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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 理1.双曲线定义平面内到两个定点f1,f2的距离的差的绝对值等于常数(小于f1f2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点f1,f2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合pm|mf1mf2|2a,f1f22c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2af1f2时,p点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yrxr,ya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点a1(a,0),a2(a,0)a1(0,a),a2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴,它的长a1a22a;线段b1b2叫做双曲线的虚轴,它的长b1b22b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0,cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()(5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()1.(教材改编)若双曲线1 (a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a,又a2b2c2,5a2c2.e25,e.2.已知双曲线c1:1(a0,b0)与双曲线c2:1有相同的渐近线,且c1的右焦点为f(,0),则a_,b_.答案12解析与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为,即1.由题意知c,则4165,则a21,b24.又a0,b0,故a1,b2.3.双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为_.答案y2x解析方程化为:x21,依题意得: 2,m.双曲线方程为x21,其渐近线为x20,即y2x.4.已知f为双曲线c:x2my23m(m0)的一个焦点,则点f到c的一条渐近线的距离为_.答案解析双曲线c的标准方程为1(m0),其渐近线方程为yx,即yx,不妨选取右焦点f(,0)到其中一条渐近线xy0的距离求解,得d.5.(教材改编)经过点a(3,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0),把点a(3,1)代入,得a28,故所求方程为1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1双曲线定义的应用例1已知圆c1:(x3)2y21和圆c2:(x3)2y29,动圆m同时与圆c1及圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示,设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件,得mc1ac1ma,mc2bc2mb,因为mamb,所以mc1ac1mc2bc2,即mc2mc1bc2ac12,所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于c1c26.又根据双曲线的定义,得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大,与c1的距离小),其中a1,c3,则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)虚轴长为12,离心率为;(2)焦距为26,且经过点m(0,12);(3)经过两点p(3,2)和q(6,7).解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0).由题意知,2b12,e.b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点m(0,12),m(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12.又2c26,c13,b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法:(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值.与双曲线1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为 (0).(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.(1)(2015课标全国)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_.(2)设椭圆c1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线c2的标准方程为_.答案(1)y21(2)1解析(1)由双曲线渐近线方程为yx,可设该双曲线的标准方程为y2(0),已知该双曲线过点(4,),所以()2,即1,故所求双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5,0),f2(5,0),设曲线c2上的一点p,则|pf1pf2|8.由双曲线的定义知:a4,b3.故曲线c2的标准方程为1.即1.题型二双曲线的几何性质例3(1)过双曲线1(a0,b0)的一个焦点f作一条渐近线的垂线,垂足为点a,与另一条渐近线交于点b,若2,则此双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xoy中,双曲线c1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线c2:x22py(p0)交于点o,a,b.若oab的垂心为c2的焦点,则c1的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)如图,2,a为线段bf的中点,23.又12,260,tan 60,e21()24,e2.(2)由题意,不妨设直线oa的方程为yx,直线ob的方程为yx.由得x22p x,x,y,a.设抛物线c2的焦点为f,则f,kaf.oab的垂心为f,afob,kafkob1,1,.设c1的离心率为e,则e21.e. 思维升华(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线1(a0,b0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015重庆改编)设双曲线1(a0,b0)的右焦点是f,左,右顶点分别是a1,a2,过f作a1a2的垂线与双曲线交于b,c两点,若a1ba2c,则该双曲线的渐近线的斜率为_.(2)如图,f1,f2是椭圆c1:y21与双曲线c2的公共焦点,a,b分别是c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的离心率是_.答案(1)1(2)解析(1)由题意知,双曲线1的右焦点f(c,0),左,右顶点分别为a1(a,0),a2(a,0),易求b,c,则ka2c,ka1b,又a1b与a2c垂直,则有ka1bka2c1,即1,1,a2b2,即ab,渐近线斜率k1.(2)f1f22.设双曲线的方程为1.af2af14,af2af12a,af22a,af12a.在rtf1af2中,f1af290,afaff1f,即(2a)2(2a)2(2)2,a,e.题型三直线与双曲线的综合问题例4(1)(2015四川)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于a,b两点,则ab_.答案4解析右焦点f(2,0),过f与x轴垂直的直线为x2,渐近线方程为x20,将x2代入渐近线方程得y212,y2,a(2,2),b(2,2),ab4.(2)若双曲线e:y21(a0)的离心率等于,直线ykx1与双曲线e的右支交于a,b两点.求k的取值范围;若ab6,点c是双曲线上一点,且m(),求k,m的值.解由得故双曲线e的方程为x2y21.设a(x1,y1),b(x2,y2),由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于a,b两点,故即所以1k.故k的取值范围是k|1k.由(*)得x1x2,x1x2,ab26,整理得28k455k2250,k2或k2,又1k,k,所以x1x24,y1y2k(x1x2)28.设c(x3,y3),由m(),得(x3,y3)m(x1x2,y1y2)(4m,8m).点c是双曲线上一点.80m264m21,得m.故k,m.思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.已知双曲线c的两个焦点分别为f1(2,0),f2(2,0),双曲线c上一点p到f1,f2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线c的标准方程;(2)经过点m(2,1)作直线l交双曲线c的右支于a,b两点,且m为ab的中点,求直线l的方程;(3)已知定点g(1,2),点d是双曲线c右支上的动点,求df1dg的最小值.解(1)依题意,得双曲线c的实半轴长为a1,半焦距为c2,所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上,所以双曲线c的标准方程为x21.(2)设a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为m(2,1)为ab的中点,所以所以12(x1x2)2(y1y2)0,即kab6,故ab所在直线l的方程为y16(x2),即6xy110.(3)由已知,得df1df22,即df1df22,所以df1dgdf2dg2gf22,当且仅当g,d,f2三点共线时取等号.因为gf2,所以df2dg2gf222,故df1dg的最小值为2.12.忽视“判别式”致误典例(14分)已知双曲线x21,过点p(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于a、b两点,且点p是线段ab的中点?易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑“判别式”.致使有的考生思维定势的原因,任何情况下都没有考虑“判别式”,导致解题错误.规范解答解设点a(x1,y1),b(x2,y2)在双曲线上,且线段ab的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.2分设经过点p的直线l的方程为y1k(x1),即ykx1k.4分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20).7分x0.由题意,得1,解得k2.10分当k2时,方程成为2x24x30.162480),这样可避免讨论和复杂的计算;也可设为ax2by21 (ab0,b0)的渐近线方程是yx,1 (a0,b0)的渐近线方程是yx.4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.a组专项基础训练(时间:30分钟)1.(2015广东)已知双曲线c:1的离心率e,且其右焦点为f2(5,0),则双曲线c的方程为_.答案1解析因为所求双曲线的右焦点为f2(5,0)且离心率为e,所以c5,a4,b2c2a29,所以所求双曲线方程为1.2.设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,ab为c的实轴长的2倍,则c的离心率为_.答案解析设双曲线的标准方程为1(a0,b0),由于直线l过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为:xc或xc,代入1得y2b2(1),y,故ab,依题意4a,2,e212,e.3.(2014江西改编)过双曲线c:1的右顶点作x轴的垂线,与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a,o两点(o为坐标原点),则双曲线c的方程为_.答案1解析由得a(a,b).由题意知右焦点到原点的距离为c4,4,即(a4)2b216.而a2b216,a2,b2.双曲线c的方程为1.4.(2015课标全国改编)已知m(x0,y0)是双曲线c:y21上的一点,f1,f2是c的两个焦点,若0,则y0的取值范围是_.答案解析由题意知a,b1,c,f1(,0),f2(,0),(x0,y0),(x0,y0).0,(x0)(x0)y0,即x3y0.点m(x0,y0)在双曲线上,y1,即x22y,22y3y0,y00,b0)的左,右焦点,双曲线上存在一点p使得pf1pf23b,pf1pf2ab,则该双曲线的离心率为_.答案解析不妨设p为双曲线右支上一点,pf1r1,pf2r2.根据双曲线的定义,得r1r22a,又r1r23b,故r1,r2.又r1r2ab,所以ab,解得(负值舍去),故e.6.(2015北京)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0,则a_.答案解析双曲线y21的渐近线为y,已知一条渐近线为xy0,即yx,因为a0,所以,所以a.7.已知双曲线1的一个焦点是(0,2),椭圆1的焦距等于4,则n_.答案5解析因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为1,即a23m,b2m,所以c23mm4m4,解得m1.所以椭圆方程为x21,且n0,椭圆的焦距为4,所以c2n14或1n4,解得n5或3(舍去).8.若点o和点f(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点,点p为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为_.答案32,)解析由条件知a21224,a23,双曲线方程为y21,设p点坐标为(x,y),则(x,y),(x2,y),y21,x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(p为右支上任意一点),32.9.(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点a,b.若点p(m,0)满足papb,则该双曲线的离心率是_.答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得a(,),由得b(,),所以ab的中点c的坐标为(,).设直线l:x3ym0(m0),因为papb,所以pcl,所以kpc3,化简得a24b2.在双曲线中,c2a2b25b2,所以e.10.已知椭圆c1的方程为y21,双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点,而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点.(1)求双曲线c2的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b,且2(其中o为原点),求k的取值范围.解(1)设双曲线c2的方程为1 (a0,b0),则a23,c24,再由a2b2c2,得b21.故c2的方程为y21.(2)将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点,得k2且k22,得x1x2y1y22,2,即0,解得k23.由得k21,故k的取值范围为.b组专项能力提升(时间:20分钟)11.(2015重庆改编)设双曲线1(a0,b0)的右焦点为f,右顶点为a,过f作af的垂线与双曲线交于b,c两点,过b,c分别作ac,ab的垂线,两垂线交于点d,若d到直线bc的距离小于a,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_.答案(1,0)(0,1)解析由题作出图象如图所示.由1可知a(a,0),f(c,0).易得b,c.kab,kcd.kac,kbd.lbd:y(xc),即yx,lcd:y(xc),即yx.xdc.点d到bc的距离为.aac,b4b2,01.01.双曲线的渐近线斜率的取值范围是(1,0)(0,1).12.设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使a1b1a2b2,其中a1、b1和a2、b2分别是这对直线与双曲
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