河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学 第1章 集合与函数概念（2.2 函数的表示法 第3课时）示范教案 新人教A版必修1.docVIP

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第1章 集合与函数概念-5.示范教案（2.2 函数的表示法 第3课时）导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点p和它对应.2.对于坐标平面内任何一个点a,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应.3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应.5.函数的概念.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设a,b是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合a中的每个元素x,在集合b中都有唯一的元素y和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射.引出课题.推进新课新知探究提出问题给出以下对应关系:图1-2-2-20这三个对应关系有什么共同特点？像问题中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？讨论结果：集合a、b均为非空集合,并且集合a中的元素在集合b中都有唯一的元素与之对应.一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:ab为从集合a到集合b的一个映射.记作“f:ab”.如果集合a中的元素x对应集合b中元素y,那么集合a中的元素x叫集合b中元素y的原象,集合b中元素y叫集合a中的元素x的象.包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.函数是特殊的映射,映射是函数的推广.应用示例思路11.下列哪些对应是从集合a到集合b的映射？(1)a=p|p是数轴上的点,b=r,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)a=p|p是平面直角坐标系中的点,b=(x,y)|xr,yr,对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)a=三角形,b=x|x是圆,对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)a=x|x是新华中学的班级,b=x|x是新华中学的学生,对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义.(1)中数轴上的点对应着唯一的实数;(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对;(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生.解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.变式训练1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的a中元素与b中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.2.在图1-2-2-22中的映射中,a中元素60的对应的元素是什么？在a中的什么元素与b中元素对应？图1-2-2-22答案：a中元素60的对应的元素是,在a中的元素45与b中元素对应.思路21.下列对应是不是从集合a到集合b的映射,为什么？(1)a=r,b=xr|x0,对应法则是“求平方”;(2)a=r,b=xr|x0,对应法则是“求平方”;(3)a=xr|x0,b=r,对应法则是“求平方根”;(4)a=平面内的圆,b=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”.活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合a中的任意一个元素,在集合b中都有唯一确定的元素与之对应.解：(1)是映射,因为a中的任何一个元素,在b中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合a到集合b的映射,因为a中的元素0,在集合b中没有对应的元素.(3)不是从集合a到集合b的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合a中的任何元素,在集合b中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合a到集合b的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合a中任何一个元素在集合b中有无穷多个元素与之对应.点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合a、b及对应法则f,判断是否是从集合a到集合b的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:ab的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是a到b的映射,而后一种不是a到b的映射.变式训练1.设集合a=a,b,c,集合b=r,以下对应关系中,一定能建立集合a到集合b的映射的是( )a.对集合a中的数开平方b.对集合a中的数取倒数c.对集合a中的数取算术平方根d.对集合a中的数立方分析:当a1,即p的取值范围是(1,+);(方法二)当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在m中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除c,d;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在m中存在原象1,则p=1不合题意,排除b.答案：a点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.变式训练设f,g都是由a到a的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1 映射f的对应法则原象1234象3421表2 映射g的对应法则原象1234象4312则与fg(1)相同的是( )a.gf(1) b.gf(2) c.gf(3) d.gf(4)分析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4,则有fg(1)=gf(1)=1,故选a.答案：a知能训练1.下列对应是从集合s到t的映射的是( )a.s=n,t=-1,1,对应法则是(-1)n,nsb.s=0,1,4,9,t=-3,-2,-1,0,1,2,3,对应法则是开平方c.s=0,1,2,5,t=,对应法则是取倒数d.s=x|xr,t=y|yr,对应法则是xy=分析:判断映射方法简单地说应考虑a中的元素是否都可以受f作用,作用的结果是否一定在b中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显a符合定义;b是一对多的对应;c命题中的元素0没有象;d命题集合s中的元素1也无象.答案：a2.已知集合m=x|0x6,p=y|0y3,则下列对应关系中不能看作从m到p的映射的是( )a.f:xy=x b.f:xy=x c.f:xy=x d.f:xy=x分析:选项c中,集合m中元素6没有象,其他均是映射.答案：c3.已知集合a=n*,b=a|a=2n-1,nz,映射f:ab,使a中任一元素a与b中元素2a-1对应,则与b中元素17对应的a中元素是( )a.3 b.5 c.17 d.9分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9.答案：d4.若映射f:ab的象的集合是y,原象的集合是x,则x与a的关系是;y与b的关系是.分析:根据映射的定义,可知集合a中的元素必有象且唯一;集合b中的元素在集合a中不一定有原象.故象的集合是b的子集.所以x=a,yb.答案：x=a yb5.已知集合m=a,b,c,d,p=x,y,z,则从m到p能建立不同映射的个数是.分析:集合m中有4个元素,集合p中有3个元素,则从m到p能建立34=81个不同的映射.答案：816.下列对应哪个是集合m到集合n的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设m=矩形,n=实数,对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)设m=实数,n=正实数,对应法则f为x.(3)设m=x|0x100,n=x|0x100,对应法则f为开方再乘10.解：(1)是m到n的映射,因为它是一对一的对应.(2)不是映射,因为当x=0时,集合m中没有元素与之对应.(3)是映射,因为它是一对一的对应.7.设集合a和b都是自然数集,映射f:ab把a中的元素n映射到b中的元素2n+n,则在映射f下,a中的元素_对应b中的元素3.( )a.1 b.3 c.9 d.11分析:对应法则为f:n2n+n,根据选项验证2n+n=3,可得n=1.答案：a8.已知集合a=1,2,3,k,b=4,7,a4,a2+3a,且an,kn,xa,yb,映射f:ab,使b中元素y=3x+1和a中元素x对应,求a及k的值.分析:先从集合a和对应法则f入手,同时考虑集合中元素的互异性.可以分析出此映射必为一一映射,再由310,求得a值,进而求得k值.解：b中元素y=3x+1和a中元素x对应,a中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.an,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.a=2,k=5.9.a=(x,y)|x+y0),l=2.9.由题意,可知容器内溶液高度为x的体积等