新人教版八年级数学下册知识点总结归纳(全面-实用).pdf

八年级数学 下册 知识点总结 二次根式二次根式 知识回顾 知识回顾 1 二次根式 式子 0 叫做二次根式 1 二次根式 式子 0 叫做二次根式 aa 2 最简二次根式 必须同时满足下列条件 2 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母 分 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母 分 母中不含根式 母中不含根式 3 同类二次根式 3 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二次 根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二次 根式 4 二次根式的性质 4 二次根式的性质 1 1 2 2 0 2 0 2 aaa aa2 5 二次根式的运算 5 二次根式的运算 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 1 因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方 那么 就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 如果被开方数是代数和的形式 那么先解因式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的 积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的 积 商 仍作积 商 的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab a b a 0 b 0 a 0 b 0 bb aa b 0 a 0 b 0 a 0 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 4 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式 都适用于二次根式的运算 典型例题 典型例题 1 概念与性质1 概念与性质 例 1 下列各式 1 例 1 下列各式 1 222 11 2 5 3 2 4 4 5 6 1 7 21 53 xaaa 其中是二次根式的是 填序号 其中是二次根式的是 填序号 例 2 求下列二次根式中字母的取值范围例 2 求下列二次根式中字母的取值范围 1 2 1 2 x x 3 1 5 2 2 x 0 aa 0 a a 0 0 a 例 3 在根式 1 例 3 在根式 1 222 2 3 4 27 5 x abxxyabc 最简二次根式是 最简二次根式是 A 1 2 B 3 4 C 1 3 D 1 4 A 1 2 B 3 4 C 1 3 D 1 4 例 4 已知 例 4 已知 22 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例 5 2009 龙岩 已知数 a b 若例 5 2009 龙岩 已知数 a b 若 2 ab b a 则 b a 则 A a b B ab B a0 b 0 时 则 它运用如下性质 当 a 0 b 0 时 则 1 a ab b 1 a ab b 例 8 比较与的大小 例 8 比较与的大小 53 23 5 规律性问题 5 规律性问题 例 1 观察下列各式及其验证过程 例 1 观察下列各式及其验证过程 验证 验证 验证 验证 1 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路 猜想 1 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路 猜想 4 4 15 的变形结果 并进 行验证 的变形结果 并进 行验证 2 针对上述各式反映的规律 写出用 n n 2 且 n 是整数 表示的等式 并给 出验证过程 2 针对上述各式反映的规律 写出用 n n 2 且 n 是整数 表示的等式 并给 出验证过程 勾股定理 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a 勾股定理 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 2 b b2 2 c c2 2 2 勾股定理逆定理 如果三角形三边长 a b c 满足 a2 勾股定理逆定理 如果三角形三边长 a b c 满足 a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形是直角 那么这个三角形是直角 三角形 3 经过证明被确认正确的命题叫做定理 三角形 3 经过证明被确认正确的命题叫做定理 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那 么另一个叫做它的逆命题 例 勾股定理与勾股定理逆定理 我们把题设 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那 么另一个叫做它的逆命题 例 勾股定理与勾股定理逆定理 4 直角三角形的性质 4 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 A 30 A 30 可表示如下 BC AB 可表示如下 BC AB 2 1 C 90 C 90 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB 90 ACB 90 可表示如下 CD AB BD AD 可表示如下 CD AB BD AD 2 1 D 为 AB 的中点 D 为 AB 的中点 5 摄影定理5 摄影定理 在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项 每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的比例中项 在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项 每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的比例中项 ACB 90 ACB 90 BDADCD 2 ABADAC 2 CD AB CD AB ABBDBC 2 6 常用关系式6 常用关系式 由三角形面积公式可得 AB CD AC BC由三角形面积公式可得 AB CD AC BC 7 直角三角形的判定 7 直角三角形的判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 2 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 2 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这 222 cba 个三角形是直角三角形 个三角形是直角三角形 8 命题 定理 证明 8 命题 定理 证明 1 命题的概念1 命题的概念 判断一件事情的语句 叫做命题 判断一件事情的语句 叫做命题 理解 命题的定义包括两层含义 理解 命题的定义包括两层含义 1 命题必须是个完整的句子 1 命题必须是个完整的句子 2 这个句子必须对某件事情做出判断 2 这个句子必须对某件事情做出判断 2 命题的分类 按正确 错误与否分 2 命题的分类 按正确 错误与否分 真命题 正确的命题 真命题 正确的命题 命题命题 假命题 错误的命题 假命题 错误的命题 所谓正确的命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 所谓正确的命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 所谓错误的命题就是 如果题设成立 不能证明结论总是成立的命题 所谓错误的命题就是 如果题设成立 不能证明结论总是成立的命题 3 公理3 公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题 叫做公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题 叫做公理 4 定理4 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 5 证明5 证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 6 证明的一般步骤6 证明的一般步骤 1 根据题意 画出图形 1 根据题意 画出图形 2 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 2 根据题设 结论 结合图形 写出已知 求证 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 9 三角形中的中位线9 三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 1 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 1 三角形共有三条中位线 并且它们又重新构成一个新的三角形 2 要会区别三角形中线与中位线 2 要会区别三角形中线与中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理的作用 三角形中位线定理的作用 位置关系 可以证明两条直线平行 位置关系 可以证明两条直线平行 数量关系 可以证明线段的倍分关系 数量关系 可以证明线段的倍分关系 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 结论 1 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 结论 1 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 结论 2 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论 2 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论 3 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论 3 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论 4 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论 4 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论 5 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 结论 5 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 10 数学口诀 10 数学口诀 平方差公式 平方差公式有两项 符号相反切记牢 首加尾乘首减尾 莫与完全公式相 混淆 完全平方公式 完全平方有三项 首尾符号是同乡 首平方 尾平方 首尾二倍放中央 首 尾括号带平方 尾项符号随中央 平方差公式 平方差公式有两项 符号相反切记牢 首加尾乘首减尾 莫与完全公式相 混淆 完全平方公式 完全平方有三项 首尾符号是同乡 首平方 尾平方 首尾二倍放中央 首 尾括号带平方 尾项符号随中央 四边形 四边形 1 四边形的内角和与外角和定理 1 四边形的内角和与外角和定理 1 四边形的内角和等于 360 1 四边形的内角和等于 360 2 四边形的外角和等于 360 2 四边形的外角和等于 360 2 多边形的内角和与外角和定理 2 多边形的内角和与外角和定理 1 n 边形的内角和等于 n 2 180 1 n 边形的内角和等于 n 2 180 2 任意多边形的外角和等于 360 2 任意多边形的外角和等于 360 3 平行四边形的性质 3 平行四边形的性质 因为 ABCD 是平行四边形 因为 ABCD 是平行四边形 5 4 3 2 1 邻角互补 对角线互相平分 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 4 平行四边形的判定 4 平行四边形的判定 是平行四边形 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 ABCD 5 4 3 2 1 A BC D 12 3 4 A BC D A B D O C A B D O C 5 矩形的性质 5 矩形的性质 因为 ABCD 是矩形 因为 ABCD 是矩形 3 2 1 对角线相等 四个角都是直角 有通性 具有平行四边形的所 6 矩形的判定 6 矩形的判定 四边形 ABCD 是矩形 四边形 ABCD 是矩形 边形 对角线相等的平行四 三个角都是直角 一个直角 平行四边形 3 2 1 7 菱形的性质 7 菱形的性质 因为 ABCD 是菱形因为 ABCD 是菱形 3 2 1 角 对角线垂直且平分对 四个边都相等 有通性 具有平行四边形的所 8 菱形的判定 8 菱形的判定 四边形四边形 ABCD 是菱形 四边形四边形 ABCD 是菱形 边形 对角线垂直的平行四 四个边都相等 一组邻边等 平行四边形 3 2 1 9 正方形的性质 9 正方形的性质 因为 ABCD 是正方形因为 ABCD 是正方形 3 2 1 分对角 对角线相等垂直且平 角都是直角 四个边都相等 四个 有通性 具有平行四边形的所 CD A B 1 1 AB CD O 2 3 2 3 C D B A O C D B A O A D B C A D B C A D B C O A D B C O 10 正方形的判定 10 正方形的判定 四边形 ABCD 是正方形 四边形 ABCD 是正方形 一组邻边等矩形 一个直角 菱形 一个直角一组邻边等 平行四边形 3 2 1 3 ABCD 是矩形 3 ABCD 是矩形 又 AD AB 又 AD AB 四边形 ABCD 是正方形 四边形 ABCD 是正方形 11 等腰梯形的性质 11 等腰梯形的性质 因为 ABCD 是等腰梯形 因为 ABCD 是等腰梯形 3 2 1 对角线相等 同一底上的底角相等 两底平行 两腰相等 12 等腰梯形的判定 12 等腰梯形的判定 四边形 ABCD 是等腰梯形 四边形 ABCD 是等腰梯形 对角线相等 梯形 底角相等 梯形 两腰相等 梯形 3 2 1 3 ABCD 是梯形且 AD BC 3 ABCD 是梯形且 AD BC AC BD AC BD ABCD 四边形是等腰梯形 ABCD 四边形是等腰梯形 14 三角形中位线定理 14 三角形中位线定理 三角形的中位线平行第三边 并且等于它的一半 三角形的中位线平行第三边 并且等于它的一半 15 梯形中位线定理 15 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并 且等于两底和的一半 梯形的中位线平行于两底 并 且等于两底和的一半 一 基本概念 四边形 四边形的内角 四边形的外角 多边形 平行线间的距离 平 行四边形 矩形 菱形 正方形 中心对称 中心对称图形 梯形 等腰梯形 直 一 基本概念 四边形 四边形的内角 四边形的外角 多边形 平行线间的距离 平 行四边形 矩形 菱形 正方形 中心对称 中心对称图形 梯形 等腰梯形 直 EF D A B C E D CB A A BC D O A BC D O CD A B 角梯形 三角形中位线 梯形中位线 角梯形 三角形中位线 梯形中位线 二 定理 中心对称的有关定理二 定理 中心对称的有关定理 1 关于中心对称的两个图形是全等形 1 关于中心对称的两个图形是全等形 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 3 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形 关于这一点对称 3 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形 关于这一点对称 三 公式 三 公式 1 S 菱形 ab ch a b 为菱形的对角线 c 为菱形的边长 h 为 c 边上的高 1 S 菱形 ab ch a b 为菱形的对角线 c 为菱形的边长 h 为 c 边上的高 2 1 2 S 平行四边形 ah a 为平行四边形的边 h 为 a 上的高 2 S 平行四边形 ah a 为平行四边形的边 h 为 a 上的高 3 S 梯形 a b h Lh a b 为梯形的底 h 为梯形的高 L 为梯形的中位线 3 S 梯形 a b h Lh a b 为梯形的底 h 为梯形的高 L 为梯形的中位线 2 1 四 常识 四 常识 1 若 n 是多边形的边数 则对角线条数公式是 1 若 n 是多边形的边数 则对角线条数公式是 2 3n n 2 规则图形折叠一般 出一对全等 一对相似 2 规则图形折叠一般 出一对全等 一对相似 3 如图 平行四边形 矩形 菱形 正方形的从属关系 3 如图 平行四边形 矩形 菱形 正方形的从属关系 4 常见图形中 仅是轴对称图形的有 角 等腰三角形 等边三角形 正奇边形 等 腰梯形 仅是中心对称图形的有 平行四边形 是双对称图形的有 线 段 矩形 菱形 正方形 正偶边形 圆 注意 线段有两条对称轴 4 常见图形中 仅是轴对称图形的有 角 等腰三角形 等边三角形 正奇边形 等 腰梯形 仅是中心对称图形的有 平行四边形 是双对称图形的有 线 段 矩形 菱形 正方形 正偶边形 圆 注意 线段有两条对称轴 一次函数一次函数 一 常量 变量 一 常量 变量 在一个变化过程中 数值发生变化的量叫做 变量 数值始终不变的量叫做 常量 在一个变化过程中 数值发生变化的量叫做 变量 数值始终不变的量叫做 常量 二 函数的概念 二 函数的概念 函数的定义 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 与 y 并且对于 x 的每一 个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 函数的定义 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 与 y 并且对于 x 的每一 个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 三 函数中自变量取值范围的求法 三 函数中自变量取值范围的求法 1 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 1 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 2 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数 2 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数 3 用寄次根式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 3 用寄次根式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 用偶次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切 实数 用偶次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切 实数 4 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公 共范围 即为自变量的取值范围 4 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公 共范围 即为自变量的取值范围 5 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 5 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 四 函数图象的定义 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分 别作为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 四 函数图象的定义 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分 别作为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 五 用描点法画函数的图象的一般步骤五 用描点法画函数的图象的一般步骤 1 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 1 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出 表格中数值对应的各点 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出 表格中数值对应的各点 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 六 函数有三种表示形式 六 函数有三种表示形式 1 列表法 2 图像法 3 解析式法 1 列表法 2 图像法 3 解析式法 七 正比例函数与一次函数的概念 七 正比例函数与一次函数的概念 一般地 形如 y kx k 为常数 且 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 一般地 形如 y kx k 为常数 且 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 一般地 形如 y kx b k b 为常数 且 k 0 的函数叫做一次函数 一般地 形如 y kx b k b 为常数 且 k 0 的函数叫做一次函数 当 b 0 时 y kx b 即为 y kx 所以正比例函数 是一次函数的特例 当 b 0 时 y kx b 即为 y kx 所以正比例函数 是一次函数的特例 八 正比例函数的图象与性质 八 正比例函数的图象与性质 1 图象 正比例函数 y kx k 是常数 k 0 的图象是经过原点的一条直线 我们 称它为直线 y kx 1 图象 正比例函数 y kx k 是常数 k 0 的图象是经过原点的一条直线 我们 称它为直线 y kx 2 性质 当 k 0 时 直线 y kx 经过第三 一象限 从左向右上升 即随着 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 直线 y kx 经过第三 一象限 从左向右上升 即随着 x 的增大 y 也增大 当 k0 b 0 图像经过一 二 三象限 1 k 0 b 0 图像经过一 二 三象限 2 k 0 b 0 图像经过一 三 四象限 2 k 0 b 0 图像经过一 三 四象限 3 k 0 b 0 图像经过一 三象限 3 k 0 b 0 图像经过一 三象限 4 k 0 b 0 图像经过一 二 四象限 4 k 0 b 0 图像经过一 二 四象限 5 k 0 b 0 图像经过二 三 四象限 5 k 0 b 0 图像经过二 三 四象限 6 k 0 b 0 图像经过二 四象限 6 k 0 b 0 图像经过二 四象限 一次函数表达 式的确定 一次函数表达 式的确定 求一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 时 需要由两个点来确定 求正比例函数 y kx k 0 时 只需一个点即可 求一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 时 需要由两个点来确定 求正比例函数 y kx k 0 时 只需一个点即可 5 一次函数与二元一次方程组 5 一次函数与二元一次方程组 解方程组解方程组 从 数 的角度看 自变量 x 为何值时两个函数的值 相等 并 从 数 的角度看 自变量 x 为何值时两个函数的值 相等 并 求出这个函数值 求出这个函数值 解方程组 从 形 的角度看 确定两直线交点的坐标 解方程组 从 形 的角度看 确定两直线交点的坐标 数据的分析数据的分析 数据的代表 平均数 众数 中位数 极差 方差数据的代表 平均数 众数 中位数 极差 方差 1 解统计学的几个基本概念1 解统计学的几个基本概念 总体 个体 样本 样本容量是统计学中特有的规定 准确把握教材 明确所考查 的对象是解决有关总体 个体 样本 样本容量问题的关键 总体 个体 样本 样本容量是统计学中特有的规定 准确把握教材 明确所考查 的对象是解决有关总体 个体 样本 样本容量问题的关键 2 平均数 2 平均数 当给出的一组数据 都在某一常数 a 上下波动时 一般选用简化平均数公式 当给出的一组数据 都在某一常数 a 上下波动时 一般选用简化平均数公式 其中 a 是取接近于这组数据平均数中比较 整 的数 当所给一组数据中有 重复多次出现的数据 常选用加权平均数公式 其中 a 是取接近于这组数据平均数中比较 整 的数 当所给一组数据中有 重复多次出现的数据 常选用加权平均数公式 3 众数与中位数 3 众数与中位数 平均数 众数 中位数都是用来描述数据集中趋势的量 平均数的大小与每一个数 据都有关 任何一个数的波动都会引起平均数的波动 当一组数据中有个数据太高或太 平均数 众数 中位数都是用来描述数据集中趋势的量 平均数的大小与每一个数 据都有关 任何一个数的波动都会引起平均数的波动 当一组数据中有个数据太高或太 cba cba yx yx 222 111 cba cba yx yx 222 111 低 用平均数来描述整体趋势则不合适 用中位数或众数则较合适 中位数与数据排列 有关 个别数据的波动对中位数没影响 当一组数据中不少数据多次重复出现时 可用 众数来描述 低 用平均数来描述整体趋势则不合适 用中位数或众数则较合适 中位数与数据排列 有关 个别数据的波动对中位数没影响 当一组数据中不少数据多次重复出现时 可用 众数来描述 4 极差 4 极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围 用这种方 法得到的差称为极差 极差 最大值 最小值 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围 用这种方 法得到的差称为极差 极差 最大值 最小值 5 方差与标准差 5 方差与标准差 用 先平均 再求差 然后平方 最后再平均 得到的结果表示一组数据偏离平均 值的情况 这个结果叫方差 计算公式是 用 先平均 再求差 然后平方 最后再平均 得到的结果表示一组数据偏离平均 值的情况 这个结果叫方差 计算公式是 s s2 2 x x1 1 2 2 x x2 2 2 2 x xn n 2 2 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 其值越大 波动越大 也越不稳定或不 整齐 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 其值越大 波动越大 也越不稳定或不 整齐 一 选择题一 选择题 1 一组数据 3 5 7 m n 的平均数是 6 则 m n 的平均数是 1 一组数据 3 5 7 m n 的平均数是 6 则 m n 的平均数是 A 6 B 7 C 7 5 D 15 A 6 B 7 C 7 5 D 15 2 小华的数学平时成绩为 92 分 期中成绩为 90 分 期末成绩为 96 分 若按 3 3 4 的比例计算总评成绩 则小华的数学总评成绩应为 2 小华的数学平时成绩为 92 分 期中成绩为 90 分 期末成绩为 96 分 若按 3 3 4 的比例计算总评成绩 则小华的数学总评成绩应为 A 92 B 93 C 96 D 92 7A 92 B 93 C 96 D 92 7 3 关于一组数据的平均数 中位数 众数 下列说法中正确的是 3 关于一组数据的平均数 中位数 众数 下列说法中正确的是 A 平均数一定是这组数中的某个数 B 中位数一定是这组数中的某个数A 平均数一定是这组数中的某个数 B 中位数一定是这组数中的某个数 C 众数一定是这组数中的某个数 D 以上说法都不对C 众数一定是这组数中的某个数 D 以上说法都不对 4 某小组在一次测试中的成绩为 86 92 84 92 85 85 86 94 92 83 则这 个小组本次测试成绩的中位数是 4 某小组在一次测试中的成绩为 86 92 84 92 85 85 86 94 92 83 则这 个小组本次测试成绩的中位数是 A 85 B 86 C 92 D 87 9A 85 B 86 C 92 D 87 9 5 某人上山的平均速度为 3km h 沿原路下山的平均速度为 5km h 上山用 1h 则此 人上下山的平均速度为 5 某人上山的平均速度为 3km h 沿原路下山的平均速度为 5km h 上山用 1h 则此 人上下山的平均速度为 A 4 km h B 3 75 km h C 3 5 km h D 4 5 km hA 4 km h B 3 75 km h C 3 5 km h D 4 5 km h 6 在校冬季运动会上 有 15 名选手参加了 200 米预赛 取前八名进入决赛 已知参赛 选手成绩各不相同 某选手要想知道自己是否进入决赛 只需要了解自己的成绩以及 全部成绩的 6 在校冬季运动会上 有 15 名选手参加了 200 米预赛 取前八名进入决赛 已知参赛 选手成绩各不相同 某选手要想知道自己是否进入决赛 只需要了解自己的成绩以及 全部成绩的 A 平均数 B 中位数 C 众数 D 以上都可以A 平均数 B 中位数 C 众数 D 以上都可以 二 填空题 每小题 6 分 共 42 分 二 填空题 每小题 6 分 共 42 分 7 将 9 个数据从小到大排列后 第 个数是这组数据的中位数7 将 9 个数据从小到大排列后 第 个数是这组数据的中位数 8 如果一组数据 4 6 x 7 的平均数是 5 则 x 8 如果一组数据 4 6 x 7 的平均数是 5 则 x 9 已知一组数据 5 3 6 5 8 6 4 11 则它的众数是 中位数9 已知一组数据 5 3 6 5 8 6 4 11 则它的众数是 中位数 是 10 一组数据 12 16 11 17 13 x 的中位数是 14 则 x 是 10 一组数据 12 16 11 17 13 x 的中位数是 14 则 x 11 某射击选手在 10 次射击时的成绩如下表 11 某射击选手在 10 次射击时的成绩如下表 环数环数7 78 89 91010 次数次数2 24 41 13 3 则这组数据的平均数是 中位数是 众数是 则这组数据的平均数是 中位数是 众数是 12 某小组 10 个人在一次数学小测试中 有 3 个人的平均成绩为 96 其余 7 个人的平 均成绩为 86 则这个小组的本次测试的平均成绩为 12 某小组 10 个人在一次数学小测试中 有 3 个人的平均成绩为 96 其余 7 个人的平 均成绩为 86 则这个小组的本次测试的平均成绩为 13 为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况 连续记录了 6 天的车流量 单位 千辆 日 3 2 3 4 3 2 8 3 4 7 则这个月该桥过往车辆的总数大约为 13 为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况 连续记录了 6 天的车流量 单位 千辆 日 3 2 3 4 3 2 8 3 4 7 则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆 辆 第十七章 反比例函数 1 定义 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 xy k 第十七章 反比例函数 1 定义 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 xy k x k 1 kxy x ky 1 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对 称图形 有两条对称轴 直线 y x 和 y x 对称中心是 原点 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对 称图形 有两条对称轴 直线 y x 和 y x 对称中心是 原点 3 性质 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而减小 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而增大 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 3 性质 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而减小 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而增大 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 5 反比例函数双曲线 待定只需一个点 正 k 落在一三限 x 增大 y 在减 图象上面任 意点 矩形面积都不变 对称轴是角分线 x y 的顺序可交换 5 反比例函数双曲线 待定只需一个点 正 k 落在一三限 x 增大 y 在减 图象上面任 意点 矩形面积都不变 对称轴是角分线 x y 的顺序可交换 1 反比例函数的概念 1 反比例函数的概念 一般地 函数 k 是常数 k0 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以一般地 函数 k 是常数 k0 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以 x k y 写成的形式 自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数 函数的取值范围也是一写成的形式 自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数 函数的取值范围也是一 1 kxy 切非零实数 切非零实数 2 反比例函数的图像2 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限 或第 二 四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量 x0 函数 y0 所以 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限 或第 二 四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量 x0 函数 y0 所以 它的图像与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不 到坐标轴 它的图像与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不 到坐标轴 3 反比例函数的性质3 反比例函数的性质 反比例 函数 反比例 函数 0 k x k y k 的符 号 k 的符 号 k 0k 0k 0k0 时 函数图像的两个分支分别 当 k 0 时 函数图像的两个分支分别 在第一 三象限 在每个象限内 y在第一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 随 x 的增大而减小 x 的取值范围是 x0 x 的取值范围是 x0 y 的取值范围是 y0 y 的取值范围是 y0 当 k 0 时 函数图像的两个分支分别 当 k 0 时 函数图像的两个分支分别 在第二 四象限 在每个象限内 y在第二 四象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 随 x 的增大而增大 4 反比例函数解析式的确定4 反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法 由于在反比例函数中 只有一个待定系数 确定及诶是的方法仍是待定系数法 由于在反比例函数中 只有一个待定系数 x k y 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标 即可求出 k 的值 从而确定其解析式 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标 即可求出 k 的值 从而确定其解析式 5 反比例函数中反比例系数的几何意义5 反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图 过反比例函数图像上任一点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 PM PN 则所如下图 过反比例函数图像上任一点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 PM PN 则所 0 k x k y 得的矩形 PMON 的面积 S PM PN 得的矩形 PMON 的面积 S PM PN xyxy kSkxy x k y 第十七章 反比例函数 第十七章 反比例函数 1 定义 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 xy k 1 定义 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其他形式 xy k x k 1 kxy x ky 1 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对 称图形 有两条对称轴 直线 y x 和 y x 对称中心是 原点 2 图像 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对 称图形 有两条对称轴 直线 y x 和 y x 对称中心是 原点 3 性质 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而减小 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而增大 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 3 性质 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第一 第三象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而减小 当 k 0 时双曲线的两支分别位于第二 第四象限 在每个象限内 y 值随 x 值的 增大而增大 4 k 的几何意义 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积 知识点 知识点 选用恰当的数据分析数据 选用恰当的数据分析数据 知识点详解 知识点详解 一 5 个基本统计量 平均数 众数 中位数 极差 方差 的数学内涵 一 5 个基本统计量 平均数 众数 中位数 极差 方差 的数学内涵 平均数 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商 平均数反映一组数据 的平均水平 平均数分为算术平均数和加权平均数 平均数 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商 平均数反映一组数据 的平均水平 平均数分为算术平均数和加权平均数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数 有时不止一个 叫做这组数据的众数众数 在一组数据中 出现次数最多的数 有时不止一个 叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小顺序排列 把处在最中间的一个数 或两个数的平均数 叫做这组数据的中位数 中位数 将一组数据按大小顺序排列 把处在最中间的一个数 或两个数的平均数 叫做这组数据的中位数 极差 是指一组数据中最大数据与最小数据的差 巧计方法 极差 最大值 最小 值 极差 是指一组数据中最大数据与最小数据的差 巧计方法 极差 最大值 最小 值 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数 记作 s方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数 记作 s2 2 巧计方法 方差是偏差的 平方的平均数 巧计方法 方差是偏差的 平方的平均数 标准差 方差的算术平方根 记作 s 标准差 方差的算术平方根 记作 s 二 教学时对五个基本统计量的分析 二 教学时对五个基本统计量的分析 1 算术平均数不难理解易掌握 加权平均数 关键在于理解 权 的含义 权 重是一组非负数 权重之和为 1 当各数据的重要程度不同时 一般采用加权平均数作 为数据的代表值 1 算术平均数不难理解易掌握 加权平均数 关键在于理解 权 的含义 权 重是一组非负数 权重之和为 1 当各数据的重要程度不同时 一般采用加权平均数作 为数据的代表值 学生出现的问题学生出现的问题 对 权 的意义理解不深刻 易混淆算术平均数与加权平均数 的计算公式 对 权 的意义理解不深刻 易混淆算术平均数与加权平均数 的计算公式 采取的措施采取的措施 弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系 并且提醒学生再 求平均数时注意单位 弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系 并且提醒学生再 求平均数时注意单位 2 平均数 与中位数 众数的区别于联系 联系 平均数 中位数和众数都 反映了一组数据的集中趋势 其中以平均数的应用最为广泛 区别 A 平均数的 大小与这组数据里每个数据均有关系 任一数据的变动都会引起平均数的变动 B 中位数仅与数据的排列位置有关 某些数据的变动对中位数没有影响 当一组数据 中的个别数据变动较大时 可用它来描述其集中趋势 C 众数主要研究个数据出现 的频数 其大小只与这组数据中的某些数据有关 当一组数据中有不少数据多次重复出 现时 我们往往关心众数 其中众数的学习是重点 2 平均数 与中位数 众数的区别于联系 联系 平均数 中位数和众数都 反映了一组数据的集中趋势 其中以平均数的应用最为广泛 区别 A 平均数的 大小与这组数据里每个数据均有关系 任一数据的变动都会引起平均数的变动 B 中位数仅与数据的排列位置有关 某些数据的变动对中位数没有影响 当一组数据 中的个别数据变动较大时 可用它来描述其集中趋势 C 众数主要研究个数据出现 的频数 其大小只与这组数据中的某些数据有关 当一组数据中有不少数据多次重复出 现时 我们往往关心众数 其中众数的学习是重点 学生出现的问题学生出现的问题 求中位数时忘记排序 对三种数据的意义不能正确理解 求中位数时忘记排序 对三种数据的意义不能正确理解 采取的措施采取的措施 加强概念的分析 多做对比练习 加强概念的分析 多做对比练习 3 极差 方差和标