河北省石家庄市五校联合体高三数学上学期摸底试卷 理（含解析）.doc

河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共计60分）1（5分）已知集合a=x|1x3，集合b=x|0，则ab=（）ax|1x0bx|1x0cx|x0dx|x32（5分）若各项均为正数的等比数列an满足a2=1，a3a7a5=56，其前n项的和为sn，则s5=（）a31bcd以上都不对3（5分）“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）abc8d85（5分）若定义在r上的偶函数y=f（x）是0，+）上的递增函数，则不等式f（log2x）f（1）的解集是（）a（，2）b（，2）（2，+）crd（2，2）6（5分）计算（1cosx）dx=（）a+2b2cd27（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）abcd8（5分）将函数y=f（x）的图象按向量=（，2）平移后，得到函数g（x）=sin（2x+）+2的图象，则函数f（x）的解析式为（）ay=sin2xby=sin（2x+）cy=sin（2x+）dy=sin（2x）9（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆c：（x3）2+（y3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）a3b4c5d610（5分）直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于a、b两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）a0，）b（，）（，）c0，）（，）d（，）11（5分）设f（x）=|lg（x1）|，若0ab，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）a1，2b（1，2）c（4，+）d（2，+）12（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x）=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）a（，0）b（，0）（0，1）c（0，1）d（0，1）（1，+）二、填空题（每小题5分，共计20分）13（5分）函数f（x）=xex在点（1，f（1）处的切线的斜率是14（5分）数列（nn*）的前n项的和sn=15（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为函数y=2x33x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；对x，yr，若x+y0，则x1，或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若abc为钝角三角形，则sinacosb16（5分）在abc中，ac=6，bc=7，o是abc的内心，若，其中0x1，0y1，则动点p的轨迹所覆盖的面积为三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分）17（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间18（12分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，b=+a（1）求cosb的值；（2）求sin2a+sinc的值19（12分）已知数列an满足an+1=（nn*），且a1=0（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由20（12分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的菱形，abc=60，e、f分别是pb、cd的中点，且pb=pc=pd=4（1）求证：pa平面abcd；（2）求证：ef平面pad；（3）求二面角apbc的余弦值21（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），（，0），并且经过点（，）（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，2），且与椭圆交于不同的两点a、b，求oab面积的最大值22（12分）设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a0（1）若a=6，求f（x）在0，3上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式（nn*）恒成立河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1（5分）已知集合a=x|1x3，集合b=x|0，则ab=（）ax|1x0bx|1x0cx|x0dx|x3考点：并集及其运算 专题：集合分析：由求出集合b，再由并集的运算求出ab解答：解：由得，x0，则集合b=x|x0，又集合a=x|1x3，所以ab=x|x3，故选：d点评：本题考查并集及其运算，属于基础题2（5分）若各项均为正数的等比数列an满足a2=1，a3a7a5=56，其前n项的和为sn，则s5=（）a31bcd以上都不对考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等比数列的性质可得a5=8，进而可得公比q，代入求和公式可得解答：解：由等比数列的性质可得a3a7=a52，a3a7a5=56，a52a5=56，结合等比数列an的各项均为正数可解得a5=8，公比q满足q3=8，q=2，a1=，s5=，故选：c点评：本题考查等比数列的前n项和，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题3（5分）“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案解答：解：当a=2时，l1：2x+y3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=2，或a=1，不是必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题4（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）abc8d8考点：抛物线的定义 分析：首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=即可求之解答：解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=2，所以a=故选b点评：本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式5（5分）若定义在r上的偶函数y=f（x）是0，+）上的递增函数，则不等式f（log2x）f（1）的解集是（）a（，2）b（，2）（2，+）crd（2，2）考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：因为y=f（x）是定义在r上的偶函数，所以在0，+）上单调递增，则在对称区间（，0）上单调递减所以f（1）=f（1），所以讨论log2x在区间0，+）和（，0）两种情况，所以log2x0即x1时，为了用上函数y=f（x）在0，+）上单调递增的条件，将原不等式变成，f（log2x）f（1），根据单调性，所以得到log2x1，x2，所以1x2，同样的办法，求出log2x0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求并集即可解答：解：根据已知条件知：y=f（x）在（，0）是减函数，f（1）=f（1）；若log2x0，即x1，由原不等式得：f（log2x）f（1）；log2x1，x2；1x2；若log2x0，即0x1，f（log2x）f（1）；log2x1，x；综上得原不等式的解集为故选a点评：考查偶函数的概念，偶函数在对称区间上的单调性的特点，以及对数函数的单调性6（5分）计算（1cosx）dx=（）a+2b2cd2考点：定积分 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出原函数，即可求得定积分解答：解：（1cosx）dx=（xsinx）=（sin）sin（）=2，故选：b点评：本题考查定积分，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积s=22=4，高h=2=，故该几何体的体积v=sh=4=，故选：d点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为n棱锥（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台8（5分）将函数y=f（x）的图象按向量=（，2）平移后，得到函数g（x）=sin（2x+）+2的图象，则函数f（x）的解析式为（）ay=sin2xby=sin（2x+）cy=sin（2x+）dy=sin（2x）考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：先求出向量的相反向量，然后将函数y=sin（x+）+2按照的方向进行平移整理，即可得到答案解答：解：=（，2），=（，2），将y=sin（2x+）+2按照向量平移后得到，y=sin2（x）+=sin2x的图象，故选：a点评：本题主要考查三角函数按向量的方向进行平移属基础题9（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆c：（x3）2+（y3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）a3b4c5d6考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，则可知，（0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在xy+k=0上，从而解出k解答：解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆c：（x3）2+（y3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又三角形为直角三角形，（0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在xy+k=0上，解得k=6，故选d点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题10（5分）直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于a、b两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）a0，）b（，）（，）c0，）（，）d（，）考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：首先根据题意直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于a、b两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果解答：解：曲线x2y2=1（x0）的渐近线方程为：y=x直线l：y=k（x）与相交于a、b两点所以：直线的斜率k1或k1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：b点评：本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系11（5分）设f（x）=|lg（x1）|，若0ab，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）a1，2b（1，2）c（4，+）d（2，+）考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：f（x）是含有绝对值的函数，结合函数的图象或通过去绝对值考查f（x）的单调性，找出a和b的关系，结合基本不等式求范围即可解答：解：先画出函数f（x）=|lg（x1）|的图象，如图：0ab，且f（a）=f（b），1a2，b2，lg（a1）=lg（b1），=b1，a=1+，ab=b+=b+=b1+22=4，ab的取值范围是（4，+），故选：c点评：本题考查函数的性质、基本不等式等，去绝对值是解决本题的关键，综合性强12（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x）=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）a（，0）b（，0）（0，1）c（0，1）d（0，1）（1，+）考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得出此题的关键是a2x取不到1和0解答：解：设t=f（x），则f（t）=0，若a0时，当x0，f（x）=a2x0由f（t）=0，即，此时t=1，当t=1得f（x）=1，此时x=有唯一解，此时满足条件若a=0，此时当x0，f（x）=a2x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件若a0，当x0，f（x）=a2x（0，a此时f（x）的最大值为a，要使若关于x的方程f（f（x）=0有且仅有一个实数解，则a1，此时0a1，综上实数a的取值范围是（，0）（0，1），故选：b点评：本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键二、填空题（每小题5分，共计20分）13（5分）函数f（x）=xex在点（1，f（1）处的切线的斜率是2e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案解答：解：f（x）=xex，f（x）=ex+xex，则f（1）=2e故答案为：2e点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题14（5分）数列（nn*）的前n项的和sn=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：an=，利用“裂项求和”即可得出解答：解：an=，sn=+=故答案为：点评：本题考查了“裂项求和”求数列的前n项和，属于基础题15（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为函数y=2x33x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；对x，yr，若x+y0，则x1，或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若abc为钝角三角形，则sinacosb考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论解答：解：函数y=2x33x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于点（0，1）的对称点为（x0，2y0）也满足函数的解析式，则正确；对x，yr，若x+y0，对应的是直线y=x以外的点，则x1，或y1，正确；若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（2，0）连线的斜率，其最大值为，正确；若abc为钝角三角形，若a为锐角，b为钝角，则sinacosb，错误故答案为：点评：的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会16（5分）在abc中，ac=6，bc=7，o是abc的内心，若，其中0x1，0y1，则动点p的轨迹所覆盖的面积为考点：平面向量的综合题 专题：平面向量及应用分析：根据，其中0x1，0y1，可得动点p的轨迹所覆盖的面积是以oa，ob为邻边的平行四边形，s=abr，r为abc的内切圆的半径，计算ab及r，即可得到结论解答：解：，其中0x1，0y1，动点p的轨迹所覆盖的面积是以oa，ob为邻边的平行四边形s=abr，其中r为abc的内切圆的半径在abc中，由余弦定理可得cosa=5ab212ab65=0ab=5o是abc的内心，o到abc各边的距离均为r，r=s=abr=故答案为：点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分）17（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值（2）根据（1）的结论，利用整体思想求单调区间解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2= （2）令：（kz）（kz）所以f（x）的单调减区间是点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值，利用整体思想求单调区间18（12分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，b=+a（1）求cosb的值；（2）求sin2a+sinc的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosb；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到解答：解（1），cosb=cos（+a）=sina，又a=3，b=4，所以由正弦定理得 ，所以=，所以3sinb=4cosb，两边平方得9sin2b=16cos2b，又sin2b+cos2b=1，所以，而，所以（2），2a=2b，sin2a=sin（2b）=sin2b=又a+b+c=，sinc=cos2b=12cos2b=点评：本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题19（12分）已知数列an满足an+1=（nn*），且a1=0（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由考点：等差数列的性质；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由数列an的递推关系an+1=（nn*）及a1=0即可求得a2，a3的值；（2）假设存在一个实常数，使得数列为等差数列，依题意可求得，再利用等差数列的定义即可证得猜想成立解答：解 （1）（4分）（2）假设存在一个实常数，使得数列为等差数列，则成等差数列，所以，（6分）所以，解之得=1（8分）因为（11分）又，所以存在一个实常数=1，使得数列是首项为1，公差为的等差数列（12分）点评：本题考查数列an的递推关系及等差关系的确定，考查运算与推理能力，属于难题20（12分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的菱形，abc=60，e、f分别是pb、cd的中点，且pb=pc=pd=4（1）求证：pa平面abcd；（2）求证：ef平面pad；（3）求二面角apbc的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取bc的中点m，连结am，pm，由已知条件推导出pabc，pacd，由此能证明pa平面abcd（2）取pa的中点n，连结en，nd，由已知得四边形endf是平行四边形，由此能证明ef平面pad（3）取ab的中点g，过g作ghpb于点h，连结hc，gc，由已知得ghc是二面角apbc的平面角，由此能求出二面角apbc的余弦值解答：（1）证明：取bc的中点m，连结am，pmab=bc，abc=60，abc为正三角形，ambc又pb=pc，pmbc，ampm=m，bc平面pam，pa平面pam，pabc，同理可证pacd，又bccd=c，pa平面abcd（4分）（2）证明：取pa的中点n，连结en，ndpe=eb，pn=na，enab，且又fdab，且，四边形endf是平行四边形，efnd，而ef平面pad，nd平面pad，ef平面pad（8分）（3）解：取ab的中点g，过g作ghpb于点h，连结hc，gc则cgab，又cgpa，paab=a，cg平面pabhcpb，ghc是二面角apbc的平面角在rtpab中，ab=2，pb=4，又rtbhgrtbap，在rthgc中，可求得，故二面角apbc的余弦值为（12分）点评：本题考查pa平面abcd的证明，考查ef平面pad的证明，考查二面角apbc的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养21（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），（，0），并且经过点（，）（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，2），且与椭圆交于不同的两点a、b，求oab面积的最大值考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用待定系数法求椭圆的标准方程，在求a时利用椭圆的定义比较简单；（2）利用弦长公式先求出|ab|，然后利用面积公式构建关于斜率k的函数，通过换元法利用基本不等求oab面积的最大值解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可得，又，b=1，故椭圆的标准方程为 （2）设直线l的方程为y=kx2，由，得（1+3k2）x212kx+9=0，依题意=36k2360，k21（*） 设a（x1，y1），b（x2，y2），则，由点到直线的距离公式得， 设，当且仅当时，上式取等号，所以，oab面积的最大值为点评：第（1）问用待定系数法求椭圆的方程时，也可以把点代入方程求解，但这种方法计算量大；第（2）问得到的面积表达式比较复杂，当函数表达式比较复杂时，考虑用换元法转化成简单函数，但要注意转化后函数的定义域22（12分）设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a0（1）若a=6，求