最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第九章解析几何 (2).docx

第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015河北石家庄高三质检二,直线与圆的位置关系,选择题,理8)若圆(x-5)2+(y-1)2=r2(r0)上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1,则实数r的取值范围为()A.4,6B.(4,6)C.5,7D.(5,7)解析:利用圆的几何性质求解,因为圆心(5,1)到直线4x+3y+2=0的距离为|20+3+2|5=5,又圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离为1,则4rb0)的两个焦点分别为F1,F2,设P为椭圆上一点,F1PF2的外角平分线所在的直线为l,过点F1,F2分别作l的垂线,垂足分别为点R,S,当P在椭圆上运动时,R,S所形成的图形的面积为.解析:结合椭圆的概念,利用角平分线的对称性求解.延长F1R交F2P的延长线于点R,则|F1R|=|RR|,|F1P|=|PR|,所以|RF2|=|RP|+|PF2|=|F1P|+|PF2|=2a.因为R,O分别是F1R,F1F2的中点,所以|OR|=a.同理可得|OS|=a.因此R,S的轨迹是以原点O为圆心,以a为半径的圆,其方程为x2+y2=a2,故R,S所形成的图形的面积为a2.答案:a2专题2椭圆的几何性质(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,椭圆的几何性质,选择题,理11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.23,1D.13,1212,1解析:满足题意的点P可以是短轴的两个端点.由对称性,考虑点F1是相应的等腰三角形的顶点,则有|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2a-2c,|PF1|+|F1F2|PF2|,即有4c2a-2c且a2c(否则,若a=2c,则满足题意的点P有且仅有两个),ca13且ca12,因此所求的椭圆的离心率的取值范围是13,1212,1,故选D.答案:D(2015江西九校高三联考,椭圆的几何性质,选择题,理11)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AFBF,设ABF=,且6,4,则该椭圆离心率e的取值范围为()A.22,3-1B.22,1C.22,32D.33,63解析:记椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则有四边形AFBF1是矩形,|AF|=2csin,|AF1|=2ccos,该椭圆的离心率e=2c|AF1|+|AF|=1sin+cos=12sin+4.由6,4得+4512,2,sin+46+24,1,2sin+43+12,2,e22,3-1,故选A.答案:A专题3直线与椭圆的位置关系(2015河北保定一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,离心率为22,过右焦点F的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(MP+MQ)(MP-MQ)=0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由椭圆短轴长为2得b=1,又e=a2-1a=22,a=2,所求椭圆方程为x22+y2=1.(2)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1),使得(MP+MQ)(MP-MQ)=0成立.即|MP|2-|MQ|2=0或|MP|=|MQ|.当lx轴时,显然线段OF上的点都满足条件,此时0m1;当l与x轴重合时,显然只有原点满足条件,此时m=0;当l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),点P(x1,y1),Q(x2,y2).由x2+2y2=2,y=k(x-1)得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),其中x2-x10,(x1+x2-2m,y1+y2)(x2-1,y2-y1)=0(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=04k21+2k2-2m+k24k21+2k2-2=02k2-(2+4k2)m=0m=k21+2k2=12+1k2(k0).0m12.综上所述,当lx轴时,存在0m1适合题意;当l与x轴重合时,存在m=0适合题意;当l的斜率存在且不为零时,存在0mb0)的上顶点为A,P43,b3是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知FAFP=0,c2-43c+b23=0.又点P在椭圆C上,169a2+b29b2=1,a2=2.又b2+c2=a2=2,联立,解得c=1,b2=1,故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程.消去y整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)方程(*)有且只有一个实根,又2k2+10,所以=0,得m2=2k2+1,假设存在M1(1,0),M2(2,0)满足题设,则d1d2=|(1k+m)(2k+m)|k2+1=|12k2+(1+2)km+2k2+1|k2+1=(12+2)k2+(1+2)km+1k2+1=1对任意的实数k恒成立,所以12=-1,1+2=0,解得1=1,2=-1或1=-1,2=1.当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.综上所述,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.(2015河北衡水中学二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且过点(2,2).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-b2a2.求OAOB的最值;求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)由题意知e=ca=22,4a2+2b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2=8得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,(*)x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kOAkOB=-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12.y1y2=-12x1x2=-122m2-81+2k2=-m2-41+2k2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.OAOB=x1x2+y1y2=2m2-81+2k2-m2-41+2k2=m2-41+2k2=4k2+2-41+2k2=2-41+2k2,-2=2-4OAOB2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,OAOB取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,OAOB=2,OAOB的最大值为2.证明:设原点到直线AB的距离为d,则SAOB=12|AB|d=121+k2|x2-x1|m|1+k2=|m|2(x1+x2)2-4x1x2=|m|2-4km1+2k22-42m2-81+2k2=|m|264k2m2-16(m2-4)m2=24k2-m2+4=22,S四边形ABCD=4SAOB=82.即四边形ABCD的面积为定值.(2015江西九校高三联考,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,从两条曲线上各取两个点,将其坐标混合记录于下表中:x-2269y3-2-13(1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程;(2)过椭圆C1右焦点F的直线l与此椭圆相交于A,B两点,若点P为直线x=4上任意一点.试证:直线PA,PF,PB的斜率成等差数列;若点P在x轴上,设FA=FB,-2,-1,求|PA+PB|取最大值时的直线l的方程.解:(1)设抛物线方程为y2=mx,分别将四个点代入解得m=-32,m=1,m=66,m=1,故抛物线方程为y2=x.点(2,-2)和(9,3)在抛物线上,因此(-2,3),(6,-1)两个点为椭圆C1上两点,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,将上述两个点坐标代入解得a2=8,b2=4.故椭圆方程为x28+y24=1.(2)证明:设AB:x=ty+2,代入x2+2y2-8=0,消去x,可得(t2+2)y2+4ty-4=0.y1+y2=-4tt2+2,y1y2=-4t2+2,不妨令P(4,y0),则有kPA+kPB=y0-y12-ty1+y0-y22-ty2=4y0-(2+ty0)(y1+y2)+2ty1y24-2t(y1+y2)+t2y1y2=y0=2kPF.直线PA,PF,PB的斜率成等差数列.FA=FB,y1y2=,且0),抛物线C2:x2=4(y-b).过点F(0,b+1)作x轴的平行线,与抛物线C2在第一象限的交点为G,且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l:y=kx与椭圆C1相交于C,D两点,其中点C在第一象限,点A在椭圆C1的右顶点,求四边形ACFD面积的最大值及此时l的方程.解:(1)由x2=4(y-b)得y=14x2+b,令y=b+1,得x=2,G点的坐标为(2,b+1),则y=12x,y|x=2=1.过点G的切线方程为y-(b+1)=x-2,即y=x+b-1.令y=0,得x=1-b=0,b=1.椭圆的方程为x24+y2=1.(2)依题意有k0,设C(xC,kxC),由x24+y2=1,y=kx得(1+4k2)x2-4=0,xC=21+4k2,S四边形ACFD=SCFD+SCDA=12|OF|2xC+12|OA|2kxC=2(1+k)xC=4(1+k)1+4k2=4(1+k)21+4k2.(*)令t=1+k,k=t-1,t(1,+),1t(0,1),则(1+k)21+4k2=151t2-81t+454,当且仅当t=54,k=14时,等号成立.S四边形ACFD25,四边形ACFD面积的最大值为25.此时l的方程为y=14x.(2015江西南昌二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知圆C1:x2+y2=r2(r0)的一条直径是椭圆C2:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴,过椭圆C2上一点D1,32的动直线l与圆C1相交于点A,B,弦AB长的最小值是3.(1)求圆C1和椭圆C2的方程;(2)椭圆C2的右焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线m,n,设直线m交圆C1于点P,Q,直线n与椭圆C2交于点M,N,求四边形PMQN面积的取值范围.解:(1)当l垂直于OD时|AB|最小,因为|OD|=1+94=132,所以r=134+322=2,因为圆C1:x2+y2=r2(r0)的一条直径是椭圆C2的长轴,所以a=2.又点D在椭圆C2:x2a2+y2b2=1(ab0)上,所以14+94b2=1b=3,所以圆C1的方程为x2+y2=4,椭圆C2的方程为x24+y23=1.(2)椭圆C2的右焦点F的坐标是(1,0),当直线n垂直于x轴时,|PQ|=23,|MN|=4,四边形PMQN的面积S=43;当直线n垂直于y轴时,|PQ|=4,|MN|=3.四边形PMQN的面积S=6.当直线n不垂直于坐标轴时,设n的方程为y=k(x-1)(k0),此时直线m的方程为y=-1k(x-1),圆心O到直线m的距离为d=1k2+1,所以|PQ|=2r2-d2=24k2+3k2+1,将直线n的方程代入椭圆C2的方程得到(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.|MN|=(1+k2)8k24k2+32-44k2-124k2+3,所以四边形PMQN的面积S=12|PQ|MN|=64k44k2+3-16k2+48=-48k24k2+3+48=43-14+3k2+1(6,43),综上,四边形PMQN的面积的取值范围是6,43.(2015江西赣州高三摸底考试,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-34.(1)求E的方程;(2)过E的右焦点F作直线与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,设ACD与AMN的面积分别记为S1,S2,求2S1-S2的最小值.解:(1)设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),则y02=b2a2(a2-x02),kPAkQA=y0x0-ay0x0+a=y02x02-a2=-b2a2,依题意有b2a2=34,又c=1,所以解得a2=4,b2=3,故E的方程为x24+y23=1.(2)设直线MN的方程为x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,直线MA的方程为y=y1x1-2(x-2),把x=3代入得yC=y1x1-2=y1my1-1,同理yD=y2my2-1,所以|CD|=|yC-yD|=|y1-y2|m2y1y2-m(y1+y2)+1|=3m2+1,所以S1=12|CD|=32m2+1,S2=12|AF|y1-y2|=6m2+13m2+4,令m2+1=t(t1),则m2=t2-1,所以2S1-S2=3t-6t3t2+1,记f(t)=3t-6t3t2+1,则f(t)=3+6(3t2-1)(3t2+1)20,所以f(t)在1,+)上单调递增,所以f(t)的最小值为f(1)=32,故2S1-S2的最小值为32.(2015河北石家庄高三质检一,直线与椭圆的位置关系,解答题,理21)定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足BP=2PA.(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求OMON的最大值.解:(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由BP=2PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即x=2(x0-x),y-y0=-2yx0=32x,y0=3y.又因为x02+y02=9,所以32x2+(3y)2=9.化简得x24+y2=1,故点P的轨迹方程为x24+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,OMON=(2,0)(-2,0)=-4.当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设直线方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x24+y2=1,x=ty+1,化简得(t2+4)y2+2ty-3=0,则=4t2+12(t2+4)=16t2+480恒成立,由韦达定理得y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4.所以OMON=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-3t2+4+t-2tt2+4+1=-4t2+1t2+4=-4(t2+4)+17t2+4=-4+17t2+4.当t=0时,(OMON)max=14.综上所述,OMON的最大值为14.9.6双曲线专题1双曲线的定义与标准方程(2015江西南昌二模,双曲线的定义与标准方程,填空题,理16)过原点的直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-3,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,FAFB=0,则双曲线C的方程是.解析:如图所示,设双曲线的右焦点为F2(3,0),连接F2A,F2B,由双曲线的对称性和FAFB=0知四边形AFBF2为矩形,由|FA|+|FB|=4得|FA|+|AF2|=4,又因为|FA|-|AF2|=2a,所以|FA|=2+a,|F2A|=2-a,由|F2A|2+|FA|2=(2-a)2+(2+a)2=(23)2,得a2=2,b2=1,所以双曲线的方程为x22-y2=1.答案:x22-y2=1专题2双曲线的几何性质(2015河北保定一模,双曲线的几何性质,填空题,理13)双曲线2x2-y2=1的离心率为.解析:由题设知a2=12,b2=1,所以e=1+ba2=1+2=3.答案:3(2015河北石家庄二中一模,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上任一点,且PF1PF2的最小值的取值范围是-34c2,-12c2,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.2,2C.(1,2D.2,+)命题立意:本题考查双曲线的几何性质、平面向量数量积的坐标运算,难度中等.解析:设P(m,n),则m2a2-n2b2=1,即m2=a21+n2b2.又F1(-c,0),F2(c,0),所以PF1=(-c-m,-n),PF2=(c-m,-n),所以PF1PF2=(-c-m,-n)(c-m,-n)=m2+n2-c2=a21+n2b2+n2-c2=n21+a2b2+a2-c2a2-c2,当且仅当n=0时取等号,由题意得-34c2a2-c2-12c2,即-34e21-e2-12e2,解得2e24,所以2e2.故选B.答案:B(2015河北衡水中学二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),设A,B为双曲线上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上,直线AB的斜率为377,则双曲线的离心率为()A.3B.5C.2D.4解析:设点A(x0,y0)在第一象限.原点O在以线段MN为直径的圆上,OMON,又M,N分别为AF,BF的中点,AFBF,即在RtABF中,OA=OF=2.直线AB的斜率为377,x0=72,y0=32,代入双曲线x2a2-y2b2=1中得74a2-94b2=1.又a2+b2=4,解得a2=1,b2=3,双曲线的离心率为2,故选C.答案:C(2015河北石家庄高三质检二,双曲线的几何性质,填空题,理13)双曲线4x2-y2=1的渐近线方程为.解析:利用双曲线的基本量求解.因为双曲线x214-y2=1,a=12,b=1,所以渐近线方程为y=bax=2x,即为2xy=0.答案:2xy=0(2015江西南昌一模,双曲线的几何性质,选择题,理7)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为3,则双曲线C的离心率为()A.2或3B.2或233C.233D.2解析:对焦点所在的轴进行讨论.由题意可得双曲线的一条渐近线方程为y=3x.当双曲线的焦点在x轴上时,ba=3,此时离心率e=ca=a2+b2a2=1+ba2=2;当双曲线的焦点在y轴上时,ab=3,ba=13,此时离心率e=ca=a2+b2a2=1+ba2=1+13=233,所以双曲线C的离心率为2或233.故选B.答案:B(2015江西赣州高三摸底考试,双曲线的几何性质,选择题,理4)已知双曲线x2-y2b=1的两条渐近线的夹角为60,且焦点到一条渐近线的距离大于221+b,则b=()A.3B.13C.3D.33解析:双曲线的两条渐近线方程为y=bx,设焦点(c,0)到一条渐近线的距离为bc1+(-b)2=bcc=b,即有b221+b,解得b1.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为,则tan=b1,所以45,于是由题意知=60,所以tan=b=3,即b=3,故选A.答案:A9.7抛物线专题1抛物线的定义与标准方程(2015河北唐山一模,抛物线的定义与标准方程,选择题,理3)已知抛物线的焦点F(a,0)(a0),则抛物线的标准方程是()A.y2=2axB.y2=4axC.y2=-2axD.y2=-4ax解析:先通过抛物线的焦点位置,确定抛物线标准方程的形式,然后再求未知参数p的值.因为抛物线的焦点为F(a,0)(a0),则p=-2a,所以抛物线的标准方程为y2=4ax.故选B.答案:B专题2抛物线的几何性质(2015河北石家庄一模,抛物线的几何性质,选择题,理9)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点F,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1+3D.1+2解析:因为抛物线的焦点F恰好是双曲线的焦点,所以p2=c,根据两条曲线的对称性可知,两条曲线的公共弦是它们公共的通径,而抛物线的通径长度为2p,双曲线的通径长度为2b2a,则2b2a=4c,即c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0(e1),e=1+2,故选D.答案:D(2015河北唐山一模,抛物线的几何性质,选择题,理10)F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若2AF=FB,则C的离心率是()A.2B.2C.233D.143解析:由题意得OABA且2AF=BF,过点F作OB的垂线,垂足为点C,则CF=AF,在RtBCF中,BF=2CF,所以CBF=30,则AOB=60,BOF=12AOB=30,所以ba=tan30=33,则c2-a2a2=13,e2=43,e=233,故选C.答案:C(2015河北石家庄高三质检一,抛物线的几何性质,选择题,理4)已知双曲线x2a2-y24=1(aR)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的离心率为()A.35B.533C.53D.355解析:由题意得抛物线的焦点坐标为(3,0),所以a2+4=9,解得a=5,则双曲线的离心率e=ca=355,故选D.答案:D专题3直线与抛物线的位置关系(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,抛物线的几何性质,解答题,理20)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=423.(1)求抛物线E的方程;(2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且OAOB=94(其中O为坐标原点).求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.解:(1)由已知得K-p2,0,C(2,0).设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,|MR|=223.于是|CR|=|MC|2-|MR|2=13,所以|CK|=|MC|sinMKC=|MC|sinCMR=3,即2+p2=3,p=2.故抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,Ay124,y1,By224,y2.联立y2=4x,x=my+t得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m