文科 第六章 数列 第3节 数列的综合试题汇编.docx

第3节 数列的综合题型76 等差数列与等比数列的综合1. （2013江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，其中为实数.（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：.1.分析 （1）利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到与的关系，可验证；（2）先由成等差数列，得到关于的等式，求得的值后再代入验证.解析 （1）由，得.又因为成等比数列，所以，即，化简得因为，所以.因此，对于所有的，有.从而对于所有的，有.（2）设数列的公差是，则，即，代入的表达式，整理得，对于所有的，有.令，则对于所有的，有. （*）在（*）式中分别取得，从而有由得，代入方程，得，从而，即.若，则由，得，与题设矛盾，所以.又因为，所以.2(2013福建文17）已知等差数列的公差，前项和为.（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围.2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解.解析（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得.（2）因为数列的公差，且，所以，即，解得.3. (2013天津文19）已知首项为的等比数列的前项和为， 且成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）证明. 3.分析 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前项和，根据函数的单调性证明.解析 （1）设等比数列的公比为.因为成等差数列，所以即可得于是又因为所以等比数列的通项公式为（2）当为奇数时，随的增大而减小，所以当为偶数时，随的增大而减小，所以故对于有4.（2013湖北文19）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由4.分析 首先由成等差数列，且，求得和公比，进而得通项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于的不等式，通过解不等式进而做出判断.解析 （1）设等比数列的公比为，则.由题意得即解得故数列的通项公式为.（2）由（1）有.假设存在，使得，则，即.当为偶数时，上式不成立；当为奇数时，即，即.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.5.（2014天津文5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则=（ ）.A. B. C. D . 6.（2014新课标文5）等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（ ）.A. B. C. D.7.（2014北京文15）（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.7. 解析 （I）设等差数列的公差为，由题意得.所以.设等比数列的公比为，由题意得，解得.所以.从而.（II）由（I）知.数列的前项和为，数列的前项和为.所以数列的前项和为.评注 本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题.8（2014湖北文19）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，且，成等比数列. （）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.9.（2014重庆文16）（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（I）求及；（II）设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.10.（2016北京文15）已知是等差数列，是等比数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.10.解析 （1）等比数列的公比，所以，.设等差数列的公差为.因为，所以，即.所以.（2）由（1）知，.因此.从而数列的前项和.11.（2016全国乙文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足.（1）求的通项公式；（2）求的前n项和.11.解析 （1）由题意令中，即，解得，故.（2）由（1）得，即，故是以为首项，为公比的等比数列，即，所以的前项和为.12.（2016四川文19）已知数列的首项为，为数列的前项和，其中，.（1）若，成等差数列，求数列的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求.12.解析 （1）由已知，两式相减得到，.又由，得到，故对所有都成立.所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，成等差数列，可得，所以，故.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率.由，解得.所以13.（2016天津文18）已知是等比数列，前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.13.解析 （1）数列的公比为，由已知有，解得.又由知，所以，解得，所以.（2）由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.14.（2017天津文18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.14.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得，所以.由，可得 由，可得 联立式，解得，由此可得.所以的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得，得.所以数列的前项和为.题型77 数列与函数、不等式的综合1.（2014四川文19）(本小题满分12分) 设等差数列的公差为，点在函数的图像上.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.2.（2015陕西文21）设（1）求.（2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.2.解析 (1)由题设，所以，所以，由错位相减法求得：，所以；(2)因为，所以在内至少存在一个零点.又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，所以.3.（2016上海文14）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为 .3.解析 由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，若，则；若，则.按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列因此最大化处理可以出现，所以最大值为.4.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项公式.4.解析 （1）易知，而，所以，从而与不是无穷互补数列.（2）由题意，因为，所以.数列的前项的和为.（3）设的公差为，则.由，得或.若，则，与“与是无穷互补数列”矛盾，因为此时不是无穷数列；若，则，.综上所述，.5.（2016江苏20）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.假如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：.5. 解析 （1）当时，因此，从而，.（2）.（3）下面分三种情况给予证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，.于是，进而由得.设为中的最大数，为中的最大数，则，.由（2）知，.于是，所以，即.又，故.从而 ，故，所以，即.综合得，.6.（2017浙