最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用 (5).pdf

第三章第三章导数及其应用 3 1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 2 导数的运 算 2015河北保定二模 导数的运算 选择题 理 11 已知函数 f x x2sin x xcos x 则其导函数 f x 的图象 大致是 解析 f x x2sinx xcosx f x x2cosx cosx f x x 2cos x cos x x2cosx cosx f x 其导函数 f x 为偶函数 图象关于 y轴对称 故排除 A C 当 x 时 f x 故排除 D 故选 C 答案 C 2015河北保定二模 导数的运算 选择题 理 12 已知函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 设 f x 是函数 f x 的导函数 f x 是函数 f x 的导函数 若方程 f x 0 有实数解 x0 则称点 x0 f x0 为函数 y f x 的 拐 点 任何一个三次函数都有 拐点 且其 拐点 恰好就是该函数的对称中心 设函数 f x x3 x2 3x 则 f f f f A 2 016B 2 015C 2 014D 1 007 5 解析 依题意 得 f x x2 x 3 f x 2x 1 由 f x 0 即 2x 1 0 得 x f 1 f x x3 x2 3x 的对称中心为 f 1 x f x 2 f f f f 2015 答案 B 2015辽宁锦州一模 导数的运算 选择题 理 8 已知函数 y f x 的导函数为 f x 且 f x x2f sin x 则 f A B C D 解析 f x x2f sinx f x 2f x cosx f 2f cos 解得 f 答案 A 3 2 导数与函数的单调性 极值 最值导数与函数的单调性 极值 最值 专题 1 导数与函数的单调 性 2015江西南昌三模 导数与函数的单调性 选择题 理 10 已知 f x x3 ax 在 1 上是单调增函数 则 a的取值范围是 A 3 B 1 3 C 3 D 3 答案 D 2015河北邯郸二模 导数与函数的单调性 解答题 理 21 已知函数 f x mln x x2 2m 1 x m R 1 讨论 f x 的单调性 2 设 m 0 证明 当 0 xf m x 3 若函数 f x 的图象与 x 轴交于 A B 两点 线段 AB 的中点的横坐标为 x0 f x 为函数 f x 的导函数 证 明 f x0 0时 若 x 0 m 则 f x 0 f x 单调递增 若 x m 则 f x 0 0 x0 g x 在 0 m 上递增 g x g 0 m 0 f m x f m x 3 设 A B的横坐标分别为 x1 x2 且 x10 且 0 x1 mf m m x1 f x1 f x2 0 又 f x 在 m 上单调递减 2m x1 x2 即 2m x1 x2 2x0 m x0 由 1 得 f x0 f x 成立 则 A 3f ln 2 2f ln 3 D 3f ln 2 与 2f ln 3 的大小不确定 解析 构造函数 g x g x f x f x 对任意 x R都有 f x f x 成立 g x 0 即 g x 在 R 上单调递减 又 ln2g ln3 3f ln2 2f ln3 答案 C 2015辽宁锦州一模 导数与函数的单调性 选择题 理 12 已知 f x g x 都是定义在 R 上的函 数 g x 0 f x g x f x g x 且 f x ax g x a 0 且 a 1 若数列的前 n 项和大于 62 则 n 的最小值为 A 6B 7C 8D 9 解析 f x g x f x g x f x g x f x g x 0 0 从而可得 ax单调递增 从而可得 a 1 a a 1 a 2 故 a a2 an 2 22 2n 2n 1 2 62 2n 1 64 即 n 1 6 n 5 n N n的最小值为 6 答案 A 专题 3 导数与函数的最 值 2015江西南昌三模 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知函数 f x aln x 1 x2在区间 0 1 内任取 两个实数 p q 且 p q 不等式 1 恒成立 则实数 a的取值范围为 A 15 B 15 C 12 30 D 12 15 答案 A 2015江西南昌三模 导数与函数的最值 解答题 理 21 已知函数 f x 2ex x a 2 3 a R 1 若函数 y f x 的图象在 x 0 处的切线与 x 轴平行 求 a 的值 2 若 x 0 f x 0恒成立 求 a 的取值范围 解 1 f x 2 ex x a y f x 在 x 0 处的切线与 x轴平行 即在 x 0处切线斜率为 0 即 f 0 2 a 1 0 a 1 2 f x 2 ex x a 令 g x 2 ex x a 则 g x 2 ex 1 0 g x 2 ex x a 在 0 内单调递增 g 0 2 1 a 当 2 1 a 0 即 a 1 时 f x 2 ex x a f 0 0 f x 在 0 内单调递增 要想 f x 0 只需要 f 0 5 a2 0 解得 a 从而 1 a 当 2 1 a 0 即 a0 解得 x x0 令 f x 0 解得 0 x x0 从而对 于 f x 在 x x0处的最小值 f x0 2 x0 a 2 3 又 x0 a f x0 2 2 3 1 3 从而应有 f x0 0 即 3 0 解得 0 x0 ln3 由 x0 a 可得 a x0 有 ln3 3 a 1 综上所述 ln3 3 a 2015辽宁丹东二模 导数与函数的最值 选择题 理 12 已知函数 f x a 1 x ax3在 1 1 的最小值为 1 则实数 a的取值范围是 A 1 4 B C 4 D 解析 当 a 0 时 f x x x 1 1 显然符合题意 排除 C 当 a 时 f x x3 x f x x2 1 所以 f x 在 1 1 上递减 所以 f x min f 1 1 满足题意 排除 D 当 a 1时 f x x3 2x f x 3x2 2 f x 在 1 1 上有最小值 f x min f 3 上的最小值 3 若对 x 2 kf x g x 恒成立 求实数 k 的取值范围 解 1 f x aex x 2 g x 2x b 由题意 两函数在 x 0处有相同的切线 f 0 2a g 0 b 2a b f 0 a g 0 2 a 2 b 4 f x 2ex x 1 g x x2 4x 2 2 f x 2ex x 2 由 f x 0 得 x 2 由 f x 0 得 x 3 t 1 2 当 3 t0 得 ex x ln 由 F x 0 得 x ln F x 在单调递减 在单调递增 当 lne2时 F x 在 2 单调递增 F x min F 2 2ke 2 2 e2 k 2 即 1 k0 满足 F x min 0 综上所述 满足题意的 k的取值范围为 1 e2 3 3 导数的综合应用导数的综合应用 专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根 2015河北保定二模 利用导数研究函数的零点或方程的根 解答题 理 21 设函数 f x mln x 1 若 m 0 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在 0 2 内存在两个极值点 求 m 的取值范围 解 1 函数 f x 的定义域为 0 f x 当 m 0 时 mx ex 0 所以当 0 x0 f x 单调递增 x 2 时 f x 0时 设函数 g x mx ex x 0 2 因为 g x m ex 当 0 m 1时 x 0 2 g x 0 g x 0 f x 单调递增 故 f x 在 0 2 内不存在两个极值点 当 m 1时 x 0 lnm 时 g x 0 函数 y g x 单调递增 x lnm 时 g x 0 函数 y g x 单调 递减 函数 y g x 的最大值为 g lnm m lnm 1 函数 f x 在 0 2 内存在两个极值点 当且仅当解得 e m 综上所述 函数 f x 在 0 2 内存在两个极值点时 m 的取值范围为 2015河北邯郸二模 利用导数研究函数的零点或方程的根 填空题 理 16 已知定义在区间 a a 2 上 的奇函数 y f x 当 0 x a 2 时 f x x 1 若方程 f x x3 cx恰有三个不相等的实数根 则实数 c 的 取值范围为 解析 f x 是定义在区间 a a 2 上的奇函数 a a 2 0 即 2a 2 0 a 1 即对应区间为 1 1 当 0 x 1 时 f x x 1 则当 1 x 0时 00 即函数 g x 在 0 1 上为增函数 此时在 0 1 上没有交点 不满足条件 若 c 0 当 g x 与 f x 在 0 1 上相切时 由 g x 得 3x2 c 即 3x2 c 由 x3 cx x 1 两个方程联立得 c x 即切点坐标为 当 g x 与 f x 不相切时 即 c 时 要使在 0 1 上 两个函数只有一个交点 则满足 g 1 0 即 1 c 0 解得 c 1 综上 c 或 c 1 答案 c 或 c0 对 x 1恒成立知 a 0 所以 3ax2 3 2a x a2 2 0 对 x 1 上恒成立 令 g x 3ax2 3 2a x a2 2 其对称轴为 x a 0 从而 g x 在 1 上为增函数 只要 g 1 0即可 即 a2 a 1 0 成立 解得 a 又 a 0 00 上有解 即求函数 g x xlnx x2 x3的值域 方法一 b x lnx x x2 令 h x lnx x x2 由 h x 1 2x x 0 当 0 x0 从而 h x 在 0 1 上为增函数 当 x 1 时 h x 0 从而 h x 在 1 上为减函数 h x h 1 0 而 h x 可以无穷小 b 的取值范围为 0 方法二 g x lnx 1 2x 3x2 g x 2 6x 当 0 x0 g x 在上递增 当 x 时 g x 0 g x 在上递减 又 g 1 0 令 g x0 0 0 x0 当 0 x x0时 g x 0 g x 在 0 x x0上递减 当 x0 x0 g x 在 x0 x1 时 g x 1 上递减 又当 x 时 g x g x xlnx x2 x3 x lnx x x2 x 当 x 0时 lnx 0 则 g x 0 且 g 1 0 b的取值范围为 0 专题 3 利用导数解决不等式的有关问题 2015江西宜春奉新一中高考模拟 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 函数 f x x2 mln x 1 1 若函数 f x 是定义域上的单调函数 求实数 m的取值范围 2 若 m 1 试比较当 x 0 时 f x 与 x3的大小 3 证明 对任意的正整数 n 不等式 e0 e 1 4 e 2 9 成立 解 1 根据题意 由 f x 2x 可知 f x 0或 f x 0在 1 上恒成立 下面分两种情况讨论 当 f x 0 在 1 上恒成立时 有 m 2x2 2x 2在 1 上恒成立 故 m 当 f x 0 在 1 上恒成立时 有 m 2x2 2x 2在 1 上恒成立 2在 1 上没有最小值 不存在实数 m 使 f x 0在 1 上恒成立 综上所述 实数 m 的取值范围是 2 当 m 1时 即函数 f x x2 ln x 1 令 g x f x x3 x3 x2 ln x 1 则 g x 3x2 2x 显然 当 x 0 时 g x 0 即函数 g x 在 0 上单调递减 又 g 0 0 所以当 x 0 时 恒有 g x g 0 0 即 f x x3 0恒成立 故当 x 0 时 有 f x x3 3 由 2 可知 x2 x3 ln x 1 x 0 所以 eln x 1 即 x 1 x 0 当 x取自然数时 有 n 1 n N 所以 e0 e 1 4 e 2 9 1 1 2 1 3 1 n 1 1 n 1 2 3 4 n n 2015河北衡水中学高三一调 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知 f x xln x g x 直线 l y k 3 x k 2 1 函数 f x 在 x e 处的切线与直线 l 平行 求实数 k 的值 2 若至少存在一个 x0 1 e 使 f x0 1时 f x 的图象恒在直线 l 的上方 求 k 的最大值 解 1 f x 1 lnx f e 1 lne k 3 k 5 2 由于存在 x0 1 e 使 f x0 x0lnx0 a 设 h x 则 h x 当 x 1 e 时 h x 0 仅当 x e 时取等号 h x 在 1 e 上单调递增 h x min h 1 0 因此 a 0 3 由题意 xlnx k 3 x k 2 在 x 1 时恒成立 即 k0 在 x 1 时恒成立 m x 在 1 上单调递增 且 m 3 1 ln30 在 1 上存在唯一实数 x0 x0 3 4 使 m x 0 当 1 x x0时 m x 0 即 F x x0时 m x 0 即 F x 0 F x 在 1 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 F x min F x0 x0 2 5 6 故 kx2 4 2x 8 解 1 f x ex a 由已知 f 0 1 f 0 1 故 a 2 b 2 所以 f x ex 2 当 x ln2 时 f x 0 故 f x 在 ln2 单调递减 在 ln2 单调递增 2 当 x 0 时 2 x 1 1 x 2 所以 x2 4 2x 8 x2 2 x 2 2x 8 x2 4 设 g x f x x2 4 ex x2 2x 2 g x ex 2x 2 因为 g 0 10 0 ln2 2 所以 g x 在 0 只有一个零点 x0 且 x0 0 2 2x0 2 当 x 0 x0 时 g x 0 即 g x 在 0 x0 单调递减 在 x0 单调递增 当 x 0时 g x g x0 2x0 2 4 0 即 f x x2 4 因此 f x x2 4 2x 8 2015辽宁丹东一模 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知 x 1 是函数 f x 1 1 x ln kx 的极值点 e为自然对数的底数 1 求 k 的值 并讨论 f x 的单调性 2 是否存在 m 1 使得当 a m 时 不等式 a x ln a x aexln a 对任意正实数 x 都成立 请说明 理由 解 1 f x ln kx 由题意 f 1 0 得 k 1 此时 f x 1 1 x lnx 定义域是 0 令 g x f x lnx g x g x 0 当 x 1 时 f x g x 0 f x 在 0 1 上是增函数 在 1 上是减函数 2 不等式 a x ln a x aexlna 可以化为 设 h x 则 h a x h a 即判断是否存在 m 1 使 h x 在 m 是减函数 h x 而 f0 f e 2 e 0 h x 在 0 1 和 1 上各有一个零点 分别设为 x1和 x2 列表 x 0 x1 x1 x1 x2 x2 x2 h x 0 0 h x 极小值 极大值 h x 在 x1 x2 是增函数 在 x2 是减函数 x2 1 存在这样的 m 值 且 m x2 2015辽宁葫芦岛二模 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知函数 f x aln x x2 x g x x2 a 1 x 1 若 f x 在 1 f 1