古琴音乐中的分形几何论文.doc

古琴音乐中的分形几何论文 内容摘要：传统的音乐研究特别是民族音乐研究绝大部分都侧重于音乐的艺术性角度（音乐的社会属性）鲜见有从音乐的科学性角度（音乐的自然属性）进行研究的但是近年来随着科学技术的快速发展这一状况正在逐步得到改观本文使用分形几何的方法对古琴音乐作品进行了分析研究证明了古琴音乐的旋律是分形的并且对古琴音乐作品与西方古典音乐作品的异同进行了初步的比较分析揭示出不同时空、不同历史文化背景下音乐的共同特征分形性 关键词：古琴音乐分形几何音乐研究方法科学分形音乐 一、引言 在我国传统音乐中古琴是最古老的弦乐器之一乐记有“昔者舜作五弦之琴以歌南风”之说清代著名琴家徐祺在五知斋琴谱中写道：“昔者伏曦之王天下也仰观俯察感荣河出图以画八卦听八风以制音律采峰山孤桐合阴备阳造为雅乐名之曰琴”另外也有人说古琴是神农或尧帝等创制的这些虽出自传说无文字记载或实据可考但在安阳殷墟墓葬中出土的文物中有两件像琴的石器且甲骨文中把音乐的乐字记为“”这是以丝弦张附在木器上的象形由此说明在殷商时代（即甲骨文产生之际）就已有了琴这一类乐器大概是可信的1由此亦可推知古琴应产生于殷商之际甚或在此之前即古琴已存在三千多年了 对于这样一件产生于史前而且几乎完整不变地流传至今的乐器不仅在中国即便是在全世界范围也难以再找到第二个！因此对古琴尤其是古琴音乐进行详细的考察与研究不仅能够揭示我国古代音乐的发展变化情况而且亦可从中透视出我国古代社会政治、经济和科技的发展与变化234 对音乐进行研究当今占据主导地位的有三种方法即历史的方法、分析的方法和比较的方法5这三种方法在音乐研究中已经取得了辉煌的成就而且仍还有着非常广阔的前景但是它们各自的研究范围都比较狭小或某一作品或某一人某一派的作品或某一时期的作品或某一地域（或西方或东方或非洲或拉美）的作品而不能从整体上研究范围更广的音乐现象众所周知无论古今不分地域任何地方只要有人就会有音乐这就说明音乐必定有着某种属性它是一种与时空无关的非民族性的属性即音乐的自然属性可这种自然属性究竟呢怎样才能将它表示出来呢我们认为分形几何为这一问题的解答提供了一种可能67 二、分形几何与音乐 分形几何8的概念是由曼得勃罗在上世纪60年代末提出来的它的主要思想是说在不规则现象表面所呈现的杂乱无章的背后仍存在着规律这个规律就是在放大过程中呈现出的自相似性 在自然界中分形现象普遍存在俯拾即得如：微观世界中晶体的生长相变过程和化学反应等；宇观世界中太阳黑子的活动和星际空间物质的分布等；宏观世界中河流的走向树枝的分叉以及地震震级的分布等；就连我们人体血液循环系统中血管的分支和脑电波分布都是分形的也就是说自然界似乎存在着“分形者生存”这一规律 既然我们赖以生存的这个世界到处都充满着分形既然我们的血管分支和脑电波都是分形的因而想必在我们的潜意识中（或者是本能地）对分形现象定会有着某种默契或产生共鸣或者说我们人也偏爱分形正是这种偏爱形成了音乐创作与欣赏在主体心理与对象间的锁定沃斯和科拉克6等人首先从实验上证明了这一点他们发现优美动听的音乐的音量是分形的后来许氏父子（许靖华和安得鲁许）7又从理论上证明了古典音乐中旋律的进行也是分形的 三、古琴音乐中的分形几何 为了研究音乐的分形几何首先必须把它加以量化因此撇开音乐的社会学定义不讲现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列既然如此那么这种有序的数学表达随意地敲击琴键不会产生音乐不同音的有序排列组成了旋律这种排列是分形的如果答案是肯定的话那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程i与其出现的几率F应满足下述关系： F=C/iD或logF=CDlogi 即音程i的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系也就是说以logF和logi为纵横坐标作图则各点均应在同一直线上其中D为该作品的分形维数（分维）C为比例系数C=logC 许氏父子通过分析发现8对于巴赫和莫扎特等古典音乐大师的作品上述分形关系式均可确立但对于现代无调性音乐作品则无此种关系为了对我国古代音乐进行深入的理解与研究为了对东西方音乐的异同进行比较下面我们也将使用这一方案对我国古琴音乐进行分析 首先选取古逸丛书中管平湖打谱的幽兰9进行分析对该曲中音程i及其出现几率的统计结果如下表： 将音程i及其出现概率F分别取对数对应作图可以看到（图1A）在区间2i11存在分形关系： F=380/i315 图中与分形关系有较为显著偏离的是i=7（纯五度）和i=10（小七度）的过量其实对于这种偏离也是不难理解的根据和声音程在听觉上所产生的印象音程可以分为协和音程与不协和音程两类两音的频率具有较小整数比的音程叫协和音程属于这一类的有极完全协和音程的纯一度（1：1）和纯八度（2：1）以及完全协和音程的纯五度（3：2）和纯四度（4：3）所有这些音程听起来都很悦耳因而在优美的乐曲中协和音程出现的几率就较大从而导致了对分形关系的偏离类似的由于不协和音程（小二度i=1减五度i=6和大七度i=11等）在听觉上给人的印象是比较刺耳彼此很不融合因而作曲家在创作时总是有意识地少用这也就导致了与分形关系的偏离 图1B是巴赫创意曲No1的旋律分形关系人们曾评论说巴赫的作品有着数学般的精确如果这种精确是指在其作品分形关系成立严格程度的话那么把图1A和图1B相比较可以看出古琴曲幽兰有着较巴赫创意曲No1更为精确的数学幽兰曲早创意曲千年而作况中国与德国又相距万里之遥且又分属东西方两种不同的文化圈何以二者都服从分形关系呢难道这只是偶然的巧合 为了更深入地理解这一问题我们对大量的古琴曲9进行了统计分析结果表明绝大多数的乐曲中均存在着分形关系特别是阳春和华胥引它们有一个共同的特点是分形关系中的比例系数C1（即分形关系线延长与纵轴相交于O点）这与莫扎特的F大调奏鸣曲及A大调奏鸣曲完全一样一般认为莫扎特的这两首曲子有着图画般的绚丽而古琴曲阳春和华胥引亦是音画交融美妙无比那么这种对应仅是种巧合呢还是有着尚未发现的更深刻的原因 与西方古典音乐相比古琴音乐有以下几个特点（1）同音重复和八度音出现的比例较大究其原因固然是因为同音重复（i=0）和八度音（i=12）属于极完全协和音程听起来融合悦耳但更主要的原因是古琴音乐大多来源于以民歌为基础的琴歌而民歌中同音重复的比例极大这是一个带有普遍性的规律古今中外概莫能外如在莫扎特的取材于民歌而创作的A大调奏鸣曲的第一乐章中同音重复的比例亦高达27（2）几乎没有半音（i=1）和三整音（i=6）与西方音乐不同我国古代音乐大多采用五声调式或以五声调式为基础的六声调式与七声调式在五声调式中根本就没有半音和三整音六声调式中由于清角和变宫音的加入导致半音的出现七声调式中更由于在五声调式的小三度音程中加入了不同的“偏音”从而导致除半音外又出现了三整音但鉴于半音和三整音听起来比较刺耳而且演奏起来也不易把握故而出现频率较低（3）小三度（i=3）的过量和大三度（i=4）的不足众所周知由于汉语语言的音韵特点对音乐旋律的深刻影响小三度在我国民族音阶的发展过程中一直占有重要的地位即使今天在我国民间劳动歌曲的呼号声中多数情况下小三度也还占据主导地位如京韵大鼓口语旋律在行腔时就呈现典型的三度音程特征所以说小三度的过量是很自然的大三度不足的原因同样来源于古琴曲的调式如在五声调式中大三度只能存在于宫音与角音之间这样在一首乐曲中除非是有意地采用大三度音程否则它一定是不足的（4）复音程（i12）出现的比例较大西方古典音乐中复音程呈现的比例均在百分之一以内而在古琴音乐中复音程呈现的比例则在百分之几到百分之十几不等这种差别可能来自于东西方人的心智模式（思维方式与思维习惯）的不同国人一般是从整体上看待和把握事物喜欢那种宽阔宏大的场面；而西方人通常是从细微之处认识和掌握事物他们喜欢那种细致、严格、有确定界限的景观这种哲学上的认知差别反映在音乐中便造成了上述差异 在分析中我们还发现了一个不存在分形关系的例子这就是著名的古曲流水其实出现这一现象也是不难理解的为了模仿水流的自然响声为了表现流水的从容缓进和跌宕起伏亦即为了表达流水的“洋洋乎”曲作者过量地使用了小三度和纯五度等音程从而使得其他音程显得相对不足无法与其相匹配但琴曲流水与西方现代无调性音乐（亦无分形关系存在）是不同的在现代无调性音乐作品中广音程特别是某些不协和音程（如减五度）出现的几率很大甚至超过了狭音程但在流水一曲中狭音程出现的几率仍是最大的 四、结论 音乐研究通常是从音乐的社会性（即社会历史与民族文化）角度进行的但是我们知道音乐是一门艺术也是一门科学如何利用现代科学的成果进行音乐创作与音乐研究是摆在音乐工作者面前的一个新问题 本文利用分形几何的特征与方法证明了古琴音乐中的旋律是分形的并且对中外音乐作品的异同进行了初步的比较分析是否可以利用这种方法进行完整的音乐形态（如和声与织体等）分析呢是否可以利用这种技术进行音乐作品的改编呢进一步的研究表明答案是肯定的 参考文献： 1许健琴史初编M北京：人民音乐出版社1982 2章华英古琴音乐与东方哲学J中国音乐1991（3）1 3牛陇菲古琴与钢琴J星海音乐学院学报（4）11 4史弘手挥五弦心游太玄J中国音乐学1995（2）52 5杨燕迪实证主义及其衰落英美二次世界大战后的音乐学发展略述J中国音乐学1990（1）