c的方程（）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my4