初中数学易错题错因分析及纠错策略.pdf

投 稿邮 箱 s x j k v lp 1 6 3 c o rn 数学教学通讯 初等教育 试题研究 试 题探究 初中数学易错题错因分析及纠错策略 摘要 关键词 刘 发 安徽安庆市望江县长岭中学2 4 6 2 7 0 初中数学易错题致误的主要原 因有审题不清 概念 性质模 糊 忽视公式 定 理成立的 条件 违反证明规则 不能正确运用数学思想方法 对似 曾相识的 问题进行负迁移 本文基于以上错误提 出了纠错策略 以期抛砖引玉 易错题 错 因分析 纠错策略 学 生在解题过程 中 经常会 出现这 样或那 样的错误 是数学认识过程 中的 正常现象 但也 是可以避 免的 义务教 育数学课程标准 2 0 1 l 版 明确指出 耐心 地 引 导学 生 分析 产生 错 误 的原 凶 并鼓励学 生 自己去 改正 从 而增强 学习数学的兴趣和信心 白2 0 1 3 年l 2 月起 笔者 部分教师一同进行 安庆 市2 0 1 3 年度教育科学规划 初中数学易 错题 成因分析及纠错策略 的研究 的课 题 研究 深深 感受 到 对学 生的解 题错 误既要及 时纠正 更要研 究错误 要研 究错误的原因 采取合理的纠错策略 使数学 课堂朝着有效 高效和有利于学 生发展的轨道上迈进 这是每一位数学 教 师值得研 究的问题 笔者结合 自己的 教学实践 谈一谈易错题常见错误分析 及 纠错 策略 以期 抛砖 引玉 供大 家研 究和讨论 审题不清 通常意义上的审题不清 从认知心 理学的角度来说 它是由瞬时记忆容量 有限 人一 次只适合执行一项需要认知 参与的任务 引起的 简单的理解就是 一 心不能二J l j 当学生遇到综合性的练 习时 信息会同时进入大脑 如果学生 没有将信息排序处理的技能 必然导致 审题不清 例 1 如图 1 所示 在四边 形AB C D 中 E F G H分 别 是 A B B D C D A C的 巾点 要使四边形E F G H是菱形 则四边 形A B C D 还应满足的一个条件是 图1 错误答案 AC 肋 错 因分析 很 多基 础较 好的 同学到 了中考复习阶段 由于审题不清 一看 到此题 就误认为该题是 中点 四边形 E F G 日分 别 是A B C D 各 边的 中点 因 而EF G H是 平 行 四边 形 要 使 四 边 形 E F G H是菱形 则应满足的一个条件是 对角线相等 即 l C B D 这样才能保证 平行四边形E F G H有一组邻边 相等 其 实本题 中的E F G H不是 中点四 边形 根 1 据中位线定理得G H 4 D G H 4 D 2 1 E F A D E F 一 D 敢 G H E F E 2 G H E 所 以四边 形E 心 H是平行四边 形 接着逆向推理使平行四边形E b UH 是菱形应满足的一个条件 例2制 作一 种产 品 需 将 原材 料 加 热 达 到6 0 后 再进 行 操 作 已知 该材料加热 时温度 o C 与时 间 m i n 成一 次 函数关 系 停止 加热进 行操 作 时 温度y 与时间 mi n 成反比例 蛹数关 系 如 2 所示 已知 陔材料 在 加热前 的温度 为 1 5 C 加热5 m i n 后 温 度达 6 0 C 6 0 5 0 40 30 20 l 5 I o 0 5 l0 l 5 j 图2 1 分 别求 出该材料加热 和停止 J J l 热进行操作U C y 与 的函数关 系 2 根据二 r 艺要求 当材料温度低 于3 0 时 必须 停止操 作 那 么从 开始 操作到停止操作 共经历 了多长时间 错误答案第 1 问的正确答案是 一 次 函数 的表达 式为y 9 x l 5 0 5 反比例函数的表达式为v x 5 对 于 第 2 问 很 多基 础较好 的 学 试题研究 试题探究 数学教学通讯 初等教育 投稿邮箱 s x j k v i p 1 63 c o m 生犯 了如 下 错 误 把 y 3 0 f y 3 0 0 求得 1 0 所 以从开 始操 作到 停止操 作 共 经历 了l 0 分钟 错因分析 错解的根 本原 因是没有 审清题 意 错 解求的是 从 开始加 热到 停止操作所 经历 的时间 而题 目要求 的是 从开始操 作到停止操作所经历的 时间 所以它不 包括开始加热到进行 操 作 的 5 分钟 纠错 策略 1 重视 审题 审 题能 力包括阅读 理解 分析与思考等多种 能力 是影响学 生发展的 重要 的非智 力 因素之 一 逐 渐 帮助 学生形 成 审题的 习惯和 意识 是培养 学生良好 审题能 力 的基础 2 培养学生审题时细心的习 惯 要齐成好的审题 习惯 首先要求学 生在审题时一定要心细 对于题 目中的 任意一 个信 息 一个条件都 不能忽略 3 教 会学生一定 的审题方法 如 让 学生在读题 时学会勾画 出关键信息 这 样可以避免遗漏条件或看错条件 画出草图 让题设一 目了然 用检 查避 免审题 失误 教 师要 在 平时 的教 学过程中帮助学生养成检查的习惯 提 醒他 们在检 查 时不要 只 看 自己做 的每 一 步 要 学会将题 目中的条件 与 自己的 解题一一对应 使检 查既快速 叉有效 概念 性质模糊 如果我们将数学这 门学科 比作 高 楼大 J I 5 么数学 概念和性 质就是构 成这螺大厦的砖石和钢筋框架 李邦河 院士所说 数学根本 是玩概 念的 不 是玩技巧 技巧 不足道也 例 3 计 算 s in 6 0 I 0 j 4 厂 f 8 l 2 c o s 4 5 错误答 案 原式 0 一 I 4 3 一 9 箜一 4 9 错因分析 错解对零指数 负整数 指数 绝 对值 的概 念模 糊不清 导致计 算错误 例4在函 z fl j INg a E p x P 2 J 1 曲 j 个点 且 5 2 X 2 0 则 的大小关 系为 A 2 I B l 3 C 2 Y 3 3 f D y 2 勺 0 此函数 图象在 第一 三 象限 且 随 的增 大而减小 所 以错误地 选择 了 A 错解忽视 了反比例 函数的增减性 必 须在每 个象限 内 不在 同一 象限 内不能 用此性 质 由 l 0 可判 断 0 2 0 再在第三象限内 根据函 数 的增减性即可判断 试题探究 1 图3 等 所以AD为E F 的 中垂线 和 线段两 个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上 错因分析以上证法表 面上看干脆 利 落 但是 由DE D F 只可 以推 出点D为 线段 f 冲 垂线上 的点 而过 点D的直线 有无数条 不能保证 点 也在 线段E F 的 中垂线上 故不能说 明A D为E F 的 中垂 线 犯 了 虚假论据 的错误 正确 答 案因为A D为 c的平 分 线 DE上A B D F上AC 所 以D E D F 角平分 线 上 的点 到 角两 边 的距离 相 等 所 以R t AAE D R l AAI D 所 以 AE A 叉因为 D为 C 的平 分线 即 D 为 E A肭 平分线 所以A D为E F 的中垂线 等腰三角形三线合一 例7如图4 所示 在0O 中 A B 为直 径 A C 是 弦 I4 3 0 延长A B 至点 D 使B D O B 连 q D C 求 证 D C 是 o 的 切线 图 4 错误答 案 连结O C B C 因 为O A OC 4 3 0 所 以 BOC 6 0 又D曰 O C 所 以AB O C 是等边 三 角形 从 而 B CO O BC 6 0 因为BD OB 所 以 C B 是R t AO C D 斜 边上的 中线 所 以C B 1 n 所 以LB CD Z OBC 3 0 故 0C D 2 6 0 3 0 9 0 即 C 是 0 r J 的切线 错因分析 错解错在 C B 是R t AO C D 斜 边上 的 中线 这一 步 试 想 如 果 O C D是直 角三 角形 O D为斜边 也 即 是C D上O C 那么D C岂不是 已经是 00 的切 线 了 而本题 的论题就是 DC 是 O0的切 线 因此 这里 不知 不觉地把 论题 即要证明的结论 3成论据 即已 知条件 使用 了 所 以上述 解 答犯 了 循 环论证 的错误 正确答 案 连 结O C B C 因为O A O C 3 0 所 以LB O C 6 0 又O B O C 所 以aB O C 是 等边 三角形 从 而 B CO OBC 6 0 OB B C 因 为B D 1 D 所 以 B C 所 以 B C D 2 OBC 3 0 故 OC O 6 0 3 0 9 0 即D C 是 0O的切 线 纠错策略 1 教学中要充分利用 学生解题错误的生成资源 现场辨析 纠正 适时列举反例 引导学生克服想 当然的毛病 逐渐养成言之有理 推理 有据的良好习惯 2 在几何教学中 教 师应 多加注意 不仅要 让学生掌握定理 的 内容 还要 熟悉其证 明方法和主要铱 据 把定理的来龙去脉搞清楚 就能减 少犯 循 环 论 证 的错 误 不能正确运用数学思想方法 新课标把过去的 双基 发 展为 四 基 即基础知识 基本技 能 基本思 想 和基本活动经验 若把数学知识比喻为 金 子 那 么数 学 思 想 方 法 就 是 点 金 术 数学思想方法是数学知识的精髓 它蕴涵在数学知识发生 发展和应用的 全过程 是数学 发展 的内在动 力 是知 识转化为能力的桥梁 许 多学生对于课 本上的内容能看懂 老师讲的知识能听 懂 但到了考场解题时却存在很多障 碍 其 主要 原因是不能灵活地运用数学 思想方法解题 例8 已知关于 的函数 m一 2 L 6 一 1 的图象与 轴总有交点 求m的取值 范 围 错 误答 案由题 意得 一 6 一 4 X n 一 2 X 一 1 0 解得m 一 7 错 因分析 上述解法误认 为函数y m一 2 X 2 6 x l 一定是二 次函数 另外 错解误认 为有 交点是指两个交点 事 实上 m的值未确 定 该函数 既可能是 二 次 函 数 也 可 能 是 一 次 函数 交 点 可 能只有一个 也可能有两个 因此 错 误 的主要原 因是缺乏分类意识 例9 如 图5 所 示 4 B C 是边 长 为 l 的正 三 角形 A B与 A C所 对 的 圆心 角均 为1 2 0 则罔中 阴影部分 的 面 积 为 C 图 5 错误答案 学生无 处着手 错 因分 析多数 学 生解 错 的 原 因 是 没 有 想到运 用 转化 和 整体 的 思想 没有想到所求的阴影部分的面积可通 过分割 旋转 化零为整进行思考 事 实上 如 图6 所示 可 先将 阴影 的 上 方 部 分分割 成两个 弓形 再 将这 两个 弓 形 分 别按 顺 时针 及逆 时针 绕 点O旋转 l 2 0 后 阴影部分便合 并成 aO B C 它 的面 积 等 于 AB C面 积 的 三 分之 一 显 然根据 已知 奈件 容 易求 出 A B C 的 面 积 图6 纠错 策略 1 学生数 学思 想方法 的形成是一 个潜移默化 的过程 是在 多 次理解和应 用的基 础上 形成 的 需要教 师精心设计教学 把握好教学过程 教 学要反映数学发展规律 遵循思想方法 的教 学原 则 深入挖掘教材 中的思 想方 法 引导学生去体会 理解 掌握 使 学 生学会思考 分析 解决问题 形成 良好 的思维品质 2 教 师在平 时备课 中必 须多做题 多思考 多总结 这样 才能找 出规律性 的东西 特别是对 于综合性较 强的题 目 教 师应在充分理解题意 并全 面思考的基础上 概括出其中的数学思 想方法 从而有针对性地加强对 学生练 习的指 导 通过学生解题和教 师的指导 形成能力 达到学生对数 学思 想方 法的 灵活运 用 对似曾相识的问题进行负迁移 负迁移是一种心理现象 其表现为 过 去 获得 的知识 对新知 识 的学 习起阻 碍作用 使新 知识 的学 爿发生 难 在复习沪科教 科书第2 1 章 二 次函 5 3 试题研究 试题探究 数学教学通讯 初等教育 投稿邮 鹈 s Ik v 1 p 1 6 3 数与反比例函数 时 我H J 了下面一道 学们 你们曾做过与此有点类似而且有 负迁移 著名俄国教育家乌中斯基说 试题给同学们做 要求当堂完成 例设 陷阱 的题 目吗 很快就有同学说到上 过 比较是一切理解和思维的基础 我 是 疗 2 一 4 n x 2 m 2 3 m一 2 O f1 4 J 两 半 年曾做过这样一题 们正 是通过 比较 来了解世 界的一切 个实数根 优为何值时 有最小 已知实数n 6 满足等式 6 4 数学中许多内容上或形式上相近似的 值 值是多 少 b 2 4 2 若设 f I 2 6 则 概念 公 式 法 则 往往是许 多学生的思 f 乎意料 全班正确解答的只有一 当时 不少同学的答案是 3 V 维弱点 比如 学习完全平方公式 6 人 近 分之一 同学 的解答是 仔 细一 想 n 6 岂能 为 负 可 是 上例 a Z 2 a b b 时 要 从不 同的 角度 出发 让 由一元二次方程根与 系数的关系 的最小值是一个正数 问题到底出 学生加以理解 如 从数的角度揭示公 得 Y l 2 m l 2 2 m 2 3m一 2 在哪儿 其实上述错误解题过程是由 式的 实质 n 6 f t b n 原认知 的狭隘性 导致的 把上半年类 2 a b 6 运 用的 不是 乘 法分配 律 而是 十 l 2 hl 2 mY 2 x 似问题的解法 迁移 到 了本学期相关 多项式乘 多项式 从形的角度解释 2 m 一3m 2 2 n2 3 m 2 的题目 没有注意到问题的特殊性 当 公式的实质 让学生感受公式所表示的 n 意义 引导学生寻找 a b 6 这 2 m 三时 原方程 为2 一 3 1 1 0 此方 2 3 J i7 因 此 当 m 寻 时 4 8 种 错 误 的 原 因 与 正 确 的 公 式 相 比 差 程 的 一 3 一 4 2 一 1 1 一 2 10 应在此范围内考虑 机 罢 a b x 2 a x 2 b x 2 等进行对比 们见过类似题吗 以七解法的同学巾大 的最小值 D 部分异口同声地说 见过 八年级下册 纠错策略 1 培养学生寻找事物 综上所述 解题中出现的错误远不 教科书有一道非常类似的题目 接着我 间相似性 同一性的习惯 实践表明 止这些 且这些错误还常常交织在一起 马 j 找到这一题 凡是 先前学 习的知识 和技 能同后 来学 相应地 造成的原因也是复杂的 纠正锱 2 0 1 4 年 1 月 第1 版 第 1 次 印刷 沪科 习的知 识和技 能之 间有 着相 同或 相似 误不是一朝一夕所能解决 的 也没有一 八 年级下册A 组第6 题 设 是方程 的地 方 总有 负迁 移的现 象发 生 因 个固定的模式 只有 教师根据错误产生 hz 5 一 7 0 的两个实数根 不解方程 此 教 师在教 学时要善 于引导学生发现 的各种成因 结合学生 的心理特征和t 求代数式 的值 眼前要 解 答的 问题 与 已解过 试题之 间 知规律 从学生 的 学 和教 师的 教 陌道题的解法的确类似 当同学们 的共同点和不同点 2 帮助学生对易 个不同层面不断地研究纠错策略 才毹 对错误解法百思不得其解时 我又问同 混淆的知识进行对比分析 化解学生的 有效地纠正学生的错误 上接 第 3 5页 线A 和直线B C的解 析式 以及经过 口 C 点的抛物线 解析式 设 计9 在 双垂直 图形 图7 中 以 A B 所在的直线为 轴 以斜边上的高所 在的直线为Y 轴 建立平面直角坐标 系 已