工程力学——2-3平面力偶系.ppt

2 3平面力偶系 静力学 一 力矩力使物体绕某点转动的力学效应 称为力对该点之矩 1 力对点之矩定义 力与力臂的乘积冠以正 负号定义为力F对O点的力矩 O 转动的中心 称为力矩中心 简称矩心 d 转动中心到力作用线之间的距离称为力臂 注意单位 表达式 Mo F F d 正负号规定 若力使物体绕矩心作逆时针转向转动力矩取正号 反之取负号 问题 图示力F对O点的力矩应取什么符号 力矩必须与矩心相对应 同一个力对不同点产生的力矩是不同的 因此不明矩心而求力矩是无任何意义的 在表示力矩时 必须表明矩心 力矩在下列两种情况下等于零 力等于零或力的作用线通过矩心 力F对任一点的矩 不因力F沿其作用线的移动而改变 力矩计算 简支刚架如图所示 荷载F 15kN 45 尺寸如图 试分别计算F对A B两点之矩 d 解 1 力F对A点的力矩 2 力F对B点的力矩 注意 负号必须标注 正号可标也可不标 一般不标注 2 合力矩定理 力系中合力对一点的矩 等于力系中各分力对同一点之矩的代数和 设某力系为Fi i 1 2 n 其合力为FR 根据以上理论 则有表达式 由合力投影定理有 证明 od ob oc 又 例1荷载F 20kN 45 尺寸如图 试分别计算F对A B两点之矩 Fx Fcos 20N 0 7 14N 解 Fy Fsin 20N 0 7 14N 1 力F对A点的力矩 MA Fx Fx d 14kN 2 28kN m MA Fy Fy d 14kN 6 84kN m MA F MA Fy MA Fx 84kN m 28kN m 56kN m B点大家求一下 例2求图中荷载对A B两点之矩 b 解 图 a MA 8 2 16kN mMB 8 2 16kN m 图 b MA 4 2 1 8kN mMB 4 2 1 8kN m a 例3 已知 如图F Q l 求 和 静力学 解 用力对点的矩法 应用合力矩定理 例4 已知 机构如图 F 10kN 求 MA F 解 方法一 MA F F d 10 0 6 sin600 方法二 MA F F cos300 0 6 0 10 0 6 cos300 Fx Fcos300 MA Fx Fy Fsin300 MA Fy 0 MA F MA Fx MA Fy 例5 图示F 5kN sin 0 8试求力F对A点的矩 解 1 h C D CD 18 75 0 6 11 25 AC 20 11 25 8 75 h 8 75 0 8 7 mo F hF 7 5 35 2 Fx Fy Fx Fcos 5 0 6 3 Fy Fsin 5 0 8 4 D mo Fx BD Fx 15 3 45 mo Fy AD Fy 20 4 80 mo F mo Fx mo Fy 45 80 35 支架如图所示 已知AB AC 30cm CD 15cm F 100N 求对A B C三点之矩 解 由定义 由合力矩定理 如图所示 求F对A点的矩 解一 应用合力矩定理 解二 由定义 静力分析 练习 图示胶带轮 已知T1 200N T2 100N D 160mm 求MB T1 MB T2 解 3 力矩的平衡条件内容 各力对转动中心O点之矩的代数和等于零 即合力矩为零 公式表达 二 力偶 1 什么是力偶 力学中把一对等值 反向且不共线的平行力称为力偶 F F 无法再简化的简单力系之一 力偶作用面 两力作用线所决定的平面 力偶臂 两力作用线之间的垂直距离 用d表示 力偶的三要素 1 力偶中力的大小2 力偶的转向3 力偶臂的大小 力偶实例 力偶实例 力偶矩 力学中 用力偶的任一力的大小F与力偶臂d的乘积在冠以相应的正 负号 作为力偶使物体转动效应的度量 称为力偶矩 用M表示 注 力偶逆时针转动时取正 反之取负 d 力偶臂 静力学 2 力偶的特性性质1 力偶既没有合力 本身又不平衡 是一个基本力学量 力偶无合力 不能与一个单个的力平衡 力偶只能与力偶平衡 力偶只能是物体转动 转动效果取决于力偶矩 F F abcd ab F 性质2力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩 而与矩心的位置无关 因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量 静力学 性质3 平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶 只要它的力偶矩的大小相等 转向相同 则该两个力偶彼此等效 只要保持力偶矩大小和转向不变 可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短 而不改变它对刚体的作用效应 由上述证明可得下列两个推论 力偶可以在其作用面内任意移动 而不影响它对刚体的作用效应 3 力偶的表示方法用力和力偶臂表示 或用带箭头的弧线表示 箭头表示力偶的转向 M表示力偶的大小 关于力偶性质的推论 只要保持力偶矩矢量不变 力偶可在作用面内任意移动 其对刚体的作用效果不变 只要保持力偶矩矢量不变 力偶可在作用面内任意移动 其对刚体的作用效果不变 关于力偶性质的推论 保持力偶矩矢量不变 分别改变力和力偶臂大小 其作用效果不变 关于力偶性质的推论 只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 力偶可在与其作用面平行的平面内移动 关于力偶性质的推论 M Fdk 1 平面力偶系的简化作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系 m1 F1 d1 m2 F2 d2 m3 F3 d3 P1 d F1 d1 P2 d F2 d2 P3 d F3 d3FR P1 P2 p3FR P1 P2 P3 三 平面力偶系的简化与平衡 M FRd P1 P2 P3 d P1 d P2 d P3 d F1 d1 F2 d2 F3 d3所以M m1 m2 m3 若作用在同一平面内有个力偶 则上式可以推广为 由此可得到如下结论 平面力偶系可以合成为一合力偶 此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和 平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替 因此 若合力偶矩等于零 则原力系必定平衡 反之若原力偶系平衡 则合力偶矩必等于零 由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件 2 平面力偶系的平衡条件 即 M 0 注 平面力偶系有一个平衡方程 可以求解一个未知量 平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零 图示矩形板 边长分别为a 2a 各受大小相等 方向相反的力偶作用 试画出整体和两板的受力图 静力学 例 在一钻床上水平放置工件 在工件上同时钻四个等直径的孔 每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A B端水平反力 解 合力偶距 平面力偶系平衡 车间内有一矩形钢板 要使钢板转动 加力F F 如图示 试问应如何加才能使所要的力最小 当力偶一定时 只有力偶臂最长所用的力才最小 图中梁AB处于平衡 如何确定支座A B处反力的方向 FA FB 力偶只能和力偶平衡 A B两点的力应构成力偶 所以 这两个力大小相等 方向相反 即A点的水平分力为零 可以不画 图中所示的拉力实验机上的摆锤重G 悬挂点到摆锤重心C的距离为l 摆锤在图示三个位置时 求重力G对O点之矩各为多少 解 MO F Fd 位置1 MO F Gd 0 位置2 MO F G Gd lsin Glsin 位置3 MO F Gl 刚架上作用着力F 分别计算力F对A点和B点的力矩 F a b为已知 Fx Fy 解 用定义计算 力臂不易确定 所以 用合力矩定理 MA F Fx b b Fcos Fx Fcos Fy Fsin MB F MB Fx MB Fy b Fcos a Fsin 静力分析 例 图示结构 求A B处反力 解 1 取研究对象 整体 2 受力分析 特点 力偶系 3 平衡条件 mi P 2a YA l 0 思考 mi 0 P 2a RB cos l 0 求图示简支梁的支座反力 解 以梁为研究对象 受力如图 解之得 例题 在梁AB上作用一个力偶 其矩为m 梁长为l 自重不计 试求支座A和B的约束反力 解 取梁AB为研究对象 RA RB 45o 45o RA RB R m RA RB Rlcos45o mi 0 Rlcos45o m 0 R RA RB 例题 图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置 已知OA 40cm O1B 60cm m1 1N m 各杆自重不计 试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力 解 AB为二力杆 SA SB S S S S S 取OA杆为研究对象 mi 0 m2 0 6S 0 1 取O1B杆为研究对象 mi 0 0 4sin30oS m1 0 2 联立 1 2 两式得 S 5 m2 3 例题 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触 它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 转向如图 问m1与m2的比值为多大 结构才能平衡 m1 m2 解 取杆AB为研究对象画受力图 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束 则A处约束反力的方位可定 RA RC mi 0 RA RC R AC a aR m1 0 m1 aR 1 取杆CD为研究对象 因C点约束方位已定 则D点约束反力方位亦可确定 画受力图 RD RC RD RC R CD a mi 0 0 5aR m2 0 m2 0 5aR 2 联立 1 2 两式得 例题图示刚架 其上作用三个力偶 其中F1 F1 5KN m2 20KN m m3 9KN m 试求支座A B处的反力 A B F1 F1 m3 1m 1m 1m m1 F1 1 5KN m m1 m2 m3 FBd 0 d 解 因为作用在刚架上的主动力全是力偶 则A B处的约束反力一定形成力偶 根据平面力偶系的平衡方程 mi 0 5 20 9 FBABsin300 0 解得 FA FB 2 31kN 例已知 机构如图所示 各构件自重不计 主动力偶M1为已知 求 支座A B的约束反力及主动力偶M 解 BD M 0M1 FE a 0 FB FE M1 a 系统 系统受力偶作用 又只在A B两点受力 则该两点的力必形成一力偶 FA FB M1 a M 0M1 FB 0 M 0 M M1 系统如图 AB杆上作用矩为M的力偶 设AC 2R R为轮C的半径 各物体的重量及摩擦不计 求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力 解 先以AB杆为研究对象 受力如图 由几何关系 所以 再以轮C为研究对象 受力如图 建立如图坐标 其中 解之得 讨论 本题亦可以整体为研究对象求出 例已知 a m 杆重不计 求 铰A C的反力 解 分别以AB杆 二力杆 和BC为研究对象求解 由SM 0 m NC d 0及NC N B NB 解得 AB杆 BC杆 例M1 2kN m OA r 0 5m a 30 求作用于摇杆上力偶矩的大小及铰链O B处的约束力 解 1 先以圆轮为研究对象 由SM 0 解得 平面力偶系 2 再以摇杆为研究对象 平面力偶系 由SM 0 FA F A M1 rsin30 解得 FO FB的方向如图所示 例 结构如图所示 已知主动力偶M 哪种情况铰链的约束力小 并确定约束力的方向 不计构件自重 1 研究OA杆 2 研究AB杆 例 已知AB 2aBD a 不计摩擦 求当系统平衡时 力偶M1 M2应满足的关系 研究BD 研究AC 静力分析 例 图示杆系 已知m l 求A B处约束力 解 1 研究对象二力杆 AD 2 研究对象 整体 思考 CB杆受力情况如何 m 练习 静力分析 解 1 研究对象二力杆 BC 2 研究对象 整体 m AD杆 例题 图示物体系统中AC CD BE EF a且CF DE 物体重量不计 求支座A和B的约束反力 解 取整体为研究对象画受力图 RA RB d RA RB R mi 0 RA RB R 静力分析 m 所以 练习 下图中 求A C两点处的支座反力 静力分析 练习 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系 其中AO d AB l 曲柄ACD A O B M 解 1 研究对象 滑块B M 2 研究曲柄ACD 静力分析 思考题 1 m可否又BC上移至AC上 结构视为一体时 m可移动 若分开考虑 则m不能从一体移至另一体 2 既然一个力不能与力偶平衡 为什么下图的圆轮能平衡 力偶不能和一个力平衡 为什么图中的轮子又能平衡 力偶只能和力偶平衡 P O两点的力应构成力偶 所以 这个力偶与M平衡 静力分析 2 图示机构平衡时两力偶之间的关系 m1 杆B