李尚志教授线性代数.ppt

线性代数新教材精彩案例 李尚志北京航空航天大学 2020 1 14 一 指导思想 1 主题文学 永恒主题 爱 死 数学 重要主题 方程 函数微积分 非线性 线性线性代数 多元一次方程组 多元一次函数组 2020 1 14 空间解析几何 3维线性代数线性代数 n维解析几何空间为体 矩阵为用几何问题 矩阵语言描述 矩阵运算解决 几何解方程组 几何描述 代数语言描述 矩阵运算求解 2 代数几何熔一炉 2020 1 14 几何PK代数几何好看不好算代数好算不好看几何 代数 帮助计算代数 几何 帮助理解 2020 1 14 内容 最简单的方程 一次方程最简单的函数 一次函数算法少 只有两个 1 矩阵初等变换 2 矩阵乘法 通过初等矩阵相互转化 1 5个 3 线性代数之易 2020 1 14 不怪抽象 不怪学生怪谁 只为考试死记硬背 不解决问题解方程组只会用中学代入法 判定方程组解的惟一性不会用线性无关 算旋转不会用矩阵乘法 算旋转轴不会用特征向量 抽象 许多不同事物共同点 难得糊涂 放之四海皆准 无招胜有招 4 线性代数之难 抽象 2020 1 14 学会少量算法 解决大量问题各种问题 转化 凌波微步 少量算法无招胜有招如何实现 通过有招学无招积累案例 使用案例案例 阳春白雪 下里巴人抽象数学 贴近生活 喜闻乐见 易学易用 5 线性代数之教学任务 博客与视频 网上资源 精品课程 国家级 数学实验 2003 线性代数 2004 教育部 线性代数 非数学专业 2006 高等数学 2008 郑志明 联系办法 lisz 2020 1 14 数学的神韵科学出版社2010 4 新书介绍 已出版教材李尚志 线性代数 数学专业用 高等教育出版社 2006 5 精品课程网页 2020 1 14 案例1 1解n元一次方程组 与中学接轨 加减消去法各方程乘常数再相加 线性组合原方程组解 新方程解 原方程解 怎样保证 变形前后互为线性组合 怎样实现 初等变换 高斯消去法 只计算系数 矩阵消元 只用到加减乘除 数域 2020 1 14 案例2 1方程组惟一解问题 例1 过已知点的多项式函数曲线方程组的解是否惟一 2020 1 14 方程组惟一解问题 例2 已知电压与各电阻 求各段电流对任意电阻值有惟一解 物理 yes 代数 方程组总有惟一解吗 二元一次方程组的几何意义 写成向量形式 惟一解条件 OA OB不共线 组成平面上一组基 案例2 2n 2 3的几何解法 用各aj线性组合b 何时系数惟一 案例2 3 n元方程组几何解释 2020 1 14 案例2 4共线共面概念推广 几何概念难推广 用代数运算描述易推广两向量a b共线一个是另一个的实数倍xa yb 0有非零解 x y 三向量a b c共面一个是另两个的线性组合推广到n维向量线性相关 有非零解线性无关 只有零解若有解必惟一 xa yb zc 0有非零解 x y z 解方程组OB顺时针方向旋直角到与方程两边作内积消去y 得 是平行四边形OAPB有向面积 称为二阶行列式 案例3 1二阶行列式 几何定义 利用基本性质计算2阶行列式 利用基本性质计算 案例3 2三阶行列式 几何定义 D a b c 平行六面体有向体积 2020 1 14 案例3 3n阶行列式定义 3阶算法 各列取不同行元素ai bj ck相乘再乘d ijk 1 s d ijk 是自然基列向量ei ej ek排成的行列式 经s次两列互换为d 123 1 n阶行列式D 排列经s次对换变成则在中将1 2 依次往前一步步换到第1 2 位 则s 逆序数 2020 1 14 案例3 4行列式判定线性无关 方阵A的行列式 n维体积 D 0 各列线性无关 方程组Ax b有惟一解 证明 A的各列a1 an线性相关 某列ai是其余各列的线性组合将各列aj的 lj倍加到第i列 A的第i列化为零 D 0 可见 D 0 各列线性无关 反过来 D 0 初等行变换化成阶梯形 最后一行为零 各列线性相关 2020 1 14 案例3 5惟一解公式 Crammer 以n 3为例 左边第2列乘 y 第3列乘 z 各加到第1列再提取公因子x 得xD D1x D1 D 类似可得y D2 D z D3 D 案例4 1秩与维数的惟一性 向量组A a1 am 的线性组合B b1 bk k mB线性相关 记A的线性组合b为乘积形式则 3 k个m维数组Xj线性相关bj线性相关A B互为线性组合且线性无关m k 案例4 2矩阵乘法的引入 矩阵A a1 am 看成列向量组线性组合a1x1 anxn写成 行向量 A乘列向量XA与矩阵X X1 Xk 的乘积 A乘各列AX A X1 Xk AX1 AXk 实际上是利用分块运算引入矩阵乘法 案例4 3矩阵乘法运算律 乘法法则对角阵纯量阵与单位阵 案例4 3矩阵乘法运算律 分配律A X Y AX AY 1 X Y只有一列 合并同类项 2 X Y有若干列 逐列比较 案例4 3矩阵乘法运算律 结合律 AB C A BC AX l a1x1 anxn l a1 x1l an xnl A Xl AB L A BL AB Cj A BCj 案例4 4运算律应用例 例1 例2 求AB An X AX 旋转角a OP x y xe1 ye2OQ xe2 y e1 y x OP cosa OP sina OQ 例3 求A10 解 A lI N 例4 求B使B10 A解 A I N 易验证B满足要求 例5 解微分方程组解 通解X eAtC eAt由Taylor级数定义 令 则N2 O 例6 矩阵求逆 解矩阵方程组 解 解方程组AX I 按列分块 A X1 Xn e1 en 分别解AXj ej 分别做初等变换 A ej I Xj 同时做 A e1 en I X1 Xn 即 A I I X X A 1 解AX B A B I X 案例5 1最小二乘法 1 例1 过三点 3 7 0 9 4 0 0 6 4 2 0 35 作直线y kx b 解 解方程组即ka1 ba2 c 求D与C距离最近 几何解 DC 平面p ATAX ATc 案例5 2最小二乘法 2 内积 例2 过n点 xi yi 作直线y kx b 解 解方程组ka1 ba2 c AX c a1 a2是n维向量 内积推广到Rn 仍求距离CD最短 为什么DC 平面p 勾股定理 CP2 CD2 DP2 CD2 ATAX ATc 案例5 3勾股定理的理由 a b 2 a a b b a b aa a b b a b b a2 2ab b2对向量a b仍成立 AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC完全平方公式 余弦定理 含勾股定理 对数组向量a b也成立 案例5 4Cauchy不等式 例3 Cauchy不等式的理由 向量a OA b OB夹角q cosq a b a b 1 a b 2 a 2 b 2为什么 cosq 1 直角边 OC 斜边 OB OB2 OC2 CB2 0 案例5 5特征向量的引入 例4 求曲线x2 2xy 5y2 4围成的面积 解 左边配方得x 2 y 2 4 所求面积S乘 A 2变成圆面积4p S 2p 例5 例4曲线是否被变换X AX拉伸为圆 解 是否有非零X拉长为AX lX A lI X 0有非零解X 行列式 A lI 0 案例5 6图解特征向量 例4的曲线x2 2xy 5y2 4被拉伸成圆 案例5 7利用线性变换引入e