河北省石家庄五十五中高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河北省石家庄五十五中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1下列语句中是命题的是( )a周期函数的和是周期函数吗bsin45=1cx2+2x10d梯形是不是平面图形呢2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是( )ay2=8xby2=8xcy2=4xdy2=4x3双曲线2x2y2=8的实轴长是( )a2bc4d4直线与圆x2+y22x2=0相切，则实数m等于( )a或b或c或d或5命题p：，则p为( )abcxr，x2+2x+20dxr，x2+2x+206如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为( )abcd7如图，e为正方体的棱aa1的中点，f为棱ab上的一点，且c1ef=90，则af：fb=( )a1：1b1：2c1：3d1：48已知a（2，5，1），b（2，2，4），c（1，4，1），则向量与的夹角为( )a30b45c60d909已知点p是抛物线x2=4y上的动点，点p在直线y+1=0上的射影是点m，点a的坐标（4，2），则|pa|+|pm|的最小值是( )abc3d210已知双曲线的离心率，2双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是( )a，b，c，d，11直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是( )ab1b1且c1b1d非a、b、c结论12“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件二、填空题：（每题5分，共20分，请把每题的答案填在题后横线上）13与双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点，则此双曲线的方程为_14如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_15椭圆的焦点f1、f2，点p为其上的动点，当f1pf2为钝角时，点p横坐标的取值范围是_16有下列命题：双曲线=1与椭圆有相同焦点；“x0”是“2x25x30”必要不充分条件；若、共线，则、所在的直线平行；若，三向量两两共面，则、三向量一定也共面；xr，x23x+30其中是真命题的有：_（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17已知椭圆的长轴长为6，焦距为，求椭圆的标准方程18已知圆c的圆心在直线2xy7=0上并与y轴交于两点a（0，4），b（0，2），求圆c的方程19如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x91=0内切，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线20给出两个命题，命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集为，命题q：函数y=（2a2a）x为增函数若pq为真，求实数a取值的范围21已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于a（x1，y1）和b（x2，y2）（x1x2）两点，且|ab|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值22如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa底面abcd，ap=ab=，点e是棱pb的中点（）证明：ae平面pbc；（）若ad=1，求二面角becd的平面角的余弦值2014-2015学年河北省石家庄五十五中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1下列语句中是命题的是( )a周期函数的和是周期函数吗bsin45=1cx2+2x10d梯形是不是平面图形呢【考点】四种命题【专题】阅读型【分析】分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句【解答】解：a，不是，因为它是一个疑问句，不能判断其真假，故不构成命题；b，是，因为能够判断真假，故是命题；c，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；d，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；故选b【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是( )ay2=8xby2=8xcy2=4xdy2=4x【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得【解答】解：准线方程为x=2=2p=4抛物线的方程为y2=8x故选b【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了考生对抛物线基础知识的掌握3双曲线2x2y2=8的实轴长是( )a2bc4d【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长【解答】解：2x2y2=8即为a2=4a=2故实轴长为4故选c【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值4直线与圆x2+y22x2=0相切，则实数m等于( )a或b或c或d或【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可【解答】解：圆的方程（x1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选c【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题5命题p：，则p为( )abcxr，x2+2x+20dxr，x2+2x+20【考点】特称命题；命题的否定【专题】阅读型【分析】题目给出的命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意全称命题的格式【解答】解：命题p：，是特称命题，其否定应为全称命题，其否定为：xr，x2+2x+20故选c【点评】本题考查了命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，解答此题的关键是命题格式的书写，全称命题p：xm，p（x），它的否定p：xm，p（x）；特称命题p：xm，p（x），它的否定p：xm，p（x）此题是基础题6如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为( )abcd【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，22b=2c+2a，可得b=（a+c）b2=a2c2，2=a2c2，化简得5c2+2ac3a2=0等式两边都除以a2，得5e2+2e3=0，解之得e=（1舍去）即椭圆的离心率为故选：c【点评】本题给出椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，求椭圆的离心率着重考查了等差中项的概念和椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题7如图，e为正方体的棱aa1的中点，f为棱ab上的一点，且c1ef=90，则af：fb=( )a1：1b1：2c1：3d1：4【考点】棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】设出正方体的棱长，求出c1e，利用c1ef=90，通过c1f求出x的值，即可得到结果【解答】解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知c1e=3，c1ef=90，所以设af=x，12+x2+c1e2=22+22+（2x）2，解得：x=，所以af：fb=：=1：3；故选：c【点评】本题是基础题，考查正方体的变的计算，考查直角三角形的利用，长方体的性质，考查计算能力8已知a（2，5，1），b（2，2，4），c（1，4，1），则向量与的夹角为( )a30b45c60d90【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【专题】计算题【分析】由题意可得：，进而得到与|，|，再由cos，=可得答案【解答】解：因为a（2，5，1），b（2，2，4），c（1，4，1），所以 ，所以0（1）+31+30=3，并且|=3，|=，所以cos，=，的夹角为60故选c【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题9已知点p是抛物线x2=4y上的动点，点p在直线y+1=0上的射影是点m，点a的坐标（4，2），则|pa|+|pm|的最小值是( )abc3d2【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为p到准线与p到a点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中p到准线的距离等于p到焦点的距离，进而推断出p、a、f三点共线时|pf|+|pa|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|fa|，则|pa|+|pm|可求【解答】解：抛物线的焦点坐标f（0，1），准线方程为y=1根据抛物线的定义可知|pm|=|pf|，所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|af|，即当a，p，f三点共线时，所以最小值为，故选a【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生数形结合的思想和分析推理能力10已知双曲线的离心率，2双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是( )a，b，c，d，【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】利用离心率的范围进而求得a和c不等式关系，进而利用a，b和c的关系求得a和b的不等式关系，进而求得渐近线斜率k的范围，利用k=tan确定tan的范围，进而确定的范围【解答】解：根据定义e=，2bab而渐近线的斜率k= 所以1k所以4560所以 90120，即，；故选c【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对平面解析几何知识的综合运用11直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是( )ab1b1且c1b1d非a、b、c结论【考点】直线与圆相交的性质【专题】计算题；数形结合【分析】由曲线方程的特点得到此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形找出三个关键点：直线过（0，1）；直线过（0，1）以及直线与圆相切且切点在第四象限，把（0，1）与（0，1）代入直线y=x+b中求出相应的b值，根据图形得到直线与曲线只有一个交点时b的范围，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，此时直线与曲线也只有一个交点，综上，得到满足题意的b的范围【解答】解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，画出相应的图形，如图所示：当直线y=x+b过（0，1）时，把（0，1）代入直线方程得：b=1，当直线y=x+b过（0，1）时，把（0，1）代入直线方程得：b=1，当1b1时，直线y=x+b与半圆只有一个交点时，又直线y=x+b与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即=1，解得：b=（舍去）或b=，综上，直线与曲线只有一个交点时，b的取值范围为1b1或b=故选b【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：利用待定系数法确定一次函数解析式，以及点到直线的距离公式，利用了数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键12“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1m3且m2，故“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键二、填空题：（每题5分，共20分，请把每题的答案填在题后横线上）13与双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点，则此双曲线的方程为【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线方程，利用椭圆的焦点坐标相同，求解即可【解答】解：所求双曲线与双曲线与有共同渐近线，设双曲线方程为：，椭圆的焦点（，0），（，0）c=3m+m=2，解得m=双曲线的方程为：故答案为：【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力14如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是90【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线a1m与dn所成的角【解答】解：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则d（0，0，0），n（0，2，1），m（0，1，0），a1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即a1mdn，异面直线a1m与dn所成的角的大小是90，故答案为：90【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错15椭圆的焦点f1、f2，点p为其上的动点，当f1pf2为钝角时，点p横坐标的取值范围是【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用【专题】计算题【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据f1pf2是钝角推断出pf12+pf22f1f22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围【解答】解：如图，设p（x，y），则，且f1pf2是钝角x2+5+y210故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式属基础题16有下列命题：双曲线=1与椭圆有相同焦点；“x0”是“2x25x30”必要不充分条件；若、共线，则、所在的直线平行；若，三向量两两共面，则、三向量一定也共面；xr，x23x+30其中是真命题的有：（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】双曲线的简单性质；命题的真假判断与应用【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，分别求出双曲线和椭圆的焦点，可判断；解不等式2x25x30，判断其解集与x0的包含关系，结合充要条件的定义，可判断；根据向量共线的定义，分析、所在的直线位置关系，可判断；根据向量共面的定义，可判断；判断方程x23x+3=0根的个数，可判断【解答】解：双曲线=1的焦点坐标为（，0）点，椭圆的焦点坐标也为（，0）点，故正确；解2x25x30得x3，（，0）（，3），故“x0”是“2x25x30”充分不必要条件，故错误；若、共线，则、所在的直线平行或重合，故错误；若，三向量两两共面，则、三向量可能不共面，如空间坐标系中三个坐标轴的方向向量，故错误；方程x23x+3=0的=30，故方程x23x+3=0无实根，故正确故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了圆锥曲线的性质，充要条件，向量共线与共面，全称命题等知识点，难度中档三、解答题：（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17已知椭圆的长轴长为6，焦距为，求椭圆的标准方程【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的标准方程，由椭圆的长轴长为6，焦距为，分别求出a，b，c，由此能求出椭圆的标准方程【解答】解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为（ab0），椭圆的长轴长为6，焦距为，a=3，c=2，b2=98=1，椭圆方程为当焦点在y轴时，设椭圆方程为=1，（ab0），椭圆的长轴长为6，焦距为，a=3，c=2，b2=98=1，椭圆方程为故椭圆的标准方程为或【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，易错点是容易忽视焦点在y轴上的椭圆方程18已知圆c的圆心在直线2xy7=0上并与y轴交于两点a（0，4），b（0，2），求圆c的方程【考点】圆的标准方程【专题】直线与圆【分析】设圆c的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由此利用待定系数法能求出圆c的方程【解答】解：设圆c的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由已知得，解得a=2，b=3，r2=5，圆c的方程（x2）2+（y+3）2=5【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用19如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x91=0内切，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线【考点】椭圆的定义【专题】探究型【分析】利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义【解答】解：（方法一）设动圆圆心为m（x，y），半径为r，设已知圆的圆心分别为o1、o2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x3）2+y2=100，当动圆与圆o1相外切时，有|o1m|=r+2当动圆与圆o2相内切时，有|o2m|=10r将两式相加，得|o1m|+|o2m|=12|o1o2|，动圆圆心m（x，y）到点o1（3，0）和o2（3，0）的距离和是常数12，所以点m的轨迹是焦点为点o1（3，0）、o2（3，0），长轴长等于12的椭圆2c=6，2a=12，c=3，a=6b2=369=27圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：2两边再平方得：3x2+4y2108=0，整理得所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键20给出两个命题，命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集为，命题q：函数y=（2a2a）x为增函数若pq为真，求实数a取值的范围【考点】复合命题的真假【专题】集合思想；转化法；集合；简易逻辑【分析】由题意求出命题p，q为真命题时a的取值范围，再求出由p真q假，p假q真以及p、q都为真时a的取值范围，求出它们的并集即可【解答】解：命题p：不等式x2+（a1）x+a20的解集是，=（a1）24a20，解得a1或a；又命题q：函数y=（2a2a）x在定义域内是增函数，2a2a1，解得a或a1；又pq为真命题，则p，q一真一假或p、q都为真，当p真q假时，由a|a1或aa|a1=a|a1；当p假q真时，由a|1aa|a或a1=a|1a；当p、q都为真时，由a|a1或aa|a或a1=a|a1或a1；综上a的取值范围为：a，或a【点评】本题考查了复合命题真假的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法和指数函数的单调性问题，是综合性题目21已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于a（x1，y1）和b（x2，y2）（x1x2）两点，且|ab|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】（1）直线ab的方程与y2=2px联立，有4x25px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|ab|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得（2）由p=4，4x25px+p2=0求得a（1，2），b（4，4）再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得【解答】解：（1）直线ab的方程是y=2（x），与y2=2px联立，有4x25px+p2=0，x1+x2=由抛物