辽宁省丹东市五校协作体高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

辽宁省丹东市五校协作体2015届高 三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1（5分）已知全集u=0，1，2，3，4，5，6，集合a=0，1，2，3，b=3，4，5，则（ua）b=（）a3b4，5c4，5，6d0，1，22（5分）已知条件p：x1，q：，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知，且，则tan=（）abcd4（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）a3b4c5d65（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）abcd6（5分）设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）abcd7（5分）已知a=（sin）2dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）abcd8（5分）抛物线y2=2px与双曲线有相同焦点f，点a是两曲线交点，且afx轴，则双曲线的离心率为（）abcd9（5分）若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点p（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）a2bc1d210（5分）已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），若f（1）2，f（7）=，则实数a的取值范围为（）ab（2，1）cd11（5分）如图，平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）ab3cd212（5分）过抛物线y2=4x（p0）的焦点作两条互相垂直的弦ab、cd，则=（）a2b4cd二、填空题：（每小题5分，共20分）13（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z=14（5分）已知m（x，y）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为15（5分）已知g点是abc的重心，过g点作直线与ab、ac两边分别交于m、n两点，设，则=16（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知，且，则abc的面积是三、解答题：（共5小题，共70分）17（12分）已知数列an满足an0，a1=，an1an=2anan1（n2，nn*）（1）求证：是等差数列；（2）证明：a12+a22+an218（12分）如图，在三棱柱dot=2dmb中，已知bmc=30，ab=bc=1，bb1=2，（1）求证：c1b平面abc；（2）设（01），且平面ab1e与bb1e所成的锐二面角的大小为30，试求的值19（12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生abcde数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以x表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量x的分布列及数学期望e（x）（ 附：回归方程中，）20（12分）在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由21（12分）设函数f（x）=ax（a+1）ln（x+1），其中a0（）求f（x）的单调区间；（）当x0时，证明不等式：；（）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-1：几何证明选讲22（10分）（a）如图，abc内接圆o，ad平分bac交圆于点d，过点b作圆o的切线交直线ad于点e（）求证：ebd=cbd（）求证：abbe=aedc选修4-4：极坐标与参数方程23已知曲线c1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=2sin（1）写出c1的极坐标方程和c2的直角坐标方程；（2）已知点m1、m2的极坐标分别为和（2，0），直线m1m2与曲线c2相交于p，q两点，射线op与曲线c1相交于点a，射线oq与曲线c1相交于点b，求的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式f（x）4|x1|；（）若f（x）1的解集为x|0x2，+=a（m0，n0）求证：m+2n4辽宁省丹东市五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1（5分）已知全集u=0，1，2，3，4，5，6，集合a=0，1，2，3，b=3，4，5，则（ua）b=（）a3b4，5c4，5，6d0，1，2考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：先求出集合a的补集，再求出交集即可解答：解：全集u=0，1，2，3，4，5，6，集合a=0，1，2，3，b=3，4，5，（ua）=4，5，6，（ua）b=4，5点评：本题考查了集合的交，补运算，属于基础题2（5分）已知条件p：x1，q：，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案解答：解：由x1，推出1，p是q的充分条件，由1，得0，解得：x0或x1不是必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题3（5分）已知，且，则tan=（）abcd考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 分析：通过诱导公式求出sin的值，进而求出cos的值，最后求tan解答：解：cos（+）=；sin=；又cos=tan=故答案选b点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用属基础题4（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）a3b4c5d6考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s的值，当s=2059，k=4时，不满足条件s100，退出循环，输出k的值为4解答：解：模拟执行程序框图，可得k=0s=0满足条件s100，s=1，k=1满足条件s100，s=3，k=2满足条件s100，s=11，k=3满足条件s100，s=2059，k=4不满足条件s100，退出循环，输出k的值为4故选：b点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题5（5分）某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：利用三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据求解组合体的体积即可解答：解：由三视图可知组合体是下部是半径为1的球体，上部是底面直径为2，母线长为2的圆锥，该几何体体积为两个几何体的体积的和，即：=故选：d点评：本题考查三视图求解组合体的体积，判断组合体的形状是解题的关键6（5分）设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）abcd考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可解答：解：由题意得，f（x）=2sin（）cos（）=2sin（），图象关于y轴对称，=k+，kz，又|，当k=1时，=满足题意，f（x）=2sin（）=2sin（）=2cos，由2k2k可得4k2x4k，函数f（x）的单调递增区间为4k2，4k，kz，当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为2，0，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为2，4，所以a、b、d不正确；c正确，故选：c点评：本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式，诱导公式，以及正弦、余弦函数的性质，属于中档题7（5分）已知a=（sin）2dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）abcd考点：二项式定理；微积分基本定理 专题：计算题；概率与统计分析：先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得关于x的一次项的系数解答：解：已知a=（sin）2dx=frac1cosx2dx= dx=（sinx）=，则（ax+）9 =，故它的展开式的通项公式为 tr+1=xr=2r9x92r令92r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为25=，故选a点评：本题主要考查求定积分的值，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题8（5分）抛物线y2=2px与双曲线有相同焦点f，点a是两曲线交点，且afx轴，则双曲线的离心率为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点，和af的长，设双曲线的左焦点为f，则af=2a+p，再由勾股定理，可得2a，由离心率公式计算即可得到解答：解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由于afx轴，则af=p，由题意可得，双曲线的2c=p，设双曲线的左焦点为f，则af=2a+p，由于aff为等腰直角三角形，则af=p=2a+p，则2a=（1）p，则双曲线的离心率为e=+1故选d点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题9（5分）若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点p（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）a2bc1d2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值解答：解：曲线y=的导数为：y=，在p（s，t）处的斜率为：k=曲线y=alnx的导数为：y=，在p（s，t）处的斜率为：k=曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点p（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e可得a=1故选：c点评：本题考查函数的导数，导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力10（5分）已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），若f（1）2，f（7）=，则实数a的取值范围为（）ab（2，1）cd考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由f（x）是定义在r上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围解答：解：f（x）是定义在r上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（7）=f（87）=f（1）=f（1），又f（1）2，f（7）=f（1），2，即，即解得a，故选：d点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答11（5分）如图，平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）ab3cd2考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：计算题；压轴题分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积解答：解：由题意平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，可知abac，所以bc 是外接球的直径，所以bc=，球的半径为：；所以球的体积为：=故选a点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键12（5分）过抛物线y2=4x（p0）的焦点作两条互相垂直的弦ab、cd，则=（）a2b4cd考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|ab|，|cd|即可求得答案解答：解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为，过焦点的弦，|ab|=，|cd|=+=，故选d点评：本题主要考查了抛物线的简单性质对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍二、填空题：（每小题5分，共20分）13（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则z=考点：复数代数形式的混合运算 专题：计算题分析：化简可得复数z，进而可得其共轭复数，然后再计算即可解答：解：化简得z=，故=，所以z=（）（）=故答案为：点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，化简复数z是解决问题的关键，属基础题14（5分）已知m（x，y）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为4考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划 专题：计算题；数形结合分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，得出a（ ，1），若m（x，y），则=+y，化为y=+z，由图可知，当直线y=+z过b（ ，2）时，z有最大值为：故答案为：4点评：本题考查了简单的线性规划，体现数形结合的解题思想方法，还融合了平面向量的数量积的简单计算15（5分）已知g点是abc的重心，过g点作直线与ab、ac两边分别交于m、n两点，设，则=3考点：平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：由g为三角形的重心，可得=（），结合，根据m，g，n三点共线，易得到x，y的关系式，整理后即可得到答案解答：解：g为三角形的重心，=（），=（）=（），=（）=+（y），与共线，存在实数，使得=，即（）=+（y），由向量相等的定义可得，消去可得x+y3xy=0，两边同除以xy整理得=3故答案为：3点评：本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，属中档题16（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知，且，则abc的面积是考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算 专题：解三角形分析：利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求出角a的大小，然后通过数量积化简求出三角形的面积解答：解：在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知，所以，化简可得：b2=a2+bcc2，可得cosa=，a=又，abcosc=5，即ab=5，25+a2c2=10，又b2=a2+bcc2，25=bc35，bc=60s=15故答案为：点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查分析问题解决问题的能力三、解答题：（共5小题，共70分）17（12分）已知数列an满足an0，a1=，an1an=2anan1（n2，nn*）（1）求证：是等差数列；（2）证明：a12+a22+an2考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过已知条件推出，即可判断是等差数列；（2）利用放缩法以及裂项法求解数列的和，即可证明a12+a22+an2解答：证明：（1）an1an=2anan1（n2）（n2）是以3为首项，2为公差的等差数列（6分）（2）由（1）知：（8分）=，=（12分）点评：本题考查数列与不等式的综合应用，等差数列的判断，放缩法以及裂项法的应用，考查分析问题解决问题的能力18（12分）如图，在三棱柱dot=2dmb中，已知bmc=30，ab=bc=1，bb1=2，（1）求证：c1b平面abc；（2）设（01），且平面ab1e与bb1e所成的锐二面角的大小为30，试求的值考点：梅涅劳斯定理；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明：abbc1，bcbc1，即可证明c1b平面abc；（2）以b为原点，bc，ba，bc1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ab1e的法向量，平面beb1的一个法向量，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求的值解答：（1）证明：因为侧面abbb1c1c，bc1侧面bb1c1c，故abbc1，（2分）在bcc1中，由余弦定理得，故，所以bcbc1，（4分）而bcab=b，bc1平面abc（6分）（2）解：由（1）可知，ab，bc，bc1两两垂直以b为原点，bc，ba，bc1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则b（0，0，0），a（0，1，0），b1（1，0，），c（1，0，0），c1（0，0，）=（1，0，），=（，0，），e（1，0，），则=（1，1，），=（1，1，）设平面ab1e的法向量为，则，=（，）是平面ab1e的一个法向量=（0，1，0）是平面beb1的一个法向量，平面ab1e与bb1e所成的锐二面角的余弦为|=两边平方并化简得225+3=0，=1或（舍去）（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键19（12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生abcde数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以x表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量x的分布列及数学期望e（x）（ 附：回归方程中，）考点：离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程 专题：概率与统计分析：（1）由已知求出x，y的平均数，从而求出物理分y对数学分x的回归方程（2）随机变量x的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量x的分布列及数学期望e（x）解答：解：（1）由已知得，（2分），物理分y对数学分x的回归方程为； （6分）（2）随机变量x的所有可能取值为0，1，2，（9分）故x的分布列为：x012p（12分）点评：本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用20（12分）在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由考点：轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设点p的坐标为（x，y），先分别求出直线ap与bp的斜率，再利用直线ap与bp的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点p的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点p的纵坐标的方程，解之即得解答：解：（）因为点b与a（1，1）关于原点o对称，所以点b得坐标为（1，1）设点p的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点p轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点p使得pab与pmn的面积相等，设点p的坐标为（x0，y0）则因为sinapb=sinmpn，所以所以即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点p使得pab与pmn的面积相等，此时点p的坐标为点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题21（12分）设函数f（x）=ax（a+1）ln（x+1），其中a0（）求f（x）的单调区间；（）当x0时，证明不等式：；（）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）由f（x）=ax（a+1）ln（x+1），其中a0，知函数f（x）的定义域为（1，+），且，由f（x）=0，得x=列表讨论，能求出f（x）的单调区间（）设（x）=ln（x+1），x0，+），则（x）=由此能够证明（）由（）知，将代入，得，由此能够证明解答：（）解：f（x）=ax（a+1）ln（x+1），其中a0，函数f（x）的定义域为（1，+），且，由f（x）=0，得x=当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表： x （1，） （，+） f（x） 0+ f（x） 极小值由上表知，当x（1，）时，f（x）0，函数f（x）在（1，）内单调递减；当x（）时，f（x）0，函数f（x）在（）内单调递增函数f（x）的增区间是（），减区间是（1，）（）证明：设（x）=ln（x+1），x0，+），对（x）求导，得（x）=当x0时，（x）0，所以（x）在0，+）内是增函数（x）（0）=0，即ln（x+1）0，同理可证ln（x+1）x，（）由（）知，将代入，得，即1，故点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-1：几何证明选讲22（10分）（a）如图，abc内接圆o，ad平分bac交圆于点d，过点b作圆o的切线交直线ad于点e（）求证：ebd=cbd（）求证：abbe=aedc考点：与圆有关的比例线段 专题：综合题；立体几何分析：（）根据be为圆o的切线，证明ebd=bad，ad平分bac，证明bad=cad，即可证明ebd=cbd（）证明ebdeab，可得abbe=aebd，利用ad平分bac，即可证明abbe=aedc解答：证明：（）be为圆o的切线，ebd=bad，ad平分bac，bad=cad，ebd=cad，cbd=cad，ebd=cbd；（）在ebd和eab中，e=e，ebd=eab，ebdeab，abbe=aebd，ad平分bac，bd=dc，abbe=aedc点评：本题考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分线的性质，属于中档题选修4-4：极坐标与参数方程23已知曲线c1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=2sin（1）写出c1的极坐标方程和c2的直角坐标方程；（2）已知点m1、m2的极坐标分别为和（2，0），直线m1m2与曲线c2相交于p，q两点，射线op与曲线c1相交于点a，射线oq与曲线c1相交于点b，求的值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 分析：（1）利用cos2+sin2=1，