最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用.pdf

第三章第三章导数及其应用 3 1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 1 导数的概念与几何意 义 2015江西重点中学盟校高三第一次联考 导数的概念与几何意义 选择题 理 3 函数 y x3的图象在 原点处的切线方程为 A y xB x 0 C y 0D 不存在 解析 由 f x 3x2 得 f 0 0 所以 f x 在原点处的切线方程为 y 0 故选 C 答案 C 3 2 导数与函数的单调性 极值 最值导数与函数的单调性 极值 最值 专题 1 导数与函数的单调 性 2015东北三省三校高三二模 导数与函数的单调性 选择题 理 12 若函数 y sin 2x acos x 在 0 上 是增函数 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 0 D 0 解析 依题意 当 x 0 时 y 2 cos2x asinx 0 即 a 2sinx 恒成立 令 t sinx 则当 x 0 时 t 0 1 函数 y 2t在区间 0 1 上是减函数 所以函数 y 2t 在区间 0 1 上的最小值是 y t 1 1 2 1 1 于是有 a 1 实数 a的取值范围是 1 故选 A 答案 A 专题 2 导数与函数的极 值 2015江西八所重点中学高三联考 导数与函数的极值 解答题 理 21 已知 f x x2 ax sinx x 0 1 1 若 f x 在定义域内单调递增 求 a 的取值范围 2 当 a 2时 记 f x 得极小值为 f x0 若 f x1 f x2 求证 x1 x2 2x0 解 1 f x 2x a cosx x 0 1 依题意 f x 0恒成立 2x cosx a 令 g x 2x cosx x 0 1 g x 2 sinx g x 在 x 0 1 单调递减 且 g 0 0 g 1 0 1 2 0 故存在唯一实数 使得 0 x 在 0 上单调递增 在 1 上单调递减 即 f x 在 0 上单调递增 在 1 上单调递减 又 f 0 2 0 由 f x0 0 知 0 x0 1 f x 在 0 x0 上单调递减 在 x0 0 上单调递增 不妨设 x1 x2 由 f x1 f x2 则 0 x1 x0 x2 1 令 F x f x0 x f x0 x 则 F x f x0 x f x0 x 4x0 4 4x0 4 cosx0cosx 又 F x 在 x 0 1 上单调递减 F x F 0 4x0 4 cosx0 2f x0 0 F x 在 x 0 1 上单调递减 F x F 0 0 即 f x0 x f x0 x 又 f x1 f x2 f x0 x0 x2 f x0 x0 x2 f 2x0 x2 0 x1 x0 0 2x0 x2 x0 又 f x 在 0 x0 上单调递减 x12x0 2015东北三省三校高三第一次联考 导数与函数的极值 解答题 理 21 已知 a 是实常数 函数 f x xln x ax2 1 若曲线 y f x 在 x 1处的切线过点 A 0 2 求实数 a 的值 2 若 f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 求证 af x1 解 1 由已知得 f x lnx 1 2ax x 0 切点坐标为 1 a 切线方程为 y a 2a 1 x 1 把 0 2 代入解得 a 1 2 证明 依题意得 f x 0有两个不等的实数根 x1 x2 x10 当 a 0 时 g x 0 g x 是增函数 不符合题意 当 a0 则 g x g x 的变化情况为 x g x 0 g x 极大值 依题意得 g ln 0 解得 a 0 综上所述 实数 a 的取值范围为 af x1 又 f 1 g 1 2a 1 0 故 x1 0 1 由 1 知 ax1 f x1 x1lnx1 a x1lnx1 x1 0 x1 1 设 h x xlnx x 0 x 1 则 h x lnxh 1 即 f x1 综上所述 f x2 f x1 成立 专题 3 导数与函数的最 值 2015辽宁大连高三双基测试 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知 f x x xln x 若 k Z 且 k x 2 2恒成立 则 k 的最大值为 A 3B 4C 5D 6 解析 依题意 当 x 4时 不等式 k x 2 f x 成立 于是有 2k 4 4ln4 即 k 2 2ln4 2 ln16 2 3 5 由此 可排除选项 C D 猜测整数 k的最大值为 4 下面证明当 k 4 时 不等式 k x 2 2 恒成立 记 g x f x 4 x 2 xlnx 3x 8 则 g x lnx 2 当 2 x e2时 g x e2时 g x 0 因此 g x 在 2 上的最小值为 g e2 8 e2 0 即对任意 x 2 均有 g x g e2 0 即 k x 2 1 存在实数 a b 满足 0 a bg c 即恒成立 所以 k1 令 p c c 1 则 p c 令 q c c 2 lnc c 1 因为 q c 1 0 所以 q c 单调递增 得 q c q 1 1 又 q 3 1 ln30 所以存在 c0 3 4 使得 q c0 0 即 c0 2 lnc0 当 c 1 c0 时 q c 0 p c 单调递增 p c min p c0 将 c0 2 lnc0代入得 p c min c0 所以 k c0 k 3 易知 0 a 当 k 3 时可证明存在 f a g b 时 g x 0 当 x 时 g x 0 时 f x g x 解 1 f x ax 2 lnx a R f x a 又 f x 在点 e f e 处的切线的斜率为 f e a 切点为 e 1 将切点代入切线方程得 b 2e 2 由 1 知 f x a x 0 当 a 0 时 f x 0时 令 f x 0 得 x 当 x变化时 f x f x 随 x 的变化情况如下表 f x 0 f x 由表可知 f x 在上单调递减 在上单调递增 综上所述 当 a 0 时 f x 的单调减区间为 0 当 a 0时 f x 的单调减区间为 单调增区间为 3 证明 当 x 0 时 要证 f x g x 即证 f x ax ex 0 即证 ex lnx 2 0 令 h x ex lnx 2 x 0 只需证 g x 0 h x ex 由指数函数及幂函数的性质知 h x ex 在 0 上是增函数 又 h 1 e 1 0 h 3 0 h 1 h 0 h x 在内存在唯一的零点 也即 h x 在 0 上有唯一零点 设 h x 的零点为 t 则 h t et 0 即 et 由 h x 的单调性知 当 x 0 t 时 h x h t 0 g x 为增函数 当 x 0 时 h x h t et lnt 2 ln 2 t 2 2 2 0 又 t0 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 导数与函数的最值 解答题 理 20 已知函数 f x ln a x ln a x a 0 1 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 2x 求 a 的值 2 当 x 0时 不等式 f x 2x 恒成立 试求 a 的取值范围 解 1 已知 f x ln a x ln a x a 0 则 f x f 0 由题意知 f 0 2 2 a 1 2 令 g x f x 2x 0 x a 则 g x f x 2 2x2 2 2x2 x4 a2 1 x2 a a2 当 0 a 1 时 a2 1 0 a a2 0 当 0 x a 时 x4 a2 1 x2 a a2 0 即 g x 0 函数 g x 在 0 a 上为增函数 g x g 0 0 即当 01 时 a2 1 0 a a2 0 0 x a 时 x2 a2 1 0 x2 x2 a2 1 0 从而 x4 a2 1 x2 a a2 0 即 g x 0 从而函数 g x 在 0 上为减函数 当 0 x 时 g x g 0 0 不符合题意 综上所述 当 x 0时 使 f x 2x 恒成立的 a的取值范围为 0 a 1 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知 a b R 且 ex 1 ax b 对 x R恒成立 则 ab的最大值是 A e3B e3C e3D e3 解析 若 a0时 ex 1 ax b b ex 1 ax ab aex 1 a2x 令 f x aex 1 a2x 故 f x a ex 1 a 令 f x 0 解得 x lna 1 当 x lna 1 时 f x lna 1 时 f x 0 故 f x min f lna 1 2a2 a2lna 故 ab 2a2 a2lna 令 g a 2a2 a2lna a 0 故 g a a 3 2lna a 0 令 g a 0 解得 a 当 0 a0 当 a 时 g a 0 故 g a max g e3 故 ab的最大值为 e3 故选 A 答案 A 2015辽宁重点中学协作体高考模拟 导数与函数的最值 解答题 理 21 已知二次函数 f x ax2 bx 1 其中 a b R g x ln ex 且函数 F x f x g x 在 x 1 处取得极值 1 求 a b 所满足的关系 2 试判断是否存在 a 2 0 0 2 使得对 x 1 2 不等式 x a F x 0 恒成立 如果存在 请求出符 合条件的 a的所有值 如果不存在 请说明理由 解 1 F x ax2 bx 1 ln ex F x 2ax b F x 在 x 1处取得极值 F 1 2a b 1 0 F x 0 x1 x2 1 且 x1 x2 a 2a b 1 0为 a b所满足的关系 2 F x ax2 1 2a x ln ex 当 a 0 2 时 x 1 2 且 x a F x 0 F x 0 F x 0 F x 在 1 2 上单调递增 F x F 1 1 a 0即可 a 0 1 当 a 2 0 且 a 时 x1 x2 1 若 1 即 2 a 时 F x 在 1 2 上单调递减 0 2 ln2 F x 1 a x a 0 即 a x 可得 a 1 故 a 若 1 2 即 a0 F x F 2 2 ln2 0 x a F x 0恒成立 a 若 2 即 a 0时 F x 在 1 2 上单调递增 且 x a F x 0恒成立 a 综上所述 a 0 1 2015东北三省三校高三第一次联考 导数与函数的最值 选择题 理 11 已知数列 an 满足 an n3 n2 3 m 若数列的最小项为 1 则 m 的值为 A B C D 解析 令 f x x3 x2 3 m x 0 则 f x x2 x x 当 x 时 f x 0 故 x 为函数 f x 的极小值点 也是最小值点 由于 n N 且 a2 m a3 m 故 a20 1 求函数 f x 的单调区间 2 求函数 f x 在上的最大值 3 若存在 x1 x2 x1 x2 使得 f x1 f x2 0 证明 0 则 f x 1 aeax 令 f x 1 aeax 0 则 x ln 当 x变化时 f x 与 f x 的变化情况如下表 xln f x 0 f x 极大值 故函数 f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 2 当 ln 即 0 a 时 f x max f e2 当 ln时 即 a0 即 a0 由此可得 x1 lnln 即 x1 x20 1 求 a 的值 2 已知结论 若函数 f x x ln x a 在 m n 内导数都存在 且 m a 则存在 x0 m n 使得 f x0 试用 这个结论证明 若 a x1 x2 设函数 g x x x1 f x1 则对任意 x x1 x2 都有 f x a 当 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x a 1 a 1 a 1 a f x 0 f x 极小值 因此 f x 在 x 1 a处取得最小值 故由题意 f 1 a 1 a 0 所以 a 1 2 令 h x f x g x f x x x1 f x1 则 h x f x 因为 f x 在 x x1 x2 上存在导数 所以存在 x0 x1 x2 使得 f x0 又因为 f x 所以 h x f x f x0 因为当 x x1 x0 时 h x 0 h x 为单调减函数 所以 h x 0 h x 为单调增函数 所以 h x h x2 0 所以对任意的 x x1 x2 都有 f x 0对 x 1 成立 即 f x 在 1 上为增函数 又 f 1 0 故 f x 0 对 x 1 成立 f x 在 1 上为增函数 3 x 1 由 f x g x 得 x ex 1 ax3 x2 a 1 x a 0 设 h x x ex 1 ax3 x2 a 1 x a x 1 h x x 1 ex 1 ax2 x a 1 x 1 ex 1 a x 1 1 x 1 设 k x ex 1 a x 1 1 x 1 k x ex 1 a 当 a 1 时 k x 0 对 x 1 成立 又 k 1 0 故 k x 0 即 h x 0 h x 在 1 上单调递增 又 h 1 0 故 h x 0 当 a 1 时 由 k x 0 得 x 1 lna 1 当 x 1 1 lna 时 k x 0 又 k 1 0 故 k x 0 即 h x 0 又 h 1 0 故 h x 0 这与已知条件不符 综上所述 实数 a 的取值范围为 1 3 4 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 专题 1 定积分的计 算 2015江西八所重点中学高三联考 定积分的计算 填空题 理 13 计算 x3cos x dx 解析 利用奇函数的对称性求解 因为函数 y x3cosx x 3 3 是奇函数 所以 x3cosx dx