（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 理1.双曲线定义平面内到两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于f1f2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点f1，f2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合pm|mf1mf2|2a，f1f22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2af1f2时，p点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长a1a22a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长b1b22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()1.(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2.已知双曲线c1：1(a0，b0)与双曲线c2：1有相同的渐近线，且c1的右焦点为f(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.3.双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为_.答案y2x解析方程化为：x21，依题意得： 2，m.双曲线方程为x21，其渐近线为x20，即y2x.4.已知f为双曲线c：x2my23m(m0)的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为_.答案解析双曲线c的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为yx，即yx，不妨选取右焦点f(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.5.(教材改编)经过点a(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点a(3，1)代入，得a28，故所求方程为1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1双曲线定义的应用例1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件，得mc1ac1ma，mc2bc2mb，因为mamb，所以mc1ac1mc2bc2，即mc2mc1bc2ac12，所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于c1c26.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点m(0,12)；(3)经过两点p(3,2)和q(6，7).解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值.与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 (0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.(1)(2015课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_.(2)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为_.答案(1)y21(2)1解析(1)由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5,0)，f2(5,0)，设曲线c2上的一点p，则|pf1pf2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线c2的标准方程为1.即1.题型二双曲线的几何性质例3(1)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点f作一条渐近线的垂线，垂足为点a，与另一条渐近线交于点b，若2，则此双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线c1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x22py(p0)交于点o，a，b.若oab的垂心为c2的焦点，则c1的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)如图，2，a为线段bf的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.(2)由题意，不妨设直线oa的方程为yx，直线ob的方程为yx.由得x22p x，x，y，a.设抛物线c2的焦点为f，则f，kaf.oab的垂心为f，afob，kafkob1，1，.设c1的离心率为e，则e21.e. 思维升华(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015重庆改编)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是f，左，右顶点分别是a1，a2，过f作a1a2的垂线与双曲线交于b，c两点，若a1ba2c，则该双曲线的渐近线的斜率为_.(2)如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是_.答案(1)1(2)解析(1)由题意知，双曲线1的右焦点f(c,0)，左，右顶点分别为a1(a,0)，a2(a,0)，易求b，c，则ka2c，ka1b，又a1b与a2c垂直，则有ka1bka2c1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.(2)f1f22.设双曲线的方程为1.af2af14，af2af12a，af22a，af12a.在rtf1af2中，f1af290，afaff1f，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.题型三直线与双曲线的综合问题例4(1)(2015四川)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于a，b两点，则ab_.答案4解析右焦点f(2,0)，过f与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，a(2,2)，b(2，2)，ab4.(2)若双曲线e：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线e的右支交于a，b两点.求k的取值范围；若ab6，点c是双曲线上一点，且m()，求k，m的值.解由得故双曲线e的方程为x2y21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于a，b两点，故即所以1k.故k的取值范围是k|1k.由(*)得x1x2，x1x2，ab26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.设c(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m).点c是双曲线上一点.80m264m21，得m.故k，m.思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知双曲线c的两个焦点分别为f1(2,0)，f2(2，0)，双曲线c上一点p到f1，f2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线c的标准方程；(2)经过点m(2,1)作直线l交双曲线c的右支于a，b两点，且m为ab的中点，求直线l的方程；(3)已知定点g(1,2)，点d是双曲线c右支上的动点，求df1dg的最小值.解(1)依题意，得双曲线c的实半轴长为a1，半焦距为c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上，所以双曲线c的标准方程为x21.(2)设a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为m(2,1)为ab的中点，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kab6，故ab所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.(3)由已知，得df1df22，即df1df22，所以df1dgdf2dg2gf22，当且仅当g，d，f2三点共线时取等号.因为gf2，所以df2dg2gf222，故df1dg的最小值为2.12.忽视“判别式”致误典例(14分)已知双曲线x21，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a、b两点，且点p是线段ab的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”.致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误.规范解答解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.2分设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.4分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20).7分x0.由题意，得1，解得k2.10分当k2时，方程成为2x24x30.162480)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为ax2by21 (ab0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.a组专项基础训练(时间：30分钟)1.(2015广东)已知双曲线c：1的离心率e，且其右焦点为f2(5,0)，则双曲线c的方程为_.答案1解析因为所求双曲线的右焦点为f2(5,0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1.2.设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，ab为c的实轴长的2倍，则c的离心率为_.答案解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故ab，依题意4a，2，e212，e.3.(2014江西改编)过双曲线c：1的右顶点作x轴的垂线，与c的一条渐近线相交于点a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a，o两点(o为坐标原点)，则双曲线c的方程为_.答案1解析由得a(a，b).由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线c的方程为1.4.(2015课标全国改编)已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则y0的取值范围是_.答案解析由题意知a，b1，c，f1(，0)，f2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点p使得pf1pf23b，pf1pf2ab，则该双曲线的离心率为_.答案解析不妨设p为双曲线右支上一点，pf1r1，pf2r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e.6.(2015北京)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.答案解析双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.7.已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.答案5解析因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去).8.若点o和点f(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_.答案32，)解析由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设p点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(p为右支上任意一点)，32.9.(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a，b.若点p(m,0)满足papb，则该双曲线的离心率是_.答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得a(，)，由得b(，)，所以ab的中点c的坐标为(，).设直线l：x3ym0(m0)，因为papb，所以pcl，所以kpc3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.10.已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点.(1)求双曲线c2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且2(其中o为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线c2的方程为1 (a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故c2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.b组专项能力提升(时间：20分钟)11.(2015重庆改编)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，右顶点为a，过f作af的垂线与双曲线交于b，c两点，过b，c分别作ac，ab的垂线，两垂线交于点d，若d到直线bc的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_.答案(1,0)(0,1)解析由题作出图象如图所示.由1可知a(a,0)，f(c,0).易得b，c.kab，kcd.kac，kbd.lbd：y(xc)，即yx，lcd：y(xc)，即yx.xdc.点d到bc的距离为.aac，b4b2，01.01.双曲线的渐近线斜率的取值范围是(1,0)(0,1).12.设双曲线c的中心为点o，若有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2，使a1b1a2b2，其中a1、b1和a2、b2分别是这对直线与双曲