最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用 (4).docx

第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值专题1导数与函数的单调性(2015沈阳一模,理12,导数与函数的单调性,选择题)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)1,f(0)=4,则不等式f(x)3ex+1(e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+)B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(0,+)D.(3,+)解析:不等式f(x)3ex+1可化为exf(x)-ex-30;令F(x)=exf(x)-ex-3,则F(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1;f(x)+f(x)1,exf(x)+f(x)-10;故F(x)=exf(x)-ex-3在R上是增函数,又F(0)=14-1-3=0,故当x0时,F(x)F(0)=0;故exf(x)-ex-30的解集为(0,+),即不等式f(x)3ex+1(e为自然对数的底数)的解集为(0,+).答案:A(2015辽宁大连二十四中高考模拟,理9,导数与函数的单调性,选择题)定义在(0,+)上的单调递减函数f(x),若f(x)的导函数存在且满足f(x)f(x)x,则下列不等式成立的是()A.3f(2)2f(3)B.3f(4)4f(3)C.2f(3)3f(4)D.f(2)2f(1)解析:f(x)为(0,+)上的单调递减函数,f(x)x,f(x)-f(x)xf(x)0f(x)-f(x)xf(x)20xf(x)x0,f(x)0,f(x)3f(3)2f(3)-3f(2)f(2)f(3)02f(3)-3f(2)02f(3)3f(2),故A正确.答案:A(2015辽宁大连二十四中高考模拟,理12,导数与函数的单调性,选择题)已知f(x)=1+lnxx-1,g(x)=kx(kN*),对任意的c1,存在实数a,b满足0ab1时,h(x)0;当x1时,h(x)0,解得x52,此时函数f(x)单调递增;由f(x)0,解得1x0,f(2)最小,138-5+3+m=1,解得m=13.答案:B(2015辽宁鞍山一模,理12,导数与函数的最值,选择题)已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx2+12,对任意aR存在b(0,+),使f(a)=g(b),则b-a的最小值为()A.2e-1B.e2-12C.2-ln 2D.2+ln 2解析:令y=ea,则a=ln y,令y=lnb2+12,可得b=2ey-12.则b-a=2ey-12-ln y,(b-a)=2ey-12-1y.显然,(b-a)是增函数,观察可得当y=12时,(b-a)=0,故(b-a)有唯一零点.故当y=12时,b-a取得最小值为2ey-12-ln y=2e12-12-ln12=2+ln 2.答案:D3.3导数的综合应用专题2利用导数研究函数的零点或方程的根(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,理21,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题)已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)求f(x)在区间t,t+2(t0)上的最小值;(2)若存在两个不等实根x1,x21e,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)由已知得f(x)=ln x+1,x0,1e1e1e,+f(x)-0+f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当t1e时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,f(x)min=f(t)=tln t;当0t0,使方程g(x)=2exf(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为4a0),e为自然对数的底数.(1)过点A(2,f(2)的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x0时,求证:f(x)a1-1x;(3)在区间(1,e)上exa-e1ax0,即a1x-1x20,解得x1,所以g(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增.所以g(x)最小值为g(1)=0,所以f(x)a1-1x.(3)解:由题意可知exae1ax,化简得x-1ax-1lnx.令h(x)=x-1lnx,则h(x)=lnx-(x-1)1x(lnx)2,h(x)=lnx-1+1x(lnx)2.由(2)知,在x(1,e)上,ln x-1+1x0,h(x)0,即函数h(x)在(1,e)上单调递增,h(x)h(e)=e-1.ae-1.(2015辽宁大连二十四中高考模拟,理21,利用导数解决不等式的有关问题,解答题)已知函数f(x)=xlnxx+1和直线l:y=m(x-1).(1)当曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线l垂直时,求原点O到直线l的距离;(2)若对于任意的x1,+),f(x)m(x-1)恒成立,求m的取值范围;(3)求证:ln42n+10,g(x)g(1)=0,这与题设g(x)0矛盾;若m0,方程-mx2+x-m=0的判别式=1-4m2,当0,即m12时,g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递减,g(x)g(1)=0,即不等式成立.当0m12时,方程-mx2+x-m=0的两根为x1,x2(x10,g(x)单调递增,g(x)g(1)=0与题设矛盾.综上所述,m12.(3)证明:由(2)知,当x1,m=12时,ln x12x-1x成立.不妨令x=2k+12k-1(kN*),ln2k+12k-1122k+12k-1-2k-12k+1=4k4k2-1,14ln(2k+1)-ln(2k-1)k4k2-1,14(ln 3-ln 1)1412-1,14(ln 5-ln 3)2422-1,14ln(2n+1)-ln(2n-1)n4n2-1.累加可得:14ln(2n+1)i=1ni4i2-1(nN*),即ln42n+1i=1ni4i2-1(nN*).(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,理21,利用导数解决不等式的有关问题,解答题)已知a是实常数,函数f(x)=xln x+ax2.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,-2),求实数a的值;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),求证:-12af(x1)-12.(1)解:由已知可得,f(x)=ln x+1+2ax(x0),切点P(1,a),f(x)在x=1处的切线斜率为k=1+2a,切线方程:y-a=(2a+1)(x-1),把(0,-2)代入得a=1.(2)证明:依题意:f(x)=0有两个不等实根x1,x2(x10).当a0时,有g(x)0,所以g(x)是增函数,不符合题意;当a0,列表如下:x0,-12a-12a-12a,+g(x)+0-g(x)极大值依题意:g-12a=ln-12a0,解得-12a0,综上可得,-12af(x1).又f(1)=g(1)=1+2a0,故x1(0,1),由(1)知:ax1=-1-ln x12,f(x1)=x1ln x1+ax12=12(x1ln x1-x1)(0x11).设h(x)=12(xln x-x)(0x1),则h(x)=12ln xh(1)=-12,也就是f(x1)-12.综上所证:f(x2)f(x1)-12成立.3.4定积分与微积分基本定理专题2利用定积分求平面图形