文科 第七章 不等式 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题汇编.pdf

第 2 节 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题第 2 节 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 题型 82 二元一次不等式组表示的平面区域 1 2014 安徽文 13 不等式组 表示的平面区域的面积为 2 0 24 0 32 0 xy xy xy 1 解析解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分 由得 320 240 xy xy 8 2 x y 所以 直线与 轴的交点的坐标为 因此 0 2A 2 0B 8 2C 240 xy xD 4 0 故答案为 4 11 22224 22 ABCABDBCD SSS x 2y 4 0 x 3y 2 0 x y 2 0 4 2 2 2 D C B A O y x 2 2016 浙江文 4 若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间 则这 30 230 230 xy xy xy 两条平行直线间的距离的最小值是 A B C D 3 5 5 2 3 2 2 5 2 B 解析解析 画出不等式组所表示的平面区域如图所示 由 230 30 xy xy 得 1 2A 由 230 30 xy xy 得 2 1B 由题意可知当斜率为 1 的两条直线分别 O y x m x y 3 0 x 2y 3 0 2x y 3 0 y x 过点A和点B时 阴影部分夹在这两条直线之间 且与这两条直线有公共点 所以这两直线 为满足条件的距离最小的一对直线 即 22 122 12AB 故选 B 题型 83 求解目标函数的取值范围 或最值 1 2013 天津文 2 设变量 满足约束条件则目标函数的最xy 0 2 3 0 3 0 6 x xy y y 2zyx 小值为 A B C D 7 4 12 1 分析分析 作出可行域 平移直线 得出的最小值 2yx z 解析解析 作出可行域如图所示 平移直线 当直线过可行域内的点2yx 时 有最小值 故选 A 5 3Az min 32 57 z 2 2013 福建文 6 若变量满足约束条件的最大值和最小值分 x y 2 1 2 0 xy xzxy y 则 别为 A B C D 43和42和32和20和 2 分析分析 作出可行域 通过目标函数线的平移寻求最优解 解析解析 作出可行域如图阴影部分 作直线 并向右上平移 过点时20 xy A 取最小值 过点时取最大值 可求得 所以 zBz 1 0 2 0AB min 2z 故选 B max 4z 3 2013 四川文 8 若变量满足约束条件 且的xy 8 24 0 0 xy yx x y 5zyx 5 1 2 3 4 6 54321 2 1 A 5 3 O x y y 3 y x 2 y 3 x 6 2x y 0 x y 2 x 1 2 2 B AOx y y x 5 z 5 4 8 2 4 8642 4 4 x 2y 4 x y 8 O B A x y A Ox y y 2 y x y 2 x 最大值为 最小值为 则的值是 abab A B C D 48302416 3 分析 分析 先将不等式转化为 画出不等式组表示的平面区域 并24yx 24xy 找出目标函数的最优解 进而求得的值 55 xz y a b 解析解析 因为所以 8 24 0 0 xy yx x y 8 24 0 0 xy xy x y 由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分 由 得 5zyx 55 xz y 由图知目标函数 过点时 即 55 xz y 8 0A min 55 088zyx 8b 目标函数过点时 即 55 xz y 4 4B max 55 4416zyx 16a 所以 故选 C 16824ab 4 2013 陕西文 7 若点位于曲线与所围成的封闭区域 则的 xy yx 2y 2xy 最小值是 A B C D 6 2 02 4 解析解析 曲线与所围成的封闭区域如图阴影部分所示 yx 2y 当直线 向左平移时 的值在逐渐变小 当 通过点l2yx 2xy l 时 故选 A 2 2A min26xy 5 2013 安徽文 12 若非负数变量满足约束条件 则的最大值xy 1 24 xy xy xy 为 5 分析分析 先画出可行域 再画出目标函数线过原点时的直线 向上平移 寻找满足条件的最优解 代入即可得所求 解析解析 根据题目中的约束条件画出可行域 注意到 非负 得可行域xy 为如图所示的阴影部分 包括边界 作直线并向上平移 数形结 yx 合可知 当直线过点 时 取得最大值 最大值为 4 0Axy 4 6 2013 山东文 14 在平面直角坐标系中 为不等式组 所表示xOyM 236 0 2 0 0 xy xy y 的区域上一动点 则 的最小值时 OM 6 分析分析 画出不等式组表示的平面区域 数形结合求最值 解析解析 如图所示 为图中阴影部分区域上的一个动点 由于点到直线的距离最M 短 所以的最小值 OM 2 2 2 7 2013 广东文 13 已知变量 满足约束条件则的最大值xy 30 11 1 xy x y zxy 是 7 分析分析 画出线性的约束条件表示的平面区域 用图解法求最值 解析解析 画出平面区域如图阴影部分所示 由 得 表示直线zxy yxz z 在轴上的截距 由图知 当直线经过点时 目标函数取得yxz yyxz 1 4B 最大值 为 145z A B C x O y 143 21 1 2 x 2y 4 0 y x x y 1 0 321 2 1 2x 3y 6 0 x y 2 0 O x y 8 2014 天津文 2 设变量满足约束条件 则目标函数的最小 x y 2 0 2 0 1 xy xy y 2zxy 值为 A B C D 2345 9 2014 广东文 4 若变量满足约束条件 则的最大值等于 x y 28 04 03 xy x y 2zxy A B C D 781011 10 2014 湖北文 4 若变量满足约束条件 则的最大值是 x y 4 2 00 xy xy xy 2xy A B C D 2478 11 2014 新课标 文 9 设满足约束条件 则的最大值为x y 1 0 1 0 33 0 xy xy xy 2zxy A B C D 8721 12 2014 四川文 6 执行如图所示的程序框图 如果输入的 那么输出的的最 x y RS y x 3 y x y x O 12345 1 2 3 2 1 4 3 2 1 大值为 A B 01 C D 23 入 入 x y 1入 x 0入 y 0 入 入 入 入 S S 1 S 2x y 入 入 x入 y 入 入 13 2014 北京文 13 若 满足 则的最小为 xy 1 10 10 y xy xy 3zxy 13 解析解析 约束条件 表示的平面区域如图中阴影部分 作出基本直线 1 10 10 y xy xy 经平移可得在点处取得最小值 其最小值为 1 0 30lxy 3zxy 0 1A l0 3x y 0 x y 1 0 y 1 x y 1 0 1 1 1 C B A O y x 14 2014 大纲文 15 设 x y 满足约束条件 则的最大值 0 23 21 xy xy xy 4zxy 为 15 2014 辽宁文 14 已知 满足约束条件 则目标函数xy 22 0 24 0 33 0 xy xy xy 34zxy 的最大值为 16 2014 浙江文 12 若实数满足 则的取值范围是 x y 24 0 1 0 1 xy xy x xy 17 2014 湖南文 13 若变量满足约束条件 则的最大值yx 4 1 yx xy y yxz 2 为 18 2014 陕西文 18 本小题满分 12 分 在直角坐标系中 已知点 点在三边围成的xOy 1 1 2 3 3 2ABC P x yABC 区域 含边界 上 且 OPmABnAC mn R 1 若 求 2 3 mn OP 2 用表示 并求的最大值 yx nm nm 19 2015 全国 2 文 14 若 满足约束条件 则的最大值xy 50 210 210 xy xy xy yxz 2 为 19 解析解析 三个顶点为 及 代入得 11 2 3 3 2 2zxy O y 3x C B A y x y 2x 2 y 1 2 x 1 y x 2 1 1 1 O y x 当 时 3x 2y max 8Z 20 2015 全国 1 文 15 若满足约束条件 则的最大值 x y 20 210 220 xy xy xy 3zxy 为 20 解析解析 画出满足不等式组的可行域 如图中阴影部分所示 联立 得 1 1 2 2 yx yx 1 1B 由图可知当直线经过点时 3yx 1 1B 取得最大值 z max 1 34z 21 2015 湖南文 4 若变量 满足约束条件 则的最小值为xy 1 1 1 xy yx x 2zxy A B 0 C 1 D 21 21 解析解析 由约束条件作出可行域如图所示 1 1 1 xy yx x 由图可知 当直线过点时 纵截距最大 即2yxz A 此时有最小值 z 联立 解得 即 1 1 xy yx 0 1 x y 0 1A 所以 故选 A min 2 0 11z y 2x O A y x y 1 y x 4 y x y 1 3x O C B A y x y 1 y x 3 y x 1 22 2015 广东文 4 若变量 满足约束条件 则的最大xy 22 0 4 xy xy x 23zxy 值为 A B C D 25810 22 解析解析 画出满足不等式组的可行域 如图中阴影部分所示 联立 解得 由图可知当直线经过 4 22 x yx 4 1A 23zxy 点时 取得最大值 所以 故选 B 4 1A 23zxy max 2 4315z 23 2015 安徽文 5 已知满足约束条件 则的最大值是 x y 0 40 1 xy xy y 2zxy A B C D 11 2 5 23 解析解析 根据题意作出满足不等式组的可行域 如图中阴影部分所示 联立 解得 可得 1 yx y 1 1 x y 1 1A 目标函数变形为 由图可知 2yxz 当直线经过点时 取得最大值 故选 A 2yxz 1 1Az max 1 2 11z 24 2015 山 东 文 12 若 满 足 约 束 条 件则的 最 大 值xy 1 3 1 yx xy y 3zxy 3y 2x 0 A y x 2 1 x 4 y x y xO 为 24 解析解析 画出满足不等式组的可行域 如图中所示的阴影部分 由 可知 3zxy 11 33 yxz 联立 可得 1 3 yx yx 1 2A 由图可知 当直线经过点时 截距最大 此时 故应 11 33 yxz 1 2A max 1 3 27z 填 7 25 2015 湖北文 12 设变量 满足约束条件 则的最大值xy 4 2 30 xy xy xy 3xy 为 25 解析解析 首先根据题意所给的约束条件画出其表示 的平面区域如下图所示 然后根据图像可得 目标函数过点取得最大值 3zxy 31B 即 max 3 3 110z 26 2015 北京文 13 如图 及其内部的点组成的集合记为 为中任ABC D P x yD 意一点 则的最大值为 23zxy 26 解析解析 依题意 在点处取得最大值 7 23zxy 2 1A 3 1 2 2 4 4 3x y 0 x y 2 x y 4 O y x y x C 0 2 A 2 1 B 1 0 O C B A O y x y x 6 y 1 2x 7 y 2x 10 y x C 0 2 A 2 1 B 1 0 O 27 2015 四川文 9 设实数满足 则的最大值为 x y 210 214 6 xy xy xy xy A B C D 25 2 49 2 1214 27 解析解析 画出满足不等式组的可行域 如图中所示的阴影部分 易得 由图可知 若取得最大值 则动点一定在线段 2 6 4 2ABxy 或的第一象限部分 ABAC 若点在上 则 PAC 210 xyxx 当时有最大值 此时 5 2 x 25 2 5y 即点在上 若点在上 则在是关于的增函数 PACPAB 1 7 2 xyxx 0 2x 当取到最大值 所以当且仅当 时对应点落在线段上 取到最大值2x 12 5 2 x 5y AC 故选 A 25 2 28 2015 天津文 2 设变量 满足约束条件 则目标函数xy 20 20 280 x xy xy 3zxy 的 最大值为 A 7 B 8 C 9 D 14 28 解析解析 变量 满足约束条件所对应的区域如图所示 当目标函数xy 在点处取得最大值 故选 C 3zxy 2 39 29 2016 北京文 7 已知 若点在线段上 则的最大 2 5A 4 1B P x yAB2xy 值为 A B C D 1 378 29 C 解析 解法一 解析 解法一 先求得线段AB的方程是 92 24 yxx 因为点 P x y在线段AB上 所以2 2 92 494 497 24 xyxxxx 当且仅当4x 时 max 2 7xy 故选 C 解法二 解法二 依题意求得线段AB的方程是 92 24 yxx 在平面直角坐标系中画出线 段AB如图所示 当直线 2zxy 平移通过点B时 z有最大值 所以 max 7z 故选 C x y B 4 1 A 2 5 O 评注评注 本题的解法二是用线性规划知识求解的 2 3 8 4 O y x 30 2016 上海文 7 若满足 则的最大值为 x y 0 0 1 x y yx 2xy 30 2 解析解析 作出满足条件的规划区域 如图所示 设 2zxy 则当动直线 过点 0 1时 函数的最大值为 2 故填2 1 y x 1 x y O y 1 2x 1 2z 31 2016 全国甲文 14 若满足约束条件则的最小值为xy 10 30 30 xy xy x 2zxy 31 解析解析 解法一解法一 由题意得可行域如图所示 2zxy 在 3 4处取得最小值5 解法二解法二 由 10 30 xy xy 得 1 2 x y 点 1 2A 由 10 30 xy x 得 3 4 x y 点 3 4B 由 30 30 x xy 得 3 0 x y 点 3 0C 分别将A B C代入 2zxy 得 1 2 23 A z 32 45 B z 32 03 C z 所以 2zxy 的最小值为 5 32 2016 全国丙文 13 设 满足约束条件 则 xy 210 210 1 xy xy x 3 2 1 2 1 3O y x A 1 1 x 1 x 2y 1 0 z 2x 3y 5 2x y 1 0 O y x 的最小值为 235zxy 32 10 解析 解析 如图所示 可行域为ABC 及其内部 其中 1 0 1 1 C 1 3AB 直线 235zxy 过点B时取最小值10 33 2016 山东文 4 变量满足 则的最大值是 x y 2 239 0 xy xy x 22 xy A 4 B 9 C 10 D 12 33 C 解析 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 由 22 xy 是点 x y 到原点距离 的平方 故只需求出三条直线的交点 3 1 0 2 0 3 ABC 到原点距离的平方 然后再 进行比较 经计算 A 3 1 是最优解 22 xy 的最大值是10 故选 C x y 2 3 2 C B A O 34 2016 江苏文 12 已知实数满足 则的取值范围是 x y 240 220 330 xy xy xy 22 xy 34 4 13 5 解析 解析 在平面直角坐标系中作出可行域如图所示 22 xy 的含义为可行域内的点到原点距离的平方 可以看出图中A点距离原点最近 此时为原点A到直线2 20 xy 的距离 22 5 54 1 d 则 22 min 4 5 xy 图中B点距离原点最远 B点为 240 xy 与3 30 xy 交点 即 2 3B 则 22 max 13xy x 2y 4 0 2x y 2 0 3x y 3 0 B 2 3 A 1 2 x y O 35 2016 上海文 12 如图所示 已知 0 0O 1 0A 0 1B P 是曲线上一个动点 则的取值范围是 2 1yx OP BA uu u r uu r 35 1 2 解析解析 由题意设 P x y 故 1 1OP BAx yxy uu u r uu r 由线性规划的 有关知识知 1 2xy 故填 1 2 评注 评注 也可以设 cos sinP 0 则 cossinOP BA uu u r uu r 0 利用 三角有关知识求解 36 2017 全国 1 文 7 设 满足约束条件 则的最大值为xy 33 1 0 xy xy y zxy A 0B 1C 2D 3 36 解析解析 如图所示 目标函数经过时最大 故 故选 D zxy 3 0 A max 303z x 3y 3 x y 1 3 1 1 1 A y xO x P B A O y 37 2017 全国 2 文 7 设 满足约束条件 则的最小值是xy 233 0 233 0 3 0 xy xy y 2zxy A B C D 15 9 19 37 解析解析 如图所示 绘制不等式组表示的可行域 结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 故选 A 6 3B 12315z 38 2017 全国 3 文 5 设 x y 满足约束条件 则的取值范围是 326 0 0 0 xy x y zxy A B C D 3 0 3 2 0 2 0 3 38 解析解析 根据现行约束条件 画出可行域 如图所示 当目标函数经过点时 zxy 0 3A 当目标函数经过点时 故的取值 min 033z zxy 2 0B max 202z z 范围是 故选 B 3 2 评注评注 本题属于基本的线性规划类问题 一般会比较简单 3x 2y 6 0 B A O y x 39 2017 北京文 4 若 满足 则的最大值为 xy 3 2 x xy y x 2xy A 1 B 3 C 5 D 9 39 解析解析 令 则 其表示与 2zxy 1 22 z yx 1 2 yx 平行的一组直线 当在经过可行域平移时 截距 1 22 z yx 越大 的值越大 所以当平移到过点时 截距有最 z 33A 大值 即 故选 D max 3239z 40 2017 北京文 11 已知 且 则的取值范围是 0 x 0y 1xy 22 xy 40 解 析解 析 解 法 一 解 法 一 代 入 消 元 转 化 为 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题 所以当或 1 时 取得最大值 1 当 2 2222 1221 0 1xyxxxxx 0 x 时 取得最小值 因此的取值范围为 1 2 x 1 2 22 xy 1 1 2 解法二 解法二 利用数形结合 如图所示 表示线段 22 00dxy 上的动点到原点的距离 由图易知有 1AB xy PO 2 1 2 d 故有 22 1 1 2 xy 41 2017 山东文 3 已知 满足约束条件 则的最大值是 xy 25 0 3 0 2 xy x y 2zxy A B C D 3 1 13 41 解析解析 解法一 解法一 故选 D 2 2 4583zxyxyy x 2y 0 A 3 3 x 3 0 y x 0 x y 2 0 O x y d y x P B AO 解法二 解法二 由画出可行域及直线如图所示 平移发现 2 5 0 3 0 2 xy x x 20 xy 20 xy 当其经过直线与的交点时 2 50 xy 2y 1 2 最大值为 故选 D 2zxy 1 2 23z 42 2017 浙江 4 若 满足约束条件 则的取值范围是xy 0 3 0 20 x xy xy 2zxy A B C D 0 6 0 4 6 4 42 解析解析 如图所示 在点取到的最小值为 没有最大 22 xz y 2 1z22 14z 值 故 故选 D 4 z 3 3 x 2y 0 x 2y 0 x y 3 0 y x O 5 O y 3x x 3 y x 5 2 y x 2 y 2 题型 84 求解目标函数中参数的取值范围 或最值 1 2014 福建文 11 已知圆 平面区域 若 22 1Cxayb 7 0 3 0 0 xy xy y 圆心 且圆与轴相切 则的最大值为 C Cx 22 ab A B C D 5293749 2 2014 山东文 10 已知满足约束条件当目标函数 x y 1 0 23 0 xy xy zaxby 在该约束条件下取到最小值时 的最小值为 0 0ab 2 5 22 ab A B C D 5452 3 2014 新课标 文 11 设满足约束条件 且的最小值为 x y 1 xya xy zxay 7 则 a A B C 或 D 或5 35 353 题型 85 简单线性规划问题的实际运用 1 2013 湖北文 9 某旅行社租用 两种型号的客车安排名客人旅行 AB900AB 两种车辆的载客量分别为人和人 租金分别为元 辆和元 辆 旅行社要366016002400 求租车总数不超过辆 且型车不多于型车辆 则租金最少为 21BA7 A 元 B 元 C 元 D 元31200360003680038400 1 分析分析 先根据题意列出约束条件和目标函数 通过平移目标函数加以解决 解析解析 设租用型车辆 型车辆 目标函数为 则约束条件为AxBy16002400zxy 作出可行域 如图中阴影部分 3660900 21 7 xy xy yx x y N 所示 可知目标函数过点时 最小值 5 12 元 故选 C min 36800z 2 2014 四川文 10 已知为抛物线的焦点 点 在该抛物线上且位于轴的F 2 yx ABx 两侧 其中为坐标原点 则与面积之和的最小值是2OA OB OABO AFO A B C D 23 17 2 8 10 3 2014 浙江文 10 如图所示 某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击ABCA 训练 已知点到墙面的距离为 某目标点沿墙面上的射线移动 此人为了准AABPCM 确瞄准目标点 需计算由点观察点的仰角的大小 仰角为直线 AP 与平面 ABCPAP 所成角 若 则 的最大值是 15m 25m 30ABACBCM tan P M C B A A B C D 30 5 30 10 4 3 9 5 3 9 4 2014 湖北文 16 某项研究表明 在考虑行车安全的情况下 某路段车流量 单位时F 间内经过测量点的车辆数 单位 辆 小时 与车流速度 假设车辆以相同速度行驶 vv 单位 米 秒 平均车长 单位 米 的值有关 其公式为 l 2 76000 1820 v F vvl 如果不限定车型 则最大车流量为 辆 小时 6 05l 5 12 36x 60y 900 y xO R Q P y x 7 y x 21 y 2x C B O y x x y 0 mx y 0 x 2y 2 0 如果限定车型 则最大车流量比 中的最大车流量增加 辆 小时 5l 5 2015 重庆文 10 若不等式组 表示的平面区域为三角形 且其面积 20 220 20 xy xy xym 等于 则的值为 4 3 m A B C D 3 1 4 3 3 5 解析解析 因为平面区域为三角形且面积为可知 可得如图所示图形 4 1 3 又因为直线与垂直 20 xy 20 xym 设直线交点如图为 则 ABC 2422 33 mm A 所以 1 1Bmm 2 0C 1 2 3 m AB 所以 21BCm 1 2 ABC SAB BC A 2 14 33 m 所以 故选 B 1m 6 2015 福建文 10 变量满足约束条件 若的最大值为 2 x y 0 220 0 xy xy mxy 2zxy 则实数等于 m A B C D 2 1 12 6 解析解析 画出满足不等式组的可行域 如图中阴影部分所示 将目标函数变形为 当取最大值 2 时 2yxz z 则直线纵截距最小为 2 当时 直线纵截距最小为 0 不满足题意 0m O y x C B A 当时 联立 得 0m 0 220 mxy xy 22 21 21 m B mm 由图可知 当直线经过点时 取得最大值 2yxz Bz 把代入 得 解得1m 故选 C 22 21 21 m B mm 22yx 24 2 2121 m mm 7 2016 北京文 14 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况 第一天售出种商品 19 第二天售出种商品 第三天售出种商品 前两天都售出的商品有 种 后两天都售出13183 的商品有种 则该网店 1 第一天售出但第二天未售出的商品有 种 4 2 这三天售出的商品最少有 种 7 16 29 解析 解析 如图所示 区域 I II III分别表示只在第一天 第二天 第三天售出的商品 区域 IV V VI分别表示只在第一天与第二天 第二天与第三天 第一天与第三天售出的商品 区域VII表示在三天都售出的商品 又设区域 I II IIIVIIL 的商品数量分别为 1237 x x xxL 由题设可得 1467 19xxxx 2457 13xxxx 3567