矩阵的特征值与特征向量.ppt

第五章矩阵的特征值与特征向量 在经济理论及其应用中 常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论 2 引言 纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律 即 lEn An An lEn lAn 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的 即l AB lA B A lB Ax lx 例 一特征值与特征向量定义 非零列向量X称为A的对应于特征值 的特征向量 定义6设A是n阶矩阵 如果对于数 存在n维非零列向量X 使 AX X成立 则称 为方阵A的一个特征值 第一节矩阵的特征值与特征向量p117 AX X 如何求特征值和特征向量 即 齐次方程有非0解 齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0 即 I A 0 2 I A 0称为方阵A的特征方程 二特征多项式与特征方程 定义设A为n阶方阵 1 f I A 称为方阵A的特征多项式 即 即 3 方阵A的特征值 就是特征方程 I A 0的根 所以方阵A的特征值 也称为方阵A的特征根 齐次线性方程组 的每一个非零解向量 都是方阵A的对应于特征值 的特征向量 所以方阵A对应于每一个不同特征值 的特征向量都有无穷多个 三特征向量 定理1如果非零向量X为矩阵A对应于特征值 的特征向量 则CX C 0为任意常数 也是A对应于特征值 的特征向量 定理2如果X1 X2为矩阵A对应于特征值 的特征向量 且X1 X2 0 则X1 X2也是A对应于特征值 的特征向量 即 矩阵A对应于同一特征值 的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于 特征向量 不能为0 综上所述 求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下 第一步计算矩阵A特征多项式 I A 第二步求出矩阵A的特征方程 I A 0的全部根 即求得A的全部特征值 1 1 n 其中可能有重根 第三步对于A的每个特征值 i 求出对应的齐次线性方程组 iI A X 0的一个基础解系 矩阵A对应于特征值 i的全部特征向量为 例1求矩阵的特征值和特征向量 解 1 A的特征方程为 所以A的特征值为 1 4 2 2 2 当 1 4时 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 1 4的全体特征向量为 例1求矩阵的特征值和特征向量 解 3 当 2 2时 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 2 2的全体特征向量为 例2求矩阵的特征值和特征向量 解 1 A的特征方程为 所以A的特征值为 1 2 2 4 2 当 1 2时 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 1 2的全体特征向量为 例2求矩阵的特征值和特征向量 解 3 当 2 4时 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 2 4的全体特征向量为 例3求矩阵的特征值和特征向量 解 1 A的特征方程为 所以A的特征值为 1 2 4 3 2 例3求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征值为 1 2 4 3 2 2 当 1 2 4 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 1 2 4的全体特征向量为 例3求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征值为 1 2 4 3 2 3 当 3 2 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 3 2的全体特征向量为 例4求矩阵的特征值和特征向量 解 1 A的特征方程为 所以A的特征值为 1 2 1 3 2 例4求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征值为 1 2 1 3 2 2 当 1 2 1 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 1 2 1的全体特征向量为 例4求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征值为 1 2 1 3 2 3 当 3 2 其基础解系可取为 则矩阵A对应于特征值 3 2的全体特征向量为 在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值 重根按重数计算 设n阶矩阵A的特征值为l1 l2 ln 则l1 l2 ln a11 a22 annl1l2 ln A 利用根与系数的关系可证 证明不要求 但性质本身需牢固掌握 四特征值与特征向量的性质 例5设 是方阵A的特征值 证明 1 2是A2的特征值 证明 因为 是A的特征值 故有X 0 使AX X 于是 1 A2X 2X AX A X A AX 所以 2是A2的特征值 因为X 0 知 0 有X A 1X 由AX X 2 当A可逆时 2 当A可逆时 是的特征值 是的特征值 例5 设l是方阵A的特征值 证明 1 l2是A2的特征值 2 当A可逆时 1 l是A 1的特征值 结论 若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量 则l2是A2的特征值 对应的特征向量也是p lk是Ak的特征值 对应的特征向量也是p 当A可逆时 1 l是A 1的特征值 对应的特征向量仍然是p 一般地 令 则 例6 设3阶方阵A的特征值为1 1 2 求A 3A 2E的特征值 解 A 3A 2E A A 1 3A 2E 2A 1 3A 2E j A 其中 A 1 1 2 2 从而A 3A 2E的特征值分别为 例7主对角线上的元素为 1 2 n的n阶对角矩阵 或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素 1 2 n 定理4n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 证明 转置矩阵AT的特征多项式为 即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式 所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 例8证明 方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0 证明 必要性 则 如果A为奇异阵 所以A有一个特征值为0 充分性 如果A有一个特征值为0 对应的特征向量为X 则 有非0解 所以 A 0 定理3n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0 p120定理2设 1 2 m m n 是n阶方阵A的m个互不同特征值 X1 X2 Xm分别是A对应于 1 2 m的特征向量 则X1 X2 Xm线性无关 A k1X1 k2X2 ksXs 0 证明 设有常数k1 k2 ks 1k1X1 2k2X2 sksXs 0 用数学归纳法 m 1时X1 0显然成立 使k1X1 k2X2 ksXs 0 设m s 1时X1 X2 Xs 1线性无关 现证明m s时X1 X2 Xs线性无关 k1X1 k2X2 ksXs 0 sk1X1 sk2X2 sksXs 0 1k1X1 2k2X2 sksXs 0 两边同乘 s 两式相减 s 1 k1X1 s 2 k2X2 s s 1 ks 1Xs 1 0 所以X1 X2 Xs线性无关 由设m s 1时X1 X2 Xs 1线性无关 由数学归纳法知 对任意正整数m 结论成立 p121例10设 1和 2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次为X1和X2 证明X1 X2不是A的特征向量 用反证法 假设X1 X2是A的特征向量 则应存在数 使A X1 X2 X1 X2 于是 证明 按题设 有AX1 1X1 AX2 2X2 故 A X1 X2 1X1 2X2 即 1 X1 2 X2 0 X1 X2 AX1 AX2 1X1 2X2 因此X1 X2不是A的特征向量 与题设 1 2矛盾 即 1 2 1 2 0 故由上式得 因为X1 X2线性无关 定理6设 1 2 m是方阵A的m个互不同特征值 为 1的r1个线性无关特征向量 为 2的r2个线性无关特征向量 为 m的rm个线性无关特征向量 则向量组 共r1 r2 rm个 线性无关 例3求矩阵的特征值和特征向量 解 1 A的特征方程为 所以A的特征值为 1 2 4 3 2 2 当 1