湖南省永州市第四中学高中部高一数学自主招生考试试题（特奥班）.doc

2016年永州市第四中学高中部自主招生考试试题数学（试题卷）注意事项：1.本场考试时间为150分钟，总分为120分。2.考生在答题前请检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，若有请立即向监考老师通报。答案请填写在答题卡上，写在试题卷上无效。3.本张试卷为2016年永州四中文科实验班、理科特奥班自主招生考试试卷。一选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 1一列数a1，a2，a3，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a100=（）ab2c1d2 2已知，则的值为（）abcd或1 3已知adbc，abad，点e，点f分别在射线ad，射线bc上若点e与点b关于ac对称，点e与点f关于bd对称，ac与bd相交于点g，则（）a1+tanadb=b2bc=5cfcaeb+22=defd4cosagb= 4如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）abcd 5如图所示，在直角坐标系中，a点坐标为（3，2），a的半径为1，p为x轴上一动点，pq切a于点q，则当pq最小时，p点的坐标为（）a（4，0）b（2，0）c（4，0）或（2，0）d（3，0）6已知抛物线y=x2+1的顶点为p，点a是第一象限内该二次函数图象上一点，过点a作x轴的平行线交二次函数图象于点b，分别过点b、a作x轴的垂线，垂足分别为c、d，连结pa、pd，pd交ab于点e，pad与pea（）a始终不相似b始终相似c只有ab=ad时相似d无法确定二填空题（共4小题，每小题6分，共24分） 7如果函数y=b的图象与函数y=x23|x1|4x3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 8如图，已知直线交x轴、y轴于点a、b，p的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为，则t=s时p与直线ab相切 9一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为a=1，2，3，4类比实数有加法运算，集合也可以“相加”定义：集合a与集合b中的所有元素组成的集合称为集合a与集合b的和，记为a+b若a=2，0，1，5，7，b=3，0，1，3，5，则a+b= 10对于x，y定义一种新运算“*”：x*y=ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算若成立，那么2*3= 三解答题（共5题，每题12分，共60分） 11如图，二次函数与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，点p从a点出发，以1个单位每秒的速度向点b运动，点q同时从c点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点p到达b点时，点q同时停止运动设pq交直线ac于点g（1）求直线ac的解析式；（2）设pqc的面积为s，求s关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点m，使mac和mbc都是等腰三角形直接写出所有满足条件的m点的坐标；（4）过点p作peac，垂足为e，当p点运动时，线段eg的长度是否发生改变，请说明理由 试题图 备用图 12已知直线y=x+4与x轴和y轴分别交与b、a两点，另一直线经过点b和点d（11，6）（1）求ab、bd的长度，并证明abd是直角三角形；（2）在x轴上找点c，使acd是以ad为底边的等腰三角形，求出c点坐标；（3）一动点p速度为1个单位/秒，沿abd运动到d点停止，另有一动点q从d点出发，以相同的速度沿dba运动到a点停止，两点同时出发，pq的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式13在边长为1的正方形abcd中，以点a为圆心，ab为半径作圆，e是bc边上的一个动点（不运动至b，c），过点e作弧bd的切线ef，交cd于f，h是切点，过点e作egef，交ab于点g，连接ae（1）求证：age是等腰三角形；（2）设be=x，bge与cef的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在bc边上（点b、c除外）是否存在一点e，使得ge=ef，若存在，求出此时be的长，若不存在，请说明理由14如图，ae切o于点e，at交o于点m，n，线段oe交at于点c，obat于点b，已知eat=30，ae=3，mn=2（1）求cob的度数；（2）求o的半径r；（3）点f在o上（是劣弧），且ef=5，把obc经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点e，f重合在ef的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在o上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与obc的周长之比 15如图，直角梯形abco的两边oa，oc在坐标轴的正半轴上，bcx轴，oa=oc=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过a，b，c三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点g，在梯形abco的一边上取点p当m=0时，如图1，点p是抛物线对称轴与bc的交点，过点p作ph直线l于点h，连结op，试求oph的面积；当m=3时，过点p分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点e，f是否存在这样的点p，使以p，e，f为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由2016年永州四中高中部自主招生考试数学参考答案选择题1-6.ababdb填空题7.6、8.或249.3，2，0，1，3，5，710.1解答题11.（1）y=x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=2，a（2，0），b（2，0），c（0，2），设直线ac的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线ac的解析式是y=x+2；（2）当0t2时，op=（2t），qc=t，pqc的面积为：s=（2t）t=t2+t，当2t4时，op=（t2），qc=t，pqc的面积为：s=（t2）t=t2t，；（3）当ac=cm=bc时，m的坐标是：（0，），（0，2）；当am=bm=cm时，m的坐标是：（0，0），（0，）；一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，2）；（4）当0t2时，过g作ghy轴，垂足为h由ap=t，可得ae=ghop即=，解得gh=，所以gc=gh=于是，ge=acaegc=即ge的长度不变当2t4时，过g作ghy轴，垂足为h由ap=t，可得ae=由即=，gh（2+t）=t（t2）（t2）gh，gh（2+t）+（t2）gh=t（t2），2tgh=t（t2），解得gh=，所以gc=gh=于是，ge=acae+gc=2t+=，即ge的长度不变综合得：当p点运动时，线段eg的长度不发生改变，为定值12.（1）令x=0，y=4，令y=0，则x+4=0，解得x=3，所以，a（0，4），b（3，0），由勾股定理得，ab=5，bd=10，过点d作dhy轴于h，dh=11，ah=2，由勾股定理得，ad=，ab2=25，bd2=100，ab2+bd2=ad2，abd是直角三角形；（2）设oc长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11x）2+62，解得x=，所以，c（，0）；（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，解得t=7.5，点p在ab上时，0t5，pb=5t，bq=10t，pq=，点p、q都在bd上重合前，5t7.5，pq=5+10tt=152t，重合后，7.5t10，pq=t+t510=2t15，点q在ab上时，10t15，pb=t5，bq=t10，pq=13.（1）连ah，ahef，geef，geah，gea=eah，ah=ab，ae=ae，abe=ahb，aheabe，bae=eah，bae=gea，ag=eg，即age是等腰三角形（2）eh=eb=x，ec=1x，cf=1fd，fd=fh，ef=eh+hf=x+fd，在rtecf中，ef2=ec2+cf2，（1x）2+（1fd）2=（x+fd）2，整理得，（1+x）fd=1x，b=c，又geef，geb=fec，gebefc，（0x1）（3）假设bc上存在一点e，能使ge=ef，则，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点e不能与b，c点重合，故x0且x1，bc边上符合条件的e点不存在14.（1）ae切o于点e，aece，又obat，aec=cbo=90，又bco=ace，aecobc，又a=30，cob=a=30；（2）ae=3，a=30，在rtaec中，tana=tan30=，即ec=aetan30=3，obmn，b为mn的中点，又mn=2，mb=mn=，连接om，在mob中，om=r，mb=，ob=，在cob中，boc=30，cosboc=cos30=，bo=oc，oc=ob=，又oc+ec=om=r，r=+3，整理得：r2+18r115=0，即（r+23）（r5）=0，解得：r=23（舍去）或r=5，则r=5；（3）以ef为斜边，有两种情况，以ef为直角边，有四种情况，所以六种，画直径fg，连接eg，延长eo与圆交于点d，连接df，如图所示：ef=5，直径ed=10，可得出fde=30，fd=5，则cefd=5+10+5=15+5，由（2）可得ccob=3+，cefd：ccob=（15+5）：（3+）=5：1ef=5，直径fg=10，可得出fge=30，eg=5，则cefg=5+10+5=15+5，cefg：ccob=（15+5）：（3+）=5：115.（1）由题意得：a（4，0），c（0，4），对称轴为x=1设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得抛物线的函数解析式为：y=x2+x+4（2）当m=0时，直线l：y=x抛物线对称轴为x=1，cp=1如答图1，延长hp交y轴于点m，则omh、cmp均为等腰直角三角形cm=cp=1，om=oc+cm=5soph=somhsomp=（om）2omcp=（5）251=，soph=当m=3时，直线l：y=x3设直线l与x轴、y轴交于点g、点d，则g（3，0），d（0，3）假设存在满足条件的点pa）当点p在oc边上时，如答图21所示，此时点e与点o重合设pe=a（0a4），则pd=3+a，pf=pd=（3+a）过点f作fny轴于点n，则fn=pn=pf，en=|pnpe|=|pfpe|在rtefn中，由勾股定理得：ef=若pe=pf，则：a=（3+a），解得a=3（+1）4，故此种情形不存在；若pf=ef，则：pf=，整理得pe=pf，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若pe=ef，则：pe=，整理得pf=pe，即（3+a）=a，解得a=3p1（0，3）b）当点p在bc边上时，如答图22所示，此时pe=4若pe=pf，则点p为ogd的角平分线与bc的交点，有ge=gf，过点f分别作fhpe于点h，fkx轴于点k，ogd=135，epf=45，即phf为等腰直角三角形，设ge=gf=t，则gk=fk=eh=t，ph=hf=ek=eg+gk=t+t，pe=ph+eh=t+t+t=4，解得t=44，则oe=3t=74，p2（74，4）c）a（4，0），b（2，4），可求得直线ab解析式为：y=2x+8；联立y=2x+8与y=x3，解得x=，y=设直线ba与直线l交于点k，则k（，）当点p在线段bk上时，如答图23所示设p（a，82a）（2a），则q（a，a3），pe=82a，pq=113a，pf=（113a）与a）同理，可求得：ef=若pe=pf，则82a=（113a），解得a=120，故此种情形不存在；若pf=ef，则pf=，整理得pe=pf，即82a=（113a），解得a=3，符合条件，此时p3（3，2）；若pe=ef，则pe=，整理得pf=pe，即（113a）=（82a），解得a=5，故此种情形不存在d）当点p在线段ka上时