河北省邯郸市永年县永年二中高考数学二轮复习 专题一 最值问题 理（含解析）.doc

永年二中高三理科数学二轮专题一最值问题一、三角函数中的最值问题1函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为() a2 b0 c1 d1 解：当0x9时，sin 1， 所以函数的最大值为2，最小值为，其和为2.答案：a2、函数ysin2xsin x1的值域为()a1,1 b. c. d. 解:ysin2xsin x1，令sin xt，则有yt2t1，t1,1，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1，可得y3已知函数f(x)sin6sinxcosx2cos2x1，xr.求f(x)在区间上的 最大值和最小值解析：f(x)sin2xcoscos2xsin3sin2xcos2x2sin2x2cos2x2sin.因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)2，f2，f2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为2.8、已知函数f(x)cosxsin2x，求f(x)的最大值。 解析：由题意知f(x)2cos2xsinx2(1sin2x)sinx. 令tsinx，t1,1，则g(t)2(1t2)t2t2t3.令g(t)26t20，得t. 当t1时，函数值为0；当t时，函数值为； 当t时，函数值为.g(t)max，即f(x)的最大值为.9当0x时，函数f(x)的最小值为()a2 b2 c4 d4解析：f(x)24，当且仅当，即tanx时，取等号0x，存在x使tanx，这时f(x)min4. 答案：c10已知函数f(x)2sinx(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于() a. b. c2 d3解析：x，则x，要使函数f(x)在上取得最小值2，则或，得，故的最小值为. 答案：b11将函数ycosxsinx(xr)的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是() a. b. c. d. 解析：ycosxsinx2sin，函数ycosxsinx(xr)的图像向左移m(m0)个单位长度后，变为函数y2sin的图像又所得到的图像关于y轴对称，则有mk，kz，mk，kz.m0，当k0时，m的最小值为. 答案：b二、数列中的最值问题1.设满足约束条件，则的最小值是（ ）图1a. b. c. d.解：选b.由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图1,平移直线，由图象可知当直线经过点b时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选b.2.在平面直角坐标系xoy中，m为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线om斜率的最小值为（ ）a.2 b.1 c. d.图2解析: 作出可行域如图,由图3可知当m位于点d处时，om的斜率最小.由 得，即,此时om的斜率为. 故选c。抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为d(包含三角形内部和边界).若点是区域d内的任意一点,则的取值范围是. 解析：由得抛物线在处的切线方程为图3即，即得可行域如图3中阴影，目标函平移目标函数经过点a时最小经过点b时最大，故的取值范围是三、圆中的最值问题1已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54 b.1 c62 d.解析两圆圆心均在第一象限位于x轴的同侧，先求|pc1|pc2|的最小值，作c1关于x轴的对称点c1(2，3)，所以(|pc1|pc2|)min|c1c2|5，从而(|pm|pn|)min5(13)54.2.已知圆c：(x3)2(y4)21和两点a(m,0)，b(m,0)(m0)，若圆c上存在点p，使得apb90，则m的最大值为()a7b6 c5d4解：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心c的坐标为(3,4)，半径r1，且|ab|2m.因为apb90，连接op，易知|op|ab|m.要求m的最大值，即求圆c上的点p到原点o的最大距离因为|oc|5，所以|op|max|oc|r6，即m的最大值为6.3.已知圆o：x2y24，直线x3y100上有一动点p，过点p作圆o的一条切线，切点为a，则的最小值是()a2b4 c6d8解、圆心o到直线x3y100的距离d2，所以直线和圆相离因为pa与圆o相切，所以paoa，故0.又，所以()22.又paoa，所以2|2|2|2|24.显然|的最小值是点o到直线x3y100的距离d，所以的最小值为()246.故选c.4.过点(，0)引直线l与曲线y相交于a、b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于()a. b c d图4解析saob|oa|ob|sinaobsinaob.当aob时，saob面积最大此时o到ab的距离d.设ab方程为yk(x)(k1)上的任意一点，ab是圆g：x2(y2)2的一条直径(a，b是端点)，的最大值是.求椭圆的方程；解、设点c的坐标为(x，y)，则y21，连接cg，由，又g(0,2)，可得22x2(y2)2a(1y2)(y2)2(a1)y24ya，其中y1,1因为a1，故当y1，即11，即a3时，的最大值是，由条件得，即a27a100，解得a5或a2(舍去)综上所述，椭圆的方程是y21.3若点o和f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为()a2 b3 c6 d8解、设p(x0，y0)，则1，即y3，又因为f(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即2,6，所以()max6.答案c4.已知抛物线y24x，圆f：(x1)2y21，过点f作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点a，b，c，d(如图6所示)，则|ab|cd|的值正确的是()a等于1 b最小值是1 c等于4 d最大值是4图6解、设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40. 设a(x1，y1)，d(x2，y2)，根据抛物线定义|af|x11，|df|x21，故|ab|x1，|cd|x2，所以|ab|cd|x1x2.而y1y24，代入上式，得|ab|cd|1，故选a. 5若c(，0)，d(，0)，m是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解、由椭圆y21，知c2413，c，c，d是该椭圆的两焦点令|mc|r1，|md|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案16已知抛物线y24x，过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x4，代入y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，yy161632.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x4)，与y24x联立，消去x得ky24y16k0，由题意知k0，则y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.综合(1)(2)知(yy)min32.五、向量中的最值问题图71、在直角坐标系xoy中，已知点a(1,1)，b(2,3)，c(3,2)，点p(x，y)在abc三边围成的区域(含边界)上 .设mn(m，nr)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解：mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx.令yxt，由图7知，当直线yxt过点b(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.2.已知正三角形abc的边长为1，点p是ab边上的动点，点q是ac边上的动点，且，(1)，r，则的最大值为()a. b c. d图8解析如图8，()()(1)()2(1)2(1)(21)cos6012，01，所以当时，的最大值为，选d.六、数列中的最值问题1.设正项等差数列an的前2 014项和等于2 014，则的最小值为_解、由题意可得an0，因为数列an为等差数列，故其前2 014项和为s2 0142 014，解得a1a2 0142.由等差数列的性质可得a3a2 012a1a2 014，所以a3a2 0122.所以1.因为a30，a2 0120，所以2 2，当且仅当，即a3a2 012，也就是等差数列an的公差为0时取等号所以212.2、正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，则的最小值为()a. b. c. d.解析由a3a22a1，得q2q2，q2(q1舍去)，由aman16a得2m12n116，mn24，mn6，所以.3.已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为sn，若asnb对nn*恒成立，则ba的最小值为_解、易得sn1n，而ysn在上单调递增，所以ya，b，因此ba的最小值为.七解三角形中的最值问题1、已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a2，且(2b)(sinasinb)(cb)sinc，则abc面积的最大值为_解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)c.a2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc.由余弦定理，得cosa.sina.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4.sabcbcsina，即(sabc)max. 2在锐角abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，且4sin2cos2a.(1)求角a的大小；(2)若bc边上高为1，求abc面积的最小值解(1)因为abc，所以sinsincos，所以由已知得4cos2cos2a，变形得2(1cosa)(2cos2a1)，整理得(2cosa1)20，解得cosa.因为a是三角形的内角，所以a.(2)abc的面积sbcsina.设y4sinbsinc，则y4sinbsin2sinbcosb2sin2bsin2b1cos2b2sin1.因为0b，0b，所以b，从而2b，故当2b，即b时，s的最小值为.3 abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a