函数列一致收敛性和Dini定理.pdf

第 卷第 期 年 月 安顺学院学报 檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲 檲檲 檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲 檲檲 殘 殘 殘 殘 理工科学与应用 收稿日期 作者简介 何挺 贵州安顺人 安顺学院数学与计算机科学系副教授 研究方向 函数论 函数列一致收敛性和 定理 何 挺 安顺学院数学与计算机科学系 贵州 安顺 摘 要 一致收敛是数学分析课程中基本的概念之一 文章以函数列一致收敛性及 定 理的二种证明方法 分析了函数列一致收敛性的概念及其应用 关键词 函数列 一致收敛 局部 整体 中图分类号 文献标识码 文章编号 函数列一致收敛性的概念对于初学者来说有 一定的困难 我们可以在已学过的函数级数基础上 将函数列与函数级数对照起来学习 如同数值级数 与数列之间的关系一样 函数级数与函数列只是形 式 不 同 没 有 本 质 的 区 别 因 为 任 意 函 数 级 数 都对应着它的部分和函数列 反 之 任意函数列 都对应着一个函数级数 此级数的部分 和函数列恰是已知的函数列 因此 关于函 数级数的一致收敛概念可相应地转移到函数列上 来 另外 为了对函数列一致收敛定义有一个全面的 认识和理解 本文先介绍函数列点的收敛及逐点收 敛的定义 然后自然导出函数列一致收敛的定义 并 阐述它们之间的内在关系 最后具体举例说明 一 函数列点的收敛 逐点收敛 一致收敛 函数列点的收敛 定义 函数列 在 点收敛于 是 指对 自然数 当 时 有 这里 对 满足收敛定义要求的自然数 并不是唯一的 且有无穷多个 事实上 若 满足 收敛定义的要求 则 都满足收敛 定义的要求 而这无穷多个满足收敛定义要求的自 然数 构成了一个无穷自然数集合 当 时 有 有下界 如 就是它的一个下界 因而有下确界 而 是 否存在上确界就不一定了 这在点 的收敛 实值 上是一个数列的收敛问题 函数列的逐点收敛 定义 逐点收敛 假设函数列 在点集 上收敛于 即对 都在 点收敛于 换句话说 对 使 有 注意在定义 中 当然 是与 及 都有关 对不同的 有不同的 接下来我们讨论一个问题 即是是否有一个共 同的大 它对点集 上每一点都满足收敛性定义 的要求呢 这就决定于集合 当 时 有 有无上界了 若集合 当 时 有 存在上界或上确界 就会产生 一个新的定义 一致收敛 函数列的一致收敛 定义 设在点集 上的函 数列 与 函数 对 当 和 有 成立 则称函数列 在点集 上一致收敛于 由上定义可得出 一般收敛是反映局部性质 而 一致收敛是反映整体性质 例 在 上有共同的 在 上就没有共同的大 解 则 即 在 内收敛于 对 要使 和 有 成立 当 时 有 只要当 时 有 即 当 成立 只要取 即可 这就是共同的大 了 在 上 在 一致收敛于 在 内 存在 对 自 然数 都存在 使 成立 这说明了集合 对应 有 不存在上界 在 不一致收敛于 二 一致收敛的两种情形 在对函数列一致收敛的定义有了一定认知的基 础上 将对一致收敛不同的情形作简要的讨论 以达 到对函数列一致收敛定义的理解起到一个推广延伸 的作用 内闭一致收敛 虽然在 内不一致收敛 但在 上一致收敛 即对 内任何一个闭区间上都一致收敛 这种性质称为内 闭一致收敛 即 定义 设 为 区间 若 对任意 在 上 都 一 致 收 敛 于 则 称 在区间 内闭一致收敛于 若在 区间 内闭一致收敛于 则 在 上收敛于 对 一定 使 由 在 内闭一致收敛于 故在 上 一 致 收 敛 于 当 然 在 上 收 敛 于 显然在 收敛于 从而在 上收敛于 反之不一定成立 若 在区间 上一致收敛于 则在 内闭一致收敛于 但反之不一定成立 例如 在 内闭一致收敛于 但在 内不一致收敛 因由上例 在 上 不一致收敛 当然在 内不一致收敛 近于一致收敛 定义 设 与 定义在点集 的函 数 如对 使 而 在 上一致收敛 则称 在 上近于一致收 敛 即指当去掉一个测度可任意小的某点集后一致 收敛 由定义可知 内闭一致收敛 对 确定义为区 间 对 预先给定的 可使集合 之测 度小于 对 点集 总存在闭集 而对于区间当然成立 这说明了内闭一致 收敛 当然近一致收敛 反之则不一定成立 例如定义在 的函数列 当 为无理数 当 烅 烄 烆 为有理数 在 近于一致收敛于 但在 不收敛 当然不内闭一致收敛 三 定理的两种证明方法 为了加深对函数列一致收敛概念的进一步理 解 给出 定理的两种证明方法 一是加强理论 方面的提高 二是使我们对函数列一致收敛必须满 足的条件有一个较为全面的认识 定理 设函数列 在有界闭区间 上单调且收敛于 若 与 都在 上连续 则在 上 一 致收敛于 证明 证法一 不妨设 是递增函数列 反证法 假设 在 上不一致收敛 于 则 对 都存在相应的 和 使得 现取 则得自然数列 及含于 且 使成立的 点列 由外氏聚点定理 有界点列 必存在收敛于 它的点 的子列 且有 现由 在 在递增且收敛于 故 对上述 当 使得 又由 在点 的连续性及 所以当 充分大时 有 安顺学院学报 年第 期 再由 的递增性 当 时 有 这与 式相矛盾 此定理也可直接证明 证法二 设 单调减少 即对每一点有 有 令 则在 上 且 下面证