最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第八章立体几何 (4).pdf

第八章第八章立体几何 8 1 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 专题 2 三视图与直观 图 2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟 三视图与直观图 选择题 理 7 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC 2 沿 BD 将三角形 ABD 折起 连接 AC 所得三棱锥 A BCD 的正视图和俯视图如图所示 则三棱 3 2 锥 A BCD侧视图的面积为 A B C D 9 25 18 25 36 25 12 5 解析 由正视图和俯视图可知平面 ABD 平面 BCD 三棱锥 A BCD侧视图为等腰直角三角形 两条直角边分别是过 A 和 C 向 BD 所作的垂线 如图 由等面积可得直角边长为 3 2 2 9 4 4 6 5 侧视图面积为 1 2 6 5 6 5 18 25 答案 B 8 2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 专题 1 空间几何体的表 面积 2015东北哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学三校一模 空间几何体的表面积 填空 题 理 14 三棱柱 ABC A1B1C1各顶点都在一个球面上 侧棱与底面垂直 ACB 120 CA CB 2 3 AA1 4 则这个球的表面积为 解析 在 ABC 中 ACB 120 CA CB 2 3 由余弦定理可得 AB 6 由正弦定理 可得 ABC 外接圆半径 r 2 3 设此圆圆心为 O 球心为 O 在 Rt OAO 中 得球半径 R 4 4 12 故此球的表面积为 4 R2 64 答案 64 2015辽宁鞍山一模 空间几何体的表面积 选择题 理 11 棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体 其中一个几何体的三视图如图所示 那么该几何体的表 面积是 A 12 4 6 B 17 C 12 2 6 D 12 解析 棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体 如图所示 截面为菱形 两条对角线长为 2 2 面积为 2 326 所以该几何体的表面积是 3 2 2 2 12 2 66 答案 C 专题 2 空间几何体的体 积 2015沈阳一模 空间几何体的体积 选择题 理 6 已知某几何体的三视图如图 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 A cm3B cm3C 2 cm3D 4 cm3 4 3 8 3 解析 由三视图可知 该几何体是底面为正方形 且边长为 2 cm 高为 2 cm 的四棱锥 如图 故 V 22 2 cm3 1 3 8 3 答案 B 2015辽宁大连二十四中高考模拟 空间几何体的表面积 选择题 理 13 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 解析 由三视图知该几何体为三棱柱去掉一个三棱锥的几何体 如图 三棱柱的高为 5 底面是直角边为 4 3 去掉的三棱锥是底面为直角三角形直角边为 4 3 高为 2 的 三棱锥 几何体的体积 V 4 3 5 4 3 2 26 1 2 1 3 1 2 答案 26 专题 3 组合体的 接 切 综合问题 2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟 组合体的 接 切 综合问题 填空题 理 16 已知 P A B C 是球 O球面上的四点 ABC 是正三角形 三棱锥 P ABC的体积为 且 APO BPO CPO 30 9 4 3 则球 O的表面积为 解析 如图 P A B C 是球面上四点 ABC 是正三角形 设 ABC 的中心为 S 球 O 的半径为 R ABC 的边长为 2a APO BPO CPO 30 OB OP R OS BS R 2 3 2 a R 解得 a R 2a R 23 3 3 2 3 4 3 2 三棱锥 P ABC的体积为 9 4 3 R Rsin 60 R 解得 R 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 9 4 3 球 O的表面积 S 4 R2 16 答案 16 2015辽宁大连二十四中高考模拟 组合体的 接 切 综合问题 选择题 理 8 已知菱形 ABCD 的边 长为 3 B 60 沿对角线 AC 折成一个四面体 使得平面 ACD 平面 ABD 则经过这个四面体所有 顶点的球的表面积为 A 15 B C D 6 15 4 15 解析 如图所示 设球心为 O OF x 则 CF EF 3 3 2 R2 x2 2 3 33 2 2 3 2 2 x R2 3 2 15 4 球的表面积为 15 答案 A 8 3 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 专题 3 异面直线所成的 角 2015沈阳一模 异面直线所成的角 填空题 理 16 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 BC AC A 3 AC 4 AA1 4 M为 AA1的中点 点 P 为 BM 中点 Q 在线段 CA1上 且 A1Q 3QC 则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为 解析 以 C为原点 CA 为 x轴 CB 为 y 轴 CC1为 z 轴 建立空间直角坐标系 则由题意得 A 4 0 0 C 0 0 0 B 0 4 0 M 4 0 2 A1 4 0 4 P 2 2 1 4 0 4 1 0 1 33 1 4 1 1 4 Q 1 0 1 4 0 0 1 2 0 3 设异面直线 PQ 与 AC 所成角为 cos cos 4 413 13 13 sin 1 1 13 239 13 答案 239 13 2015东北哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学三校一模 异面直线所成的角 选择题 理 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 若粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A 6B 8C 10D 12 解析 由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥 其中平面 VAB 平面 ABC VE AB CD AB 且 AB 5 VE 3 CD 4 则该三棱锥的体积 V AB CD VE 5 4 3 10 1 3 1 2 1 3 1 2 答案 C 8 5 直线 平面垂直的判定与性质直线 平面垂直的判定与性质 专题 2 直线与平面垂直的判定与 性质 2015辽宁鞍山一模 直线与平面垂直的判定与性质 选择题 理 4 已知空间中不共面的四点 A B C D及平面 下列说法正确的是 A 直线 AB CD 可能平行 B 直线 AB CD 可能相交 C 直线 AB CD 可能都与 平行 D 直线 AB CD 可能都与 垂直 解析 由题意 AB CD 不共面 故 A B 不正确 经过 AC BD AD BC 中点的平面与 AB CD 平行 故 C 正确 直线 AB CD 都与 垂直 可得 AB与 CD 平行 故 D 不正确 答案 C 8 7 空间几何中的向量方法空间几何中的向量方法 专题 2 利用空间向量解决探索性 问题 2015沈阳一模 利用空间向量解决探索性问题 解答题 理 18 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方 形 SD 平面 ABCD SD AD a 点 E 是 SD 上的点 且 DE a 0 1 1 求证 对任意的 0 1 都有 AC BE 2 若二面角 C BE A 的大小为 120 求实数 的值 解 1 证明 以 D 为原点 DA DC DS 为 x y z 轴 如图建立空间直角坐标系 D xyz 则 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 D 0 0 0 E 0 0 a a a 0 a a a 0 对任意 0 1 都成立 即 AC BE 恒成立 2 设平面 ABE的一个法向量为 n1 x1 y1 z1 0 a 0 a 0 a 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 取 z1 1 则 x1 n1 x1 y1 z1 0 1 设平面 BCE 的一个法向量为 n2 x2 y2 z2 a 0 0 a a a 2 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 0 取 z2 1 则 y2 n2 0 1 二面角 C BE A的大小为 120 cos 1 2 1 2 1 1 2 1 2 又 0 1 1为所求 专题 3 利用空间向量求空 间角 2015辽宁大连二十四中高考模拟 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ABB1A1为矩形 AB 2 AA1 D 是 AA1的中点 BD 与 AB1交 2 于点 O 且 CO 平面 ABB1A1 1 证明 BC AB1 2 若 OC OA 求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 解 1 证明 由题意 因为四边形 ABB1A1是矩形 D为 AA1中点 AB 1 AA1 AD 2 2 2 所以在直角三角形 ABB1中 tan AB1B 1 2 2 在直角三角形 ABD 中 tan ABD 2 2 所以 AB1B ABD 又 BAB1 AB1B 90 BAB1 ABD 90 所以在三角形 ABO 中 BOA 90 即 BD AB1 又因为 CO 平面 ABB1A1 AB1 平面 ABB1A1 所以 CO AB1 所以 AB1 面 BCD 因为 BC 面 BCD 所以 BC AB1 2 如图 分别以 OD OB1 OC 所在的直线为 x y z 轴 以 O 为原点 建立空间直角坐标系 则 A B C B1 D 0 3 3 0 6 3 0 0 0 0 3 3 0 23 3 0 6 6 0 0 又因为 2 所以 C1 1 6 3 23 3 3 3 所以 6 3 3 3 0 0 3 3 3 3 1 6 6 23 3 3 3 6 6 0 3 3 设平面 ABC 的法向量为 n x y z 则根据可得 n 1 是平面 ABC的一个法向量 6 3 3 3 0 3 3 3 3 0 22 设直线 CD 与平面 ABC所成角为 则 sin 15 5 所以直线 CD 与平面 ABC所成角的正弦值为 15 5 2015东北哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学三校一模 利用空间向量求空间角 解 答题 理 19 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 PA 底面 ABCD E F 分别为 AB PC 的 中点 1 求证 EF 平面 PAD 2 若 PA 2 试问在线段 EF 上是否存在点 Q 使得二面角 Q AP D 的余弦值为 若存在 确定点 Q 的 5 5 位置 若不存在 请说明理由 解 1 证明 取 PD 中点 M 连接 MF MA 在 PCD 中 F为 PC 的中点 MF DC 1 2 在正方形 ABCD 中 E 为 AB中点 AE DC AE MF 1 2 故四边形 EFMA为平行四边形 EF AM 又 EF 平面 PAD AM 平面 PAD EF 平面 PAD 2 结论 满足条件的 Q 存在 是 EF 中