河北省衡水中学高三数学上学期四调试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1在空间，下列命题错误的是（）a一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交b一个平面与两个平行平面相交，交线平行c平行于同一平面的两个平面平行d平行于同一直线的两个平面平行2设集合p=x|，m=30.5，则下列关系中正确的是（）ampbmpcmpdmp3如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且a，b两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）a（30+30）mb（30+15）mc（15+30）md（15+15）m4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a +b1+cd15已知正数组成的等比数列an，若a1a20=100，那么a7+a14的最小值为（）a20b25c50d不存在6设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）a1，2b2，1c3，2d3，17若函数y=f（x）的导函数为y=f（x），且，则y=f（x）在0，上的单调增区间为（）abc和d和8已知不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）a1b2c3d49己知球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，则棱锥sabc的体积为（）abcd10已知，与的夹角为，那么等于（）a2b6cd1211设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为（）a1，2b（1，2）c2，1d（2，1）12设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）a有极大值，无极小值b有极小值，无极大值c既有极大值又有极小值d既无极大值也无极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空）14已知函数f（x）=，则f（）+f（1）=15设向量，（nn*），若，设数列an的前n项和为sn，则sn的最小值为16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=2sin2（x+）cos2x，x，设x=时f（x）取到最大值（1）求f（x）的最大值及的值；（2）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，a=，且sinbsinc=sin2a，求bc的值18如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（1）求证：pcad； （2）求点d到平面pam的距离19已知等比数列an的公比q1，a1=2且a1，a2，a38成等差数列数列bn的前n项和为sn，且sn=n28n（）分别求出数列an和数列bn的通项公式；（）设cn=，若cnm，对于nn*恒成立，求实数m的最小值20如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1=ac=cb=（1）证明：bc1平面a1cd；（2）求异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）当ab=时，求三棱锥ca1de的体积21已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k3）xk+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x01，e使f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设kz，当x1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值选做题122如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点，ae=ac，de交ab于点f，且ab=2bp=4，（1）求pf的长度（2）若圆f与圆o内切，直线pt与圆f切于点t，求线段pt的长度选做题223（2012邯郸一模）选修45：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x1|+|x+2|a）（）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（）若关于x的不等式f（x）3的解集是r，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1在空间，下列命题错误的是（）a一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交b一个平面与两个平行平面相交，交线平行c平行于同一平面的两个平面平行d平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离【分析】根据面面平行的性质可判断a；根据面面平行的性质定理可判断b；根据面面平行的性质可判断c；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断d【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故a正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故b正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故c正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故d错误；故选：d【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档2设集合p=x|，m=30.5，则下列关系中正确的是（）ampbmpcmpdmp【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断【专题】计算题【分析】解出集合p中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与p的关系，从而得到答案【解答】解：p=x|x2x0，又m=30.5=故mp，故选b【点评】本题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法3如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且a，b两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）a（30+30）mb（30+15）mc（15+30）md（15+15）m【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；解三角形【分析】要求建筑物的高度，需求pb长度，要求pb的长度，在pab由正弦定理可得【解答】解：在pab，pab=30，apb=15，ab=60，sin15=sin（4530）=sin45cos30cos45sin30=由正弦定理得： =30（+），建筑物的高度为pbsin45=30（+）=（30+30）m，故选a【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a +b1+cd1【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为： =，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：121=1，故组合体的体积v=1+，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键5已知正数组成的等比数列an，若a1a20=100，那么a7+a14的最小值为（）a20b25c50d不存在【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a7+a142=2=2=20【解答】解：正数组成的等比数列an，a1a20=100，a1a20=a7a14=100，a7+a142=2=2=20当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20故选：a【点评】本题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决本题的关键注意均值定理的合理运用6设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）a1，2b2，1c3，2d3，1【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由z=ax+y得y=ax+z，直线y=ax+z是斜率为a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则a（1，1），b（2，4），z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，直线z=ax+y过点b时，取得最大值为2a+4，经过点a时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a0，则目标函数斜率k=a0，要使目标函数在a处取得最小值，在b处取得最大值，则目标函数的斜率满足akbc=1，即0a1，若a0，则目标函数斜率k=a0，要使目标函数在a处取得最小值，在b处取得最大值，则目标函数的斜率满足akac=2，即2a0，综上2a1，故选：b【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定a，b是最优解是解决本题的关键注意要进行分类讨论7若函数y=f（x）的导函数为y=f（x），且，则y=f（x）在0，上的单调增区间为（）abc和d和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围0，即可得到答案【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x0，则和故答案为：d【点评】本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间8已知不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）a1b2c3d4【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】令f（y）=|y+4|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|y|y+4y|=4，从而将问题转化为2x+f（y）max=4，令g（x）=（2x）2+42x，则ag（x）max=4，从而可得答案【解答】解：令f（y）=|y+4|y|，则f（y）|y+4y|=4，即f（y）max=4不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，2x+f（y）max=4，a（2x）2+42x=（2x2）2+4恒成立；令g（x）=（2x）2+42x，则ag（x）max=4，常数a的最小值为4，故选：d【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题9己知球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，则棱锥sabc的体积为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【专题】计算题【分析】由题意求出sa=ac=sb=bc=2，sac=sbc=90，说明球心o与ab的平面与sc垂直，求出oab的面积，即可求出棱锥sabc的体积【解答】解：如图：由题意球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点ab=2，asc=bsc=45，求出sa=ac=sb=bc=2，sac=sbc=90，所以平面abo与sc垂直，则进而可得：vsabc=vcaob+vsaob，所以棱锥sabc的体积为： =故选c【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心o与ab的平面与sc垂直是本题的解题关键，常考题型10已知，与的夹角为，那么等于（）a2b6cd12【考点】平面向量数量积的运算【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出（4）2，开方得出答案【解答】解： =1=1，（4）2=1628+=12|4|=2故选：c【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题11设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为（）a1，2b（1，2）c2，1d（2，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出函数f（x）=exx的导函数，进一步求得（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2转化为集合间的关系求解【解答】解：由f（x）=exx，得f（x）=ex1，ex+11，（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g（x）=a2sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则，解得1a2即a的取值范围为1a2故选：a【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题12设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）a有极大值，无极小值b有极小值，无极大值c既有极大值又有极小值d既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】令f（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论【解答】解：函数f（x）满足，令f（x）=x2f（x），则f（x）=，f（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2f（x），则（x）=ex2f（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为（2）=e22f（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选d【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的必要不充分条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空）【考点】充要条件【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由得不出m，而由m，能得到，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以是m的必要不充分条件【解答】解：由m，得不出m，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；若ma，m，则根据面面垂直的判定定理得到；，是m的必要不充分条件故答案为必要不充分【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念14已知函数f（x）=，则f（）+f（1）=3【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用导函数求解函数值即【解答】解：函数f（x）=，则f（）+f（1）=log3（101）+21+1=2+1=3故答案为：3【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力15设向量，（nn*），若，设数列an的前n项和为sn，则sn的最小值为1【考点】数列与向量的综合【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和【解答】解：向量，（nn*），若，可得an=2（）sn=a1+a2+a3+an=21+=数列sn是递增数列，sn的最小值为：s1=1故答案为：1【点评】本题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥mpsqn，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；所以该四棱锥的体积为v=v三棱柱v三棱锥=222222=故答案为：【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=2sin2（x+）cos2x，x，设x=时f（x）取到最大值（1）求f（x）的最大值及的值；（2）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，a=，且sinbsinc=sin2a，求bc的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的求值【分析】（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及的值（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得bc的值【解答】解：（1）依题又，则，故当即时，f（x）max=3（2）由（1）知，由sinbsinc=sin2a即bc=a2，又a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc，则b2+c2bc=bc即（bc）2=0，故bc=0【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质是对三角函数基础知识的综合考查18如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（1）求证：pcad； （2）求点d到平面pam的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）取ad中点o，由题意可证ad平面poc，可证pcad；（2）点d到平面pam的距离即点d到平面pac的距离，可证po为三棱锥pacd的体高设点d到平面pac的距离为h，由vdpac=vpacd可得h的方程，解方程可得【解答】解：（1）取ad中点o，连结op，oc，ac，依题意可知pad，acd均为正三角形，ocad，opad，又ocop=o，oc平面poc，op平面poc，ad平面poc，又pc平面poc，pcad（2）点d到平面pam的距离即点d到平面pac的距离，由（1）可知poad，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面pad，po平面abcd，即po为三棱锥pacd的体高在rtpoc中，在pac中，pa=ac=2，边pc上的高am=，pac的面积，设点d到平面pac的距离为h，由vdpac=vpacd得，又，解得，点d到平面pam的距离为【点评】本题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题19已知等比数列an的公比q1，a1=2且a1，a2，a38成等差数列数列bn的前n项和为sn，且sn=n28n（）分别求出数列an和数列bn的通项公式；（）设cn=，若cnm，对于nn*恒成立，求实数m的最小值【考点】数列的求和；等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列与等比数列的通项公式可得an，再利用递推式可得bn（ii），由cnm，对于nn*恒成立，即mcn的最大值，作差cn+1cn对n分类讨论即可得出【解答】（）解：a1=2且a1，a2，a38成等差数列，2a2=a1+a38，化为q22q3=0，q1=3，q2=1，q1，q=3，当n=1时，当n2时，当n=1时，219=b1满足上式，（），若cnm，对于nn*恒成立，即mcn的最大值，当cn+1=cn时，即n=5时，c5=c6，当cn+1cn时，即n5，nn*时，c1c2c3c4c5，当cn+1cn时，即n5，nn*时，c6c7c8c9，cn的最大值为，即m的最小值为【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1=ac=cb=（1）证明：bc1平面a1cd；（2）求异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）当ab=时，求三棱锥ca1de的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连接ac1与a1c相交于点f，连接df，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：dfbc1，再利用线面平行的判定定理即可证明（2）由（1）可得a1df或其补角为异面直线bc1和a1d所成角不妨取ab=2，在a1df中，由余弦定理即可得出（3）利用面面垂直的性质定理可得：cd平面abb1a1，利用=sbde可得，再利用三棱锥ca1de的体积v=即可得出【解答】（1）证明：连接ac1与a1c相交于点f，连接df，由矩形acc1a1可得点f是ac1的中点，又d是ab的中点，dfbc1，bc1平面a1cd，df平面a1cd，bc1平面a1cd；（2）解：由（1）可得a1df或其补角为异面直线bc1和a1d所成角不妨取ab=2，=1，a1d=，=1在a1df中，由余弦定理可得：cosa1df=，a1df（0，），a1df=，异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）解：ac=bc，d为ab的中点，cdab，平面abb1a1平面abc=ab，cd平面abb1a1，cd=sbde=，三棱锥ca1de的体积v=1【点评】本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k3）xk+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x01，e使f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设kz，当x1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可（2）由于存在x01，e，使f（x0）g（x0），则kx02lnx0a，只需要k大于h（x）=的最小值即可（3）分离参数，得到k，构造函数，求函数的最小值即可【解答】解：（1）f（x）=1+lnx，f（e）=1+lne=k3k=5，（2）由于存在x01，e，使f（x0）g（x0），则ax02x0lnx0，a设h（x）=则h（x）=，当x1，e时，h（x）0（仅当x=e时取等号）h（x）在1，e上单调递增，h（x）min=h（1）=0，因此a0（3）由题意xlnx（k3）xk+2在x1时恒成立即k，设f（x）=，f（x）=，令m（x）=xlnx2，则m（x）=1=0在x1时恒成立所以m（x）在（1，+）上单调递增，且m（3）=1ln30，m（4）=2ln40，所以在（1，+）上存在唯一实数x0（x0（3，4）使m（x）=0当1xx0时m（x）0即f（x）0，当xx0时m（x）0即f（x）0，所以f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，f（x）min=f（x0）=x0+2（5，6）故kx0+2又kz，所以k的最大值为