河北省石家庄市正定中学高一数学下学期期末试卷（含解析）.doc

河北省石家庄市正定中学2014- 2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1已知集合a=x|x24x+30，b=x|2x4，则ab=（）a （1，3）b （1，4）c （2，3）d （2，4）2两直线（2m1）x+y3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）a 0b c d 0或3已知不重合的直线m、l和平面、，且m，l给出下列命题，其中正确命题的个数是（）若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则a 1b 2c 3d 44某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）a 2+b 4+c 2+2d 55已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）a 3b 2c 2d 36设a，b，c均为正数，且2a=，则（）a abcb cbac cabd bac7将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）a b c d 8一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）a 或b 或c 或d 或9已知数列an满足a2=102，an+1an=4n，（nn*），则数列的最小值是（）a 25b 26c 27d 2810三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，则球o的表面积为（）a b c 3d 1211已知数列an满足：an=logn+1（n+2）（nn*），定义使a1a2a3ak为整数的数k（kn*）叫做企盼数，则区间1，2011内所有的企盼数的和为（）a 1001b 2030c 2026d 204812已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么的最小值为（）a b c d 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13设向量满足，则=14在abc中，a=4，b=5，c=6，则=15已知正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱a1b1的中点，则直线ae与平面bdd1b1所成角的正弦值16数列的前80项的和等于三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17设圆上的点a（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线xy+1=0相交的弦长为2，求圆的方程18设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求abc面积的最大值19如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，ca=cb=cd=bd=2，ab=ad=（）求证：ao平面bcd；（）求异面直线ab与cd所成角的余弦；（）求点e到平面acd的距离20如图，在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4设圆c的半径为1，圆心在l上（1）若圆心c也在直线y=x1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；（2）若圆c上存在点m，使ma=2mo，求圆心c的横坐标a的取值范围21如图，在三棱台defabc中，ab=2de，g，h分别为ac，bc的中点（）求证：bd平面fgh；（）若cf平面abc，abbc，cf=de，bac=45，求平面fgh与平面acfd所成的角（锐角）的大小22数列an满足a1=2，an+1=an2+6an+6（nn*）（1）设cn=log5（an+3），求证cn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn=，数列bn的前n项和为tn，求证：tn河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1已知集合a=x|x24x+30，b=x|2x4，则ab=（）a （1，3）b （1，4）c （2，3）d （2，4）考点：交集及其运算专题：集合分析：求出集合a，然后求出两个集合的交集解答：解：集合a=x|x24x+30=x|1x3，b=x|2x4，则ab=x|2x3=（2，3）故选：c点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力2两直线（2m1）x+y3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）a 0b c d 0或考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值解答：解：（2m1）x+y3=0与6x+my+1=0，6（2m1）+m=0，解得m=，故选：c点评：本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题3已知不重合的直线m、l和平面、，且m，l给出下列命题，其中正确命题的个数是（）若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则a 1b 2c 3d 4考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；空间位置关系与距离分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来解答：解：若，且mm，又lml，所以正确若，且mm，又l，则m与l可能平行，可能异面，所以不正确若ml，且m，l与可能平行，可能相交所以不正确若ml，且ml又l，正确故选：b点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于中档题4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）a 2+b 4+c 2+2d 5考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断直观图为：a面abc，ac=ab，e为bc中点，ea=2，ea=eb=1，oa=1，：bc面aeo，ac=，oe=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积解答：解：根据三视图可判断直观图为：oa面abc，ac=ab，e为bc中点，ea=2，ec=eb=1，oa=1，可得aebc，bcoa，运用直线平面的垂直得出：bc面aeo，ac=，oe=sabc=22=2，soac=soab=1=sbco=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：c点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质5已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）a 3b 2c 2d 3考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）则a（2，0），b（1，1），若z=ax+y过a时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，当直线经过a（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过b时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=3x+z，平移直线y=3x+z，当直线经过a（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键6设a，b，c均为正数，且2a=，则（）a abcb cbac cabd bac考点：对数值大小的比较专题：数形结合分析：比较大小 可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较解答：解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况由图象知：abc故选a点评：本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法7将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）a b c d 考点：两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），图象向左平移m（m0）个单位长度得到y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+），所得的图象关于y轴对称，m+=k+（kz），则m的最小值为故选b点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=asin（x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键8一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）a 或b 或c 或d 或考点：圆的切线方程；直线的斜率专题：计算题；直线与圆分析：点a（2，3）关于y轴的对称点为a（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出解答：解：点a（2，3）关于y轴的对称点为a（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），化为kxy2k3=0反射光线与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，圆心（3，2）到直线的距离d=1，化为24k2+50k+24=0，k=或故选：d点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题9已知数列an满足a2=102，an+1an=4n，（nn*），则数列的最小值是（）a 25b 26c 27d 28考点：数列递推式；数列的函数特性专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析：利用累加法可求得an，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形解答：解：由an+1an=4n得，a3a2=8，a4a3=12，a5a4=16，anan1=4（n1），以上各式相加得，ana2=，所以an=102+（n2）（2n+2）（n2），而a2a1=4，所以a1=a24=98，适合上式，故an=102+（n2）（2n+2）（nn*），=2=26，当且仅当即n=7时取等号，所以数列的最小值是26，故选b点评：本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力10三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，则球o的表面积为（）a b c 3d 12考点：球的体积和表面积专题：计算题；球分析：根据题意，三棱锥sabc扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥sabc的外接球的表面积解答：解：三棱锥sabc的所有顶点都在球o的表面上，sa平面abc，abbc，又sa=ab=bc=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，球的半径r=球的表面积为：4r2=4=3故选：c点评：本题考查三棱锥sabc的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥sabc的外接球的球心与半径11已知数列an满足：an=logn+1（n+2）（nn*），定义使a1a2a3ak为整数的数k（kn*）叫做企盼数，则区间1，2011内所有的企盼数的和为（）a 1001b 2030c 2026d 2048考点：对数的运算性质专题：新定义分析：先利用换底公式与叠乘法把a1a2a3ak化为log2（k+2）；然后根据a1a2a3ak为整数，可得k=2n2；最后由等比数列前n项和公式解决问题解答：解：an=logn+1（n+2）=，（nn*），a1a2a3ak=log2（k+2），又a1a2a3ak为整数k+2必须是2的n次幂（nn*），即k=2n2k1，2011内所有的企盼数的和m=（222）+（232）+（242）+（2102）=29=2026，故选c点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的12已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么的最小值为（）a b c d 考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算专题：向量与圆锥曲线分析：要求的最小值，我们可以根据已知中，圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，结合切线长定理，设出pa，pb的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答解答：解：如图所示：设op=x（x0），则pa=pb=，apo=，则apb=2，sin=，=（12sin2）=x2+323，当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为23故选d点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13设向量满足，则=考点：平面向量数量积的性质及其运算律专题：平面向量及应用分析：由已知中，先计算出的值，进而可得解答：解：，=1+42=3=故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积及向量的模，其中利用平方法，先求出的值是解答的关键14在abc中，a=4，b=5，c=6，则=1考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理求出cosc，cosa，即可得出结论解答：解：abc中，a=4，b=5，c=6，cosc=，cosa=sinc=，sina=，=1故答案为：1点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础15已知正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱a1b1的中点，则直线ae与平面bdd1b1所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角专题：计算题分析：取ab的中点f，连接b1f，过点f作fgbd，垂足为g，连接b1g，根据fg平面bdd1b1，可知fb1g为b1f与平面bdd1b1所成角，在rtfb1g中求解即可，而aeb1f，从而求出所求解答：解：取ab的中点f，连接b1f，过点f作fgbd，垂足为g，连接b1g，由正方体性质易知bb1平面abcd，又fg平面abcd，bb1fg又fgbd，bdbb1=b，bd平面bdd1b1，bb1平面bdd1b1fg平面bdd1b1fb1g为b1f与平面平面bdd1b1所成角设正方体abcda1b1c1d1棱长为1，fg=，b1f=sinb1fo=而aeb1f，所以直线ae与平面bdd1b1所成角的正弦值为故答案为：点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题16数列的前80项的和等于70考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：根据数列的函数特性可知，对于函数y=f（x），由，分析出函数的周期，由此推出数列的项以4为周期周期出现，求出前4项的和，则数列的前80项的和可求解答：解：对于函数y=f（x），由，则，f（x）是周期为4的周期函数，由，则数列an的项以4为周期周期出现，由a1=2，则，s80=20（a1+a2+a3+a4）=故答案为70点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列的函数特性，考查了数列的和，解答此题的关键是分析出数列的项以4为周期周期出现，此题是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17设圆上的点a（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线xy+1=0相交的弦长为2，求圆的方程考点：直线与圆的位置关系专题：综合题分析：设出圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到；把a的坐标代入圆的方程得到；由圆与直线xy+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程解答：解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，点a（2，3）关于直线x+2y=0的对称点a仍在这个圆上，圆心（a，b）在直线x+2y=0上，a+2b=0，（2a）2+（3b）2=r2又直线xy+1=0截圆所得的弦长为2，圆心（a，b）到直线xy+1=0的距离为d=，则根据垂径定理得：r2（）2=（）2解由方程、组成的方程组得：或所求圆的方程为（x6）2+（y+3）2=52或（x14）2+（y+7）2=244点评：此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题学生做题时注意满足题意的圆方程有两个18设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求abc面积的最大值考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x，由2k2x2k，kz可解得f（x）的单调递增区间，由2k2x2k，kz可解得单调递减区间（）由f（）=sina=0，可得sina，cosa，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsina，从而得解解答：解：（）由题意可知，f（x）=sin2x=sin2x=sin2x由2k2x2k，kz可解得：kxk，kz；由2k2x2k，kz可解得：kxk，kz；所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kz）；单调递减区间是：k，k，（kz）；（）由f（）=sina=0，可得sina=，由题意知a为锐角，所以cosa=，由余弦定理a2=b2+c22bccosa，可得：1+bc=b2+c22bc，即bc，且当b=c时等号成立因此bcsina，所以abc面积的最大值为点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查19如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，ca=cb=cd=bd=2，ab=ad=（）求证：ao平面bcd；（）求异面直线ab与cd所成角的余弦；（）求点e到平面acd的距离考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定专题：综合题分析：（i）连接oc，由bo=do，ab=ad，知aobd，由bo=do，bc=cd，知cobd在aoc中，由题设知，ac=2，故ao2+co2=ac2，由此能够证明ao平面bcd（ii）取ac的中点m，连接om、me、oe，由e为bc的中点，知meab，oedc，故直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角在ome中，由此能求出异面直线ab与cd所成角大小的余弦（iii）设点e到平面acd的距离为h在acd中，故=，由ao=1，知，由此能求出点e到平面acd的距离解答：（i）证明：连接oc，bo=do，ab=ad，aobd，bo=do，bc=cd，cobd在aoc中，由题设知，ac=2，ao2+co2=ac2，aoc=90，即aoocaobd，bdoc=o，ao平面bcd（ii）解：取ac的中点m，连接om、me、oe，由e为bc的中点，知meab，oedc，直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角在ome中，（6分）om是直角aoc斜边ac上的中线，（7分），异面直线ab与cd所成角大小的余弦为（8分）（iii）解：设点e到平面acd的距离为h（9分）在acd中，=，ao=1，=，点e到平面acd的距离为点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题20如图，在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4设圆c的半径为1，圆心在l上（1）若圆心c也在直线y=x1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；（2）若圆c上存在点m，使ma=2mo，求圆心c的横坐标a的取值范围考点：圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定专题：直线与圆分析：（1）联立直线l与直线y=x1解析式，求出方程组的解得到圆心c坐标，根据a坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设m（x，y），由ma=2mo，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点m的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，由m在圆c上，得到圆c与圆d相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围解答：解：（1）联立得：，解得：，圆心c（3，2）若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=，则所求切线为y=3或y=x+3；（2）设点m（x，y），由ma=2mo，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，点m的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，又点m在圆c上，c（a，2a4），圆c与圆d的关系为相交或相切，1|cd|3，其中|cd|=，13，解得：0a点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题21如图，在三棱台defabc中，ab=2de，g，h分别为ac，bc的中点（）求证：bd平面fgh；（）若cf平面abc，abbc，cf=de，bac=45，求平面fgh与平面acfd所成的角（锐角）的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（）根据ab=2de便可得到bc=2ef，从而可以得出四边形efhb为平行四边形，从而得到behf，便有be平面fgh，再证明de平面fgh，从而得到平面bde平面fgh，从而bd平面fgh；（）连接he，根据条件能够说明hc，hg，he三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标连接bg，可说明为平面acfd