求解电力系统潮流方程全部解的多齐次同伦连续方法1.doc

求电力系统潮流方程全部解的同伦算法1 潮流方程的数学模型对于一个节点系统（为除去平衡节点以外所有节点数），潮流方程采用复空间的多项式模型，其第个节点电压表示为，是复数；为节点与节点之间的导纳；为节点的注入功率；为节点的电压幅值；为节点注入复功率；为节点的个数；为节点的个数；上标为其共轭。 节点潮流方程（节点电压幅值和注入有功功率为已知的节点） （1） 节点潮流方程（节点注入有功和无功功率为已知的节点） （2） 电力系统潮流方程一般形式 （3）令代表复空间潮流方程，它是一个多元二次多项式方程组。表示定义在中开域上的非线性映像记为，若存在,使，则是方程（3）的解。2 一般同伦方法在大多数情况下，电力系统潮流方程的求解可以归结为对非线性多项式方程组的求解。 设待求多项式方程组为： （4） 让每个多项式方程的次数为。一般同伦方程构造为：， （5）其中被称作同伦参数。 当时，我们称为线性同伦。称为初始方程组，它的解称作初始解。称为目标方程组，而对任意，均为一关于的多项式方程组。 对于多项式方程组，代数几何学中有著名的Bezout定理3。一个多项式方程组全部孤立解的个数不超过Bezout数（即全次数）,其中是方程组第个方程的次数。 根据此定理，可以构造多种形式的初始系统，一个经典的构造如下： （6） 其中参数是随机选取的复数。3 多齐次同伦方法孤立解的个数小于经典的数（）的多项式系统称为亏欠系统。在实际应用中，绝大多数多项式系统都是亏欠的，尤其是对于大规模的稀疏多项式系统，孤立解的个数往往远远小于。经典同伦算法求解亏欠多项式系统，解曲线大部分会发散到无穷远点，跟踪这些解曲线是没有意义的，会浪费大量的计算时间。从而导致经典同伦算法效率低下。多齐次同伦算法是对经典同伦算法的发展，它利用方程组的最佳齐次结构，大幅度的减少了退化问题跟踪解曲线的条数。 考虑多项式方程组（4）的变量为，把这些变量分成组，记为，其中， 我们称为的一个组数为的剖分（也可以称为分组），称为剖分向量，上式的下标满足，定义3.1 多项式称为齐次的，其中，如果对任意和任意常数，存在数使 称为的次数，称作关于的次数，为个齐次的多项式组成的方程组，则称为齐次的，由组成的矩阵 （7）称为的次数矩阵。3.1 多项式孤立解个数的上界 对于个变元个多项式方程的方程组，为了利用同伦方法计算它的所有孤立解，我们需要首先确定孤立解个数的上界，前面介绍过Bezout定理，多项式孤立解个数不超过,对于亏欠多项式方程组的孤立解个数小于，这就需要更好的估计方法。为了区别于上的Bezout定理，我们称其为m-Bezout定理。定理3.1.1 （m-Bezout定理）若均为上的多项式，的m-次数为，则多项式组的孤立零点个数不超过。为关于的多项式 （8）的项系数，称为多项式方程组的m-Bezout数。 当时，m-Bezout数就是通常的Bezout数，m-Bezout定理即为Bezout定理，因此，m-Bezout定理是Bezout定理的推广形式，但是m-Bezout数能否比Bezout数小，与多项式方程组的结构和变元分组有关。在许多情况下，m-Bezout数比Bezout数小，所以可以得到多项式方程组孤立解个数更好估计。若一个上的多项式方程组的某一m-Bezout数比1-Bezout数小，则它是亏欠的，而且往往是高度亏欠的。和指出也是方程组（4）孤立解个数的上界。3.2初始方程组的构造利用上面讨论的算法，求得最小m-Bezout数对应的剖分。关于初始方程组的构造，需要满足两个条件：条件1：初始方程组是容易求解的。条件2：初始方程组的而每个解都互不相同。 Verschelde利用插值方法构造初始方程组，但是这种方法需要方程组满足一定的条件，不能适用于所有的方程组。在文献4中，给出了下面的构造方法： 给定一个元多项式方程组，假定已经求出了最小m-Bezout数及相应的剖分，假设剖分为 ，其中变元个数，这个剖分对应的次数矩阵为：我们构造如下多项式方程组 可以选为 （11）其中为次数矩阵中的元，为随机生成的复数。4 同伦算法在潮流方程求解中的应用图1 三节点系统模型（图中的参数值均为标幺值）以图1三节点网络为例，网络中节点、节点和平衡节点各为一个。节点导纳矩阵为：令，上标为其共轭。潮流方程采用复空间模型简化为： （12）潮流方程组的全次数为，此系统有12种不同的变量分组，向量,次数矩阵以及分组对应的多齐次Bezout数如表1所示。最小m-Bezout数为，那么潮流方程解的个数应以6为上限。对应的剖分为，对应的次数矩阵，初始方程组的构造如下 （13）其中，为随机生成的复数。同伦方程取： （14）其中，为同伦参数，为任意不为零的复常数。下面给出跟踪6条同伦曲线得到潮流方程组的全部解。其中前四组为电力系统潮流方程的解，五六组复数解为非电力系统的解，称为非潮流解。求解结果见表2。表1 分组T、向量K、次数矩阵D及分组对应的多齐次Bezout数123456789101112表2 三节点网络模型潮流方程全部解解电力系统的解与互为共轭1-0.0091-0.1073i-0.0091+0.1073i-0.2384-0.9712i-0.2384-0.9712i2-0.0052-0.2384i-0.0052+0.2384i-0.4891-0.8723i-0.4891-0.8723i30.0317-0.0410i0.0317+0.0410i0.9240-0.3824i0.9240+0.3824i40.9670+0.0127i0.9670-0.0127i-0.9965+0.0832i-0.9965-0.0832i非电力系统的解与互为非共轭50.0095+0.0252i0.3649+1.6728i-0.7350-0.1770i-1.2859+0.3097i60.