内蒙古科技大学概率论答案.pdf

习题一习题一 随机事件及其概率随机事件及其概率 一 填空题 1 设随机试验 E 对应的样本空间S 与其任何事件不相容的事件为 而与 其任何事件相互独立的事件为 S 设有 P A B 1 则 A B 两事件的关系 为 A B 设 E 为等可能型试验 且S包含 10 个样本点 则按古典概率的定义 其任一基本事件发生的概率为 0 1 2 若A表示某甲得 100 分的事件 B表示某乙得 100 分的事件 则 1 A表示 甲未得 100 分的事件 2 AB 表示 甲乙至少有一人得 100 分的事件 3 AB表示 甲乙都得 100 的事件 4 AB表示 甲得 100 分 但乙未得 100 分的事件 5 AB表示 甲乙都没得 100 分的事件 6 AB表示 甲乙不都得 100 分的事件 3 若事件 A B C相互独立 则 P ABC P AP BP CP A P BP A P CP B P CP A P B P C 4 若事件 A B相互独立 且 0 5 0 25 P AP B 则 P AB 0 625 5 设 111 4816 P AP BP CP ABP ACP BCP ABC 则 P ABC 16 7 P ABC 16 9 P A B C 至多发生一个 4 3 P A B C 恰好发生一个 16 3 P A ABC 7 4 6 袋中有 50 个乒乓球 其中 20 个是黄球 30 个白球 今有两人依次随 机地从袋中各取1球 取后不放回 则第二个人取得黄球的概率是 0 4 7 将 C C E E I N S 七个字母随机地排成一行 则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为 1 1260 8 10 件产品有 4 件次品 现逐个进行检查 则不连续出现 2 个次品的概 率为 9 在 1 1 上任取一点 则该点到原点距离不超过 1 3 的概率是0 33 10 在区间 0 1 上随机地取出两个 u v 则关于x 的一元二次方程 2 20 xvxu 有实根的概率是0 33 11 若有 n 个人随机地站成一列 其中有甲 乙两个 则夹在甲和乙之间恰 有 r 个人的概率为 1 1 2 nn rn 12 对二事件 A B已知 0 6P A 0 7P B 那么 P AB可能取到的最大值 是 0 6 可能取到的最小值是 0 3 P AB 可能取到的最大值是 1 可能取 到的最小值是 0 7 13 由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中 随机地取出 2 个球 然后放到装有 4 个白球和 4 个黑球的箱子中 试计算最后从第二个箱子中取出一球 此球为白 球的概率为 0 52 二 选择题 1 以下命题正确的是 ABCD A ABABA B 若AB 则ABA C 若AB 则BA D 若AB 则ABB 2 某学生做了三道题 以A表示 第i题做对了的事件 1 2 3 i 则该生至 少做对了两道题的事件可表示为 B D A 2 12313123 A A AA A AA A A B 122313 A AA AA A C 122313 A AA AA A D 2 12313123123 A A AA A AA A AA A A 3 若事件A与B相容 则有 B A P ABP AP B B P ABP AP BP AB C 1 P ABP AP B D 1 P ABP A P B 4 事件 A 与 B 互相对立的充要条件是 C A P ABP A P B B 0P AB 且 1P AB C AB 且ABS D AB 5 已知 0P B 且 12 A A 则 ABC 成立 A 1 0P A B B 1212 P AABP A BP AB C 12 0P A AB D 12 1P A AB 6 若 0 0P AP B 且 P A BP A 则 AB 成立 A P B AP B B P A BP A C A B 相容 D A B不相容 7 对于事件 A 与 B 以下命题正确的是 A 若 A B 互不相容 则 A B 也互不相容 B 若 A B 相容 则 A B 也相容 C 若 A B 独立 则 A B 也独立 D 若 A B 对立 则 A B 也对立 8 若事件 A 与 B 独立 且 0 0P AP B 则 AB 成立 A P B AP B B P A BP A C A B 相容 D A B不相容 三 解答题 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S与随机事件A 1 掷一颗骰子 观察向上一面的点数 事件A表示 出现奇数点 2 对一个目标进行射击 一旦击中便停止射击 观察射击的次数 事件A 表示 射击不超过 3 次 3 把单位长度的一根细棒折成三段 观察各段的长度 事件A表示 三段 细棒能构成一个三角形 解 1 1 1 2 3 4 5 6S A1 1 3 5 2 2 1 2 S L A2 1 2 3 3 设折得三段长度分别为 x y 和 1 x y 3 01 0 1Sx yxyx y 3 11 1 0 0 1 22 2 Ax yxyxy 2 化简下列各式 1 ABAB 2 ABAB 3 ABAB 解 1 ABAB A BB AS A 2 ABAB ABAABB 3 ABAB ABABABABAABBAABB 3 一工人生产了四件产品 以 i A 表示他生产的第i件产品是正品 1 2 3 4 i 试用 i A 表示 i 1 2 3 4 下列事件 1 没有一件产品是次品 2 至少有一件产品是次品 3 恰有一件产品是次品 4 至少有两件产品不是次品 解 1 1234 A A A A 2 1234 A A A A 1234 AAAA 3 1234123412341234 A A A AA A A AA A A AA A A A 4 121314232434 A AA AA AA AA AA A 4 掷两颗骰子 试求出现的点数之和大于 9 的概率 解 用 x y表示两颗骰子掷出的点数 则1 6 x y 每一点对 x y 表示每次掷两 颗骰子的结果即为一基本事件 则样本空间 1 2 6Sx y x y L A 表示掷 两颗骰子出现的点数之和大于 9 的事件 则 A 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 而样本空间中包含的样本点总数为 36 由古典概型计算公式 61 366 P A 5 已知 N 件产品中有 M 件是不合格品 今从中随机地抽取 n 件 试求 1 n 件中恰有 k 件不合格品的概率 2 n 件中至少有一件不合格品的概率 解 从 N 件产品中抽取 n 件产品的每一取法构成一基本事件 共有 n N C种不同取法 1 设 A 表示抽取 n 件产品中恰有 k 件不合格品的事件 则 A 中包含样本点数为 kn k MNM C C 由古典概型计算公式 kn k MN M n N C C P A C 2 设 B 表示抽取 n 件产品中至少有一件不合格品的事件 则B 表示 n 件产品全 为合格品的事件 包含 n NM C 个样本点 则 1 1 n N M n N C P BP B C 6 一个口袋里装有 10 只球 分别编上号码 1 10 随机地从口袋里取 3 只球 试求 1 最小号码是 5 的概率 2 最大号码是 5 的概率 解 从 10 只球中任取 3 只的每一种取法构成一基本事件 则样本点总数为 3 10 C 1 设 A 表示 3 只球中最小号码是 5 的取法 共有 2 5 C种取法 因此 12 1 3 10 2 5 C C AP 2 设 B 表示 3 只球中最大号码是 5 的取法 共有 2 4 C种取法 因此 20 1 3 10 2 4 C C AP 7 一份试卷上有 6 道题 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了 4 处不同的 错误 试求 1 这 4 处错误发生在最后一道题上的概率 2 这 4 处错误发生在不同题上的概率 3 至少有 3 道题全对的概率 解 4 个错误发生在 6 道题中的可能结果共有 64 1296 种 即样本点总数为 1296 1 设 A 表示 4 处错误发生在最后一道题上 只有 1 种情形 因此 1296 1 AP 2 设 B 表示 4 处错误发生在不同题上 即 4 处错误不重复出现在 6 道题上 共有 4 6 P种方式 因此有 6360345 种可能 故 18 5 1296 360 BP 3 设 C 表示 至少有 3 道题全对 相当于 至少有 2 个错误发生在同一题上 而C表示 4 处错误发生在不同题上 BC 18 13 1 BPCP 8 在单位圆内随机地取一点 Q 试求以 Q 为中点的弦长超过 1 的概率 解 在单位内任取一点 Q 坐标为 yx 样本空间 S 1 22 yxyx记事件 A 为 以 Q 为中点的弦长超过 1 A 4 3 2 1 1 22222 yxyxyxyx 由几何概型公式得75 0 1 4 3 AP 9 在长度为 T 的时间段内 有两个长短不等的信号随机地进入接收机 长信号 持续时间为 1 tT 短信号持续时间为 2 tT 试求这两个信号互不干扰的概率 解 设 x y 表示两个长短不等的信号到达时间 样本空间 S 0 Tyxyx 记 A 为 两个信号互不干扰 则 A 12 txytyxyx 由几何概型公式得 2221 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 T t T t T tTtT AP 10 从 5 双不同的鞋中任取 4 只 求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双的概率 解 为从 5 双 10 只 不同的鞋中任取 4 只 我们一只一只地取出 共有 10 9 8 7 种取法 此即为样本点总数 设以 A 表示事件 4 只中至少有 2 只配对成双 则 A 的对立事件A为 4 只鞋子中没有 2 只成双 现在来求A中的样本点数 4 只鞋是一只一只取出的 第一只可以任意取 有 10 中取法 第二只只能取剩下 的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的 8 只鞋子中任取一只 它有 8 种取 法 同理第三只 第四只鞋子只有 6 4 种取法 所以A中样本点总数为 10 8 6 4 得 10 8 6 413 1 1 10 9 8 721 P AP A 11 设 A B是两个事件 已知 0 5 0 7 0 8P AP BP AB 试求 P AB 与 P BA 解 由加法公式 P ABP AP BP AB 可知 0 4P AB 由于 ABAAB BABAB 且 ABA ABB 则 由 概 率 性 质 可 知 0 1P ABP AABP AP AB 同理 0 3P BAP BP AB 12 设 A B C是三个事件 已知 0 3 0 2P AP BP CP AB 0P BCP AC 试求 A B C中至少有一个发生的概率和 A B C全不发生的 概率 解 由 0 0ABCBCP ABCP BC 故 0P ABC ABC 表示 A B C 中 至 少 有 一 个 发 生 的 事 件 由 已 知 事 件 概 率 及 概 率 加 法 公 式 有 0 3 30 2P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 0 7 而 A B C全不发生这一事件可用ABC 表示 由逆事件概率关系有 1 0 3P ABCP ABC 13 已知 111 346 P AP B AP A B 求 P AB 解 由乘法公式 1 12 P ABP A P B A 又由条件概率公式 P AB P A B P B 知 1 2 P B 再由加法公式 3 4 P ABP AP BP AB 14 设 A B是两个事件 已知 0 3 0 6P AP B 试在下列两种情况中分别求出 P A B P A B 1 事件 A B互不相容 2 事件 A B有包含关系 解 1 由AB 则 0P AB 0 9P ABP AP B 由条件概率公式 及逆事件概率关系得 0 P AB P A B P B 0 25 P ABP AB P A B P BP B 2 由于 P AP B 故AB 因此 AB A A B B 故类似 1 可得 0 5 P ABP A P A B P BP B 1 P ABP ABP B P A B P BP BP B 15 一个盒子中装有 10 只晶体管 其中有 3 只是不合格品 现在作不放回抽样 连续取 2 次 每次随机地取 1 只 试求下列事件的概率 1 2 只都是合格品种 2 1 只是合格品 1 只是不合格品 3 至少有 1 只是合格品 解 设i i A表示第i次取的是合格品 1 2 12121 1212 1212 767 1 10915 73377 2 10910915 3214 3 1 1 10915 P A AP A P AA P A AA A P AAP A A 16 某商店出售晶体管 每盒装 100 只 且已知每盒混有 4 支不合格品 商店采 用 缺一赔十 的销售方式 顾客买一盒晶体管 如果随即地取 1 只发现是不合 格品 商店要立刻把 10 只合格品的晶体管放在盒子中 不合格的那只晶体管不 再放回 顾客在一个盒子中随机地先后取 3 只进行测试 试求他发现全是不合格 品的概率 解 设i i A表示第i次取的是不合格品 1 2 3 则 123121312 4323 100 109 118160775 P A A AP A P AA P AA A 17 已知 A B C互相独立 证明 A B C也互相独立 ABC ABAB ACAC BCBC ABCABC 解 有 相互独立可得 P 1 P AB P P P P P P P P P P P P 则三事件相互独立 18 一射手对同一目标进行四次独立的射击 若至少射中一次的概率为 80 81 求 此射手每次射击的命中率 解 设i i A表示第i次其中目标 1 2 3 4 则 4 1234 801 1 8181 i P A A A AP A 2 1 3 ii P AP A 19 设情报员能破译一份密码的概率为 0 6 试问 至少要使用多少名情报员才 能使破译一份密码的概率大于95 假定各情报员能否破译这份密码是相互独立 的 A P A 1 P A 1 0 40 95 ln0 05 ln0 4 n n 解 设至少需要n名情报员 情报被破译 20 有2n个元件 每个元件的可靠度都是p 试求下列两个系统的可靠度 假 定每个元件是否正常工作是相互独立的 1 每n个元件串联成一个子系统 再把这两个子系统并联 2 每两个元件并联成一个子系统 再把这n个子系统串联 解 1 设i i A表示第i个子系统可靠 1 2 则 2 12 2 nnnnnn P AApppppp 2 设i i A 表示第i个子系统可靠 1 2 n 则 12 2 nnn n P A AApppppp 21 设每个元件的可靠度为 0 96 试问 至少要并联多少个元件才能使系统的 可靠度大于 0 9999 假定每个元件是否正常工作是相互独立的 A P A 1 P A 1 0 040 9999 ln0 0001 ln0 04 n n 解 设至少要并联n个元件 系统正常 22 5 名篮球运动员独立地投篮 每个运动员投篮的命中率都是 80 他们各投 一次 试求 1 恰有 4 次命中的概率 2 至少有 4 次命中的概率 3 至多有 4 次命中的概率 解 设i i A表示第i个运动员命中 1 2 3 4 5 1 4 12345 5 5 0 2 0 80 4096P AP A A A A A 2 5 12345 0 40960 80 7373P BP AP A A A A A 3 5 12345 1 10 80 6723P CP A A A A A 23 某地区患肝炎的人占 1 试问该地区某所学校中一个 65 人的班级里至少 有两人患肝炎的概率有多大 假定他们是否患肝炎是相互独立的 65164 65 BC P A 1 P B P C 1 0 99 0 1 0 99C 解 设A 至少有两人患肝炎 没有人患肝炎 恰有一人患肝炎 24 甲 乙 丙三人抢答一道智力竞赛题 他们抢到答题权的概率分别为 0 2 0 3 0 5 而他们能将题答对的概率则分别为 0 9 0 4 0 4 现在这道题已经答 对 问甲 乙 丙三人谁答对的可能性最大 1 3 i 1 23 i 1 3 i 0 2 0 9 0 36 0 2 0 90 3 0 40 5 0 4 0 3 0 4 0 24 0 2 0 90 3 0 40 5 0 4 i ii ii ii B P BA P B P A B P BA P B P A B P BA P B P A B 11 22 33 解 设A 题被答对 第 个人抢到答题权 P B P A B P B P A B P B P A B 3 i 1 0 5 0 4 0 4 0 2 0 90 3 0 40 5 0 4 得 丙答对的可能性最大 25 某学校五年级有两个班 一班 50 名学生 其中 10 名女生 二班 30 名学生 其中 18 名女生 在两班中任选一个班 然后从中先后挑选两名学生 求 1 先选出的是女生的概率 2 在已知先选出的是女生的条件下 后选出的也是女生的概率 解 设 i i B 先选出的是女生 A 表示挑选的是第i个班 1 2 1 则 1122 0 5 0 20 5 0 60 4P BP AP B AP AP B A 2 设 C 后选出的是女生 则 917 0 5 0 2 0 5 0 6 690 4929 0 41421 P BC P C B P B 26 甲 乙 丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹 它们命中敌机的概 率都是 0 2 飞机被击中 1 弹而坠毁的概率为 0 1 被击中 2 弹而坠毁的概率为 0 5 被击中 3 弹必定坠毁 1 试求飞机坠毁的概率 2 已知飞机坠毁 试求它在坠毁前只有命中 1 弹的概率 i i ii A A0 4068 i B P B P B 解 设飞机坠毁 A 击中 弹 1 2 3 P B 0 1 3 0 2 0 8 0 8 0 5 3 0 8 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0944 0 1 3 0 2 0 8 0 8 P B 0 0944 27 已知甲袋中装有 a 只红球 b 只白球 乙袋中装有 c 只红球 d 只白球 试 求下列事件的概率 1 合并两只口袋 从中随机地取一只球 该球是红球 2 随机地取一只袋 再从该袋中随机地取一只球 该球是红球 3 从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋 再从乙袋中随机地取出一只球 该球 是红球 11 22 1 3 11 ac P A abcd ac abcd acbc P C abcdabcd 解 1 2 P B 28 无线电通讯中 由于随机干扰 当发送信号 时 收到信号为 不 清 与 的概率分别是 0 7 0 2 与 0 1 当发送信号 时 收到信 号为 不清 与 的概率分别是 0 9 0 1 与 0 如果整个发报过程 中 与 分别占 60 与 40 那么 当收到信号 不清 时 原发 信