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高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何 物理中的问题 其目的 不仅在于建立这些几何 物理的公式 而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达 为定积分的分析方法 一 教学目标与基本要求教学目标与基本要求 使学生掌握定积分计算基本技巧 使学生用所学的定积分的微元法 元素法 去解决 各种领域中的一些实际问题 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 平面图形的面积 平面曲线的弧长 旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体体积 变力作功 引力 压力及函数 的平均值等 二 本章各节教学内容及学时分配二 本章各节教学内容及学时分配 第一节 定积分的元素法 1 课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3 课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2 课时 三 本章教学内容的重点难点三 本章教学内容的重点难点 找出未知量的元素 微元 的方法 用元素法建立这些几何 物理的公式解决实际问 题 运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 四 本章教学内容的深化和拓宽四 本章教学内容的深化和拓宽 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题 五 本章的思考题和习题 五 本章的思考题和习题 第二节 279 页习题 6 2 2 1 3 3 4 5 11 12 19 25 28 第三节 287 页习题 6 3 1 3 4 5 11 第六章 定积分的应用第 1 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 在上一章 我们从几何学和物理学的问题出发 导出了定积分的概念和计算 方法 其目的就是用它来解决实际问题 定积分在实际问题中应用很广泛 本 章将主要介绍它在几何和物理上的应用 定积分的应用 几何上 求平面形的面积 平面曲线的弧长 旋转体的体积 物理上 变力作功 水压力 引力 学习这一章 我们不仅要掌握推导出来的具体公式 如求面积 体积 弧长 等公式 更重要的是掌握用定积分去解决实际问题的思想方法 微元法 第一节 定积分的微元法 元素法 第一节 定积分的微元法 元素法 利用定积分来解决实际问题的基本思想方法是微元法 元素法 为了说明 这种方法 我们先回顾一下利用定积分求曲边梯形面积的问题 以连续曲线 0 xfxfy为曲边 区间为底的曲边梯形的面积设 为 ba A 把这个面积A表示为定积分 的步骤是 b a dxxf 1 分割分割 用分点 nn xxxxxa xxy2 yxy所围成的图形的面积A 解解 2ln 2 31 2 1 dy y yA xo y 1xy 2y yx 1 2 2 或 2 1 1 21 2 1 2 dxxdx x A 例 3例 3 计算椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围成的面积 解解 由于椭圆关于两坐标轴都对称 所以只要算出第一象限部分的面积后 再乘以4 即得椭圆的面积 1 A A 即 a a dx a x bydxAA 0 2 2 0 1 1444 这里利用椭圆的参数方程计算比较方便 tby tax sin cos 应用定积分换元法 令taxcos 则sin sinybtdxatdt 2 2 00 22 0 2 4sin sin 4sin4sinAbtat dtabtdtabtdt 2 0 2 1 cos2 abt dtab 一般地 当曲边梯形的曲线 0 baxxfxfy 由参数方程 ty tx 给出时 若曲边的起点和终点分别对应参数值起点和终点分别对应参数值 和 即ba 且 tx 具有连续导数 则曲边梯形的面积为 2 3 dtttydxA b a 或 d c Axdytt dt 例例 求由摆线 cos1 sin tayttax 的一拱 02 t 与横轴所围成 的图形的面积 第六章 定积分的应用第 8 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 解 2 2 0 2 3 cos1 cos1 adtttaA ox2 a 例例 求 sin cosryrx 的面积 解 2 0 20 4 sin sin 4 1 4 1 rdrrydxA r 或 2 0 2 1 sin sin 2 1 2 1 rdrrydxA r r 例例 求由曲线 22 2yx 2 yx 及2xx 所围图形的面积 如图 解 图形的面积为 22 22 2 2 20 41Axxdx xdx 也可利用对称性来做 及其过点 o x y 2 yx 2 2yx 2x 2x 11 22 00 4 1 4 1 8xdxxdx 例例 计算介于曲线ln 1yx 1 0 的切线与x轴之间的图形的 面积 如图 为 解 设切点 00 ln 1 xx 则切线方程为 00 0 1 ln 1 1 yxx x x 由于切线过点知 1 0 0 1xe 故切线方程又可写为 x y 1 o ln 1 yx x 1 1 yx e 故面积为 1 1 y Aedy 0 1 1 2 e ey 例例 若曲线 ey 1 0 与 x ycos 02 yxx P Q R W sinybx o sinyax x y dc 轴 所 围 图 形 面 积 被 曲 线yasinx 图 试确sin 0 ybxab 三等分 如定 a b之值 第六章 定积分的应用第 9 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 轴所围成的面积为 2 0 cos1 xdx cos 02 yxx 与 x y解解 因曲线 所以图中曲边三角形的面积 1 ORW 3 OPQOQR 1 arctacos 0yx又sinyax 与2 xn 的交点为d a bx与 1 arctanc siny cos 02 yxx 交点为 的 b 由曲边三角形面积 1 3 OPQ 知 2 0 1 cos d sin 1 3 xax dxaa 即 4 3 a 由曲边三角形面积 1 3 ORW 知 2 1 sinc c bxdxb 2 0 os11 3 c xdxb 即 5 12 b 例例 为曲线P 2 cos 0 22sin xt t yt 上的一点 设过原点及的直线和 此曲线以及 OP x轴所包围部分的面积为A 1 将 如图 试回答下列各问 表示成 的函数 tA 求2 dA 最大时点P的坐标 dt 方程 y x o P 11 A 2 2 1 yx 解解 1 将参数方程化为直角坐标 22 2sin2 1 ytx 2 1 t 故所求面积为 1 22 cos cos sinAt txdx 23 42 cos sin2coscos 33 ttt t 3 41 coscos 33 tt 233 sincossin2sinsin2 01 dA vttttt 2 令uuu dt 的最值 下求 3 2vuu 令0vu 得 2 23 2 sin 3 ut 2 u 时 dA dt3 易知最大 故P点的坐标为 2 3 cos1 sin 3 xtt 坐标为y 2 4 2sin 3 yt x 第六章 定积分的应用第 10 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第六章 定积分的应用第 11 页 共 32 页 2 极坐标的情形 极坐标的情形 某些平面图形的面积利用极坐标来计算较方便 因此我们这节课介绍如何利 用极坐标来计算平面图形的面积 什么是极坐标呢 从一点出发的有长度 方向的射线就构成极坐标 极坐标 中的任一点均可以通过极径与极角来表示 反之 任一对极径与极角也表示了 极坐标中的某一点 极坐标系下的曲线方程一般表示为 rr ar 表示阿基米德螺线 如 sin cos3arr 表示圆 直角坐标与极坐标的关系 sin cosryrx 或 x y yxrarctan 22 这样一来 直角坐标与极坐标的方程均可互化 如xyxrrr3coscos3 222 2arctancos2sin2 rrxy 下面利用极坐标来求平面图形的面积 1 若平面图形由方程 r及射线 所围成 称为曲边扇形 曲边扇形 在区间 其中上连续 任取 x o r 在区间 上任取 一子区间 d 相应于 d 上 的小曲边扇形的面积A 近似于半径为 r 中心角为 d的圆扇形面积 即 dAddrA 2 2 2 1 2 1 所以 ddA 22 2 1 2 1 及射线 2 若平面图形由连续曲线 r r 围成时 图2 8 其中 上连续 求其面积A在区间 从图形可以看出 该图形的面积为曲线分别与射线 r r 围成曲边扇形面积之差 即 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 dA 2 2 1 2 1 d 2 d 22 1 2 例例 计算阿基米德螺线 0 aar 上相应于 20到从的一段弧与极轴所 围成的图形的面积 解 o x ra 32 2 0 32 2 11 0 22 3 4 2 aadaA 例例 6 求心形线 cos1 aar 0 所围成图形 的面积 解 利用图形关于x轴对称 得 22 0 2 13 1cos 224 1 Aada 例 4例 4 计算双纽线所围成的图形的面积 o x 1cos ra 2cos 22 ar 0 aA 如图 解解 由于此图形关于x轴和y轴都对 o x 22 cos2ra 4 称 所以只要计算出第一象限部分的面积 即得所求图形的面积后再乘以4A 2 0 2 24adA 例 5例 5 求由圆 cos 2 1 4 a cos3及心形线 r x o 3cosr 1cosr 3 1 r cosA公共部分图形的面积 解解 联立解方程组 圆与心形线交点处的极角 cos1 cos3 r r 得 3 利用图形关于 x轴的对称性 得 4 5 8 5 cos1 11 2 2 3 2 AdA cos3 2 1 22 30 d 第六章 定积分的应用第 12 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 二 体积二 体积 1 旋转体的体积 旋转体的体积 旋转体旋转体 由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫 做旋转轴 圆锥 可以看成是直角三角形绕直角边旋转而得的立体 直角梯形绕其直角边旋转而得的立体 球体 可看成是半圆绕其直径旋转所得的立体 如何求旋转体的体积呢 如何求旋转体的体积呢 是由连续曲线y f 圆柱 可看成是矩形绕其一边旋转所得的立体 圆台 可以看成是 1 设旋转体x 直线 xa xb 及x轴所围成的曲边 旋转一周而成的立体 梯形绕x轴 在 a b 内任取一小区间 x xdx 在曲边梯形内得一小的曲边梯形 这个 小的曲边梯形绕x轴旋转得一薄片 这个薄片近似地看成高为 底面圆半径 为 dx f x的圆柱 于是体积元素为 f x 2dx 旋转体的体积为旋转体的体积为 dV dxxfV b a 2 2 如果旋转体是由 xyyc ydy 直线及轴围成 绕轴旋转一周 而成 则旋转体的体积为旋转体的体积为 y dy 2 d c Vy 0 0 axbyf xy 绕 3 旋转体是由平面图形旋转而成 则旋转的体积为则旋转的体积为 2V b a xf x dx 在 a b 内任取一小区间 x xdx 在曲边梯形内得一小的曲边梯形 这个 小的曲边梯形绕xy轴旋转所得立体可近似地看成是 以为半径 高为 f x 厚为的空心圆柱 其体积为长是dx2 x 宽是 高为dx f x的长方体的体积 故dVxf x2 dx 从而旋转体的体积为旋转体的体积为 dx 4 旋转体是由平面图形 2 b a Vxf x 0 0 cydxyx 绕轴旋转而成 第六章 定积分的应用第 13 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 则旋转体的体积为则旋转体的体积为 dy2 d c Vyy 例例 1 求由 0 r yx xh y h 所围成的图形绕x轴旋转所得立体的体积 解 dxx r V h 2 h 0 h x r3 2 1 h 0 2 3 21 hr 3 例 2例 2 计算由椭圆1 22 yx 所围成的图形绕 22 x轴旋 ba 转一周而成的旋转体的 体积 解解 V 这个旋转体可看成是由半椭圆 22 xa a b y 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体 利用体积公式得 222 2 2 4 abdxxa b dxyV 2 3a a a a a 例例 3 求由 22 yxxy 所围成的图形绕x轴旋转所得立体的体积 11 4 00 3 16 Vxdxx dx 解 例例 求由0sin 0yxx 所确定的平面图形绕y轴旋转所得旋转体 Vx dyx dy 2 00 arcsin yyy 2 的体积 解 21 00 11 22 11 2 arcsin ydd 1 22 2arcsin y dy 0 0a 另解 2 2sin2 b Vxf x dxxxdx 1 2 例例 求由曲线 2xxy 与 2 x轴所围的图形绕 积 2 2 2 0 32 0 y轴旋转而成的旋转体的体 解 dxxxxV 2 2 2 2 dxxx x y 2yx o 2 x 2 x y o arcsin 2 xy 1 arcsinxy 第六章 定积分的应用第 14 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 3 8 4 12 2 43 xx 3 2 0 的第一拱 cos1 sin tay ttax 20 t与x例例 计算由摆线轴所围成的图形 图x2 17 分别绕旋转而成的旋转体的体积 yay2 轴 轴及直线 x 解 解 1 绕轴旋转 绕轴旋转 据式 所述图形绕x 根公轴旋转而成的旋转体的体积为 aVx cos1 cos1 0 222 cosa tdxxy 0 a22 dtta 323 2 23 5 cos3cos31 adtttt 0 y o 2 绕绕y轴旋转轴旋转 所求旋转体的体积可看成平面图形 OABC与OBC分别绕 B y轴旋转而成的旋转 体的体积之差 设弧的方程为 oB 1 yxx BA弧的方程为 2 yxx 则 aa 2 0 2 1 2 2 2 作代换 dyyxdyyxVy 0 1 cos yat tdtattatdtatta 2 sin sin sin sin 2 0 222 或 33 3 绕旋转绕旋转 取 33 2 0 23 6sin sin atdttta 2 0 2 2 sin 1 cos b a Vxf x dxa ttaat dt 1 cost 2 32 0 2 sin 1 cos 6atttdta ay2 0 2 xa 2 0 x xdxa 过 x xdx 分别作垂直于x轴的截面 截 旋转体所得立体可近似地看作是空心圆 x A 2ya 1 C 2 xxy 2 a xx y a y o 2ya x xxdx 第六章 定积分的应用第 15 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 柱 其底圆内半径为 其体积为 dx 因此 所求体积为 Vyay dxataatatdt 3sc ct 外半径为2 ya a2 22 2 2 4 Vaaydxyay 2 a 322 2 33 7co5ososadttta 2 00 4 1 cos 4 1 cos 1 cos 0 另解 所求体积可看成是圆柱的体积与摆线绕2ya 所成旋转体的体积之 差 其旋转半径为 故 a 行积为已知的立体的体积行积为已知的立体的体积 求立体的体积 径为 2 ay 故 2 22232323 0 2 2 2 87 a Vaaaydxaaa 行积为已知的立体的体积行积为已知的立体的体积 求立体的体积V 2 ay 2 22232323 0 2 2 2 87 a Vaaaydxaa 2 平截面面 平截面面 2 平截面面 平截面面 问题 问题 设有一立体 垂直于一定直线的各个截面面积为已知 解 取定直线为 问题 问题 设有一立体 垂直于一定直线的各个截面面积为已知 解 取定直线为 V x轴 设立体介于两平行平面ax bx 之间 过任一点 x bax 作垂直于轴的截面 设立体的截面面积为 连续函数 在区间上任取一子区间 xA ba dxxx 相应于此子区间上的薄空间体的体 积近似于底面面积为 高为的正柱体 上 下底的面积都是 的体积 即 从而得到体积元素 以为被积表达式 在区间上作定积分 得所求空间体的体积 实际上 前一部分的旋转体就是平行截面 由 2 V xAdx xA dxxAV dxxAdV dxxA ba b a dxxAV 面积为已知的立体 如前一部分 x的例3 求 2 yxxy 所围成的图形绕轴旋转所得立体的体积 x轴的平面截旋转体所得截面面积为 用垂直于 4 A xxx 大圆面积 小圆面积 故 1 4 16 a VA x dxxxdx 0 3 b 第六章 定积分的应用第 16 页 共 32 页 y x 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例 6例 6 有一空间体 10以长半轴 a 5短半轴 b的椭圆为底 而垂直于长 轴的截面都是等边三角形 求此空间体的体积 椭圆所在的平面为平面 椭圆中心为原点 椭圆长轴在yx0 x解解 取底面轴 上 椭圆短轴在y轴上 如图所示 程为1 510 2 2 2 2 yx 底面椭圆方 取 10 10 x 作垂直于x轴的截面 其面积为 2 2 32yyxA32 1 2 5 3 1 100 x y 于是空间体的体积为 3 3100 1010 1000 1325 10 2 10 dx x dxxAV 例 7例 7 两个底半径为 R的圆柱体垂直相 交 求它们公共部分的体积 x y z 解解 由于对称性 我们只划出图形的 8 1 并建立坐标系如图所示 取x为变量 其变化区间 区间 0 R上任一点 0 R积分为 在x处垂直于x轴 的 截 面 为 一 正 方 形 其 边 长 为 R 22 xRy 其面积为 22 xRxA 因此 得所求体积为 3 0 322 0 xR 2 3 16 3 1 8 8RxxRdxV R R 线为 轴的直线为y轴 那么底圆的方程为 x 2 y 2 R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个 直角三角形 两个直角边分别为 例例 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计 算这平面截圆柱所得立体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的交 y z x轴 底面上过圆中心 且垂直于x x 222 xyR 第六章 定积分的应用第 17 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 22 x 及R tan 22 xR 因而截面积为 tan 2 1 2 xxA 2 R 于是所求的立体体积为 dxxRV R R tan 2 122 tan 3 2 3 1 tan 2 1332 RxxR R R 第六章 定积分的应用第 18 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第六章 定积分的应用第 19 页 共 32 页 三 平面曲线的弧长三 平面曲线的弧长 几何中 圆周的长度是用圆内接正多边形的周长来逼近的 当正多边 现在 我们用类似的方法来建立平 面曲线的弧长的概念 设有一条以 1 弧长的概念 弧长的概念 在初等 形的边数无限增加时的极限就等于圆周长 A B为端点的弧 如图 在弧AB上任取分点 BMMMMMA nn 1210 0 AM 1 M 1i M i M n BM AB将弧分成段 依次连接相邻分点 得一条内接折线 设每条弦的长度为 n 2 1 1 niMM ii 则折线长度为 n i iin MML 1 1 ii ni MM 1 1 max 如果当分点数目无限增加 且0 记时 折线长度的 极限存在 则称此极限值为弧 n L AB的弧长 这时 称这段弧AB是可求长的 2 弧长的计算公式 弧长的计算公式 1 直角坐标情形 设弧由直角坐标方程为 xfy bxa AB 其中在区间上 具有一阶连续导数 即弧 xf ba AB是光滑曲线 求弧AB的长度 如图 取横坐标 S x为积分变量 变化区间为 在区间上任取一子区间 曲线上相应于这个子区间上的一段弧的长度 ba ba dxxx S 近似于曲线在点 处的切线上相应的一小段的长度 即 xfx 2 22 1 Sdxdyfxd 记 x 2 1 dSfxdx 称为弧长弧长 元素元素或弧微分弧微分 以dxy 2 1 为被积表达式 在 区间上作定积分 便得所求弧长为 ba y oab B yf x S dyfx dx A x xxdx 2 1 b a Sfx dx 若弧AB的方程为 2 10 dycyx 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 的长度为 其中 y 在区间上有一阶连续导数 类似可得弧 dcAB cc dyydyx 11 2 11 2 参数方程情形 dd 2 2 弧 S 由参数方程为 ty tx t AB若 上具有连续导数 这时 弧长元素为 其中 xx 在区间 dttt dttdtdxdS 22 2 2 2 长度为 tdy 2 22 从而 所求弧的 3 极坐标情形 dtttS 22 2 12 rr 若弧AB由极坐标方程为 其中 r在区间 上 具有 角坐得以极 一阶连续导数 由直标与极坐标的关系可角 为参数的弧AB ry 的参数方程为 sin cos rx drrdyxdS 2222 于是 弧长元素为 drrS 22 从而可得所求弧的长度为 2 13 例例 1 计算曲线 2 3 3 2 xy 上相应于x从a到b的一段弧的长度 解 b a x 1 3 2 2 b a dxxs1 3 1 1 3 2 2 3 2 3 ab 从xyln 1 x到2 x例 2例 2 计算对数曲线之间一段弧的长度 所求弧长为 dx x s 1 1 2 2 1 在以上积分中作代换 t x 1 解解 则 tS1 1 t d 1 2 1 2 1 2 1t 分部积分法 2 1 2 1 1 2 1 1dt t t 第六章 定积分的应用第 20 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 21ln 51 ln2525 2 1ln 2 1 1 2 tt x a sin y a 1 cos 的一拱 0 例例 3 计算摆线 2 的长度 解 弧长元素为 y A O aads cos1 d 2222 sin d cos1 a 2 dasi2 2 n 所求弧长为 a 2 x 2 0 2 sin2das 2 0 2 cos2 2 a 8a 例 4 例 4 计算星形线 tay tax 3 3 sin cos 20 t的全长 如图 解解 由于对称性 星形线的全长是它在第一象限内弧长的4倍 在第一象限 内 2 0 t 由于 y ttatatsincos3cos 23 3 ttatatcossin3sin 2 于是弧长元素为 dtttadtttdS cossin3 22 所以星形线的全长为 atdttaScossin34 2 6 0 a例例 求cosra 0 的弧长 解 2 2 cosa 2 22 00 s sin 2 adada 例例 求曲线 的弧长 解 因 2 3 03rer 22442 93645dsreede d rd 0 a的全长 如图 解解 由对称性 心形线的周长为极轴上方部分弧长的2倍 弧长元素为 x 第六章 定积分的应用第 21 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 22 222 1cos sin dSrrd aa d dad 2 cos2cos1 a 2 所以 心形线的周长为 dadaS cos4cos22aasin24 00 22 8 2 0 第六章 定积分的应用第 22 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 一 一 1 在直角坐标系下 内容要点内容要点 计算平面图形的面积 平面区域为 21 bxa xyx 则面积为S xxx b d a 12 区域为 S yyy d c d 12 平面 dyc 21 yxy 则面积为 2 在曲边梯形 xfy 0 y ax bx baxf 0 中 如果曲边 xfy 的方程为参数方程为 ty tx 则其面积 其中dxyA b a dttt ba 3 极坐标系下计算平面图形的面积 极坐标曲线 围成的面积的计算方法 解不等式0 得到 面积 d 2 2 1 4平行截面面积为已知的空间物体的体积 过x轴一点x作垂直于x轴的平面 该平面截空间物体的截面面积为 则该物体的体积 5 旋转体体积 xAbxa dxxAV b a 在上 曲线 直线围成的曲边梯形 1 绕 ba0 xf xfy 0 ybxax x轴旋转一周形成旋转体 其截面面积 旋转体体积 2 绕轴旋转一周形成旋转体 位 于 区 间 x x dx 上 的 部 分 绕轴 旋 转 一 周 而 形 成 的 旋 转 体 体 积 2 xfxA b a dxxfV 2 y y 22 xfxxfdxxv dxxxf 2 原曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体体积 6 平面曲线的弧长 ydxxxfV b a 2 曲线方程 自变量的范围 弧微分弧长dss b a 22 dydxds xfy bxa dxxfds 1 2 dxxfs b a 1 2 显函数 参数方程 tyy txx t dttytxds 22 dttytxs 22 rr drrds 22 drrs 2 2 极坐标 表 中 当 rr 时 sinry cosrx sin cos rrx cos sin rry 弧微分 dyxds 22 drr 22 二 教学要求与注意点二 教学要求与注意点 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 平面图形的面积 平面曲 线的弧长 旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体体积 y f x a x x dx b X 第六章 定积分的应用第 23 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第三节第三节 定积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用 设物体在变力的作用下沿直线 一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功 xFF x轴 从点ax 移动到点 力的作用方向与物体的运动方向一致间上作的功 bx F在区连续 求力F所 W x ba F x xiii oa ii bxxdx F 是常量 那么力 F abFW 如果力对物体所作的功为 但此问题中 力x 的函数 因此 F xF 不是常量 而是不能按常力情形的公式来计算 下面用元素法来求功 W 由于在区间 xF ba 解解 xab x xdx ba连续 因而在 的变化很小 所以在小 W xx区间 dxxxdx 上变力所作的功近似等于在 点x处的常力 xF所作的功 即 WdxxF O x x dx a x 于 例例 电量为 q的点电荷位于r轴的坐标原点O处 它所产生的电场力使r b a b 处求电场力对单位正电荷所作 的功 提示 由物理学知道 在电量为 q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 是功元素功元素dW dxxF 故 变力 F x沿直线从a到b所作的功为 b dxxFW 1 a 轴上的一个单位正电荷从r a处移动到r 2 r q kF k是常数 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r dr时 电场力对它所作的功近似为 解解 dr r q k 2 即功元素为 dr r q kdW 2 于是所求的功为dr r a 2 kq W b b a r kq 1 11 ba kq 律 例 一物体按规直线运动 所受的阻力与速度的平方成正比 计 从 运动到 2 ctx 时 克服力所做的功 算物体0 xax cx 解 位于x处时物体运动的速度ct dt dx 2 x 所受的阻力ckxcxkF44 如图从点x运动到点x dx所做的功元素dw a c c22 4 物体从时 克服力所做的功wkcxdxa kc ckxdx 0运动到a 2 0 42 第六章 定积分的应用第 24 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例例1 在底面积为等温条件下 由 活塞 面积为S 从点a处推移到点b处 计算在 气体压力所作的功 图 活 坐标x来表示 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在 于气体的膨胀 把容器中的一个 移动过程中 解 取坐标系如塞的位置可以用 设气体的压力F把活塞从x处推移到 xdx 处 压力所做的功为 x 其中 b a WFd FpS p 压强 活塞面积 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常 数k 即 pV k 或 S V k p 故 xxS k S k SpF 于是所求的功为dx x a a k W b xk ln b a 面的高度为h处所作的 b kln 例 2例 2 自地面垂直向上发射火箭 火箭质量为试计算将火箭发射到距离地 功并计算第二宇宙速度 即火箭脱离地球引力范围所 具有的速度 解解 取坐标系如图所示 m r轴垂直向上 原点在地球的中心 设地球质量为M 半径为R 球中心处 火箭所受引力为 为了发射火箭 必须克服地球引力 由万有引力定律知 火箭距地 Rr 2 r Mm KrF 其中K为引力常数 由于火箭在地面 Rr 时 地球对火箭的引力为mg g为重力加速度 即 mg R Mm K 2 从而 M K gR2 于是 引力为 2 r rF 2 mgR 箭自地面发射到距离 hR 故 将火Rr 地面高度为 rh 时 克服地球引力所作的功为 mgRdr mgR dr hRhR 2 hRRr rFW RR 11 2 2 使火箭脱离地球引力范围 可理解为使火箭无限远离地球 这时所需作的功 为 abxxdx S F o R r rdr Rh r i i 第六章 定积分的应用第 25 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 22 2 RR mgRmgR WF r drdrmgR R rr 根据机械能守恒定律知 要使火箭应 等于火箭的初始动能 能脱离地球引力范围 所需作的功 W 2 0 2 1 mv v是火箭离开地面的初始速度 即 Wmv 2 0 2 1 0 mmv 0 2 gR 2 1 所以 gRv2 0 将 71 8 9 2 mkmRsmg 代 10371 6 63 6 入上式右端 得 skmsm gRv 2 11102 112 3 0 的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把 桶内功 xdx 水的比重为9 8kN m3 因此如x的 单位为m 这薄层水的重力为9 8 32dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 x 此即功元素 88W 这个速度称为第二宇宙速度 例例 一圆柱形 的水全部吸出需作多少 解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为 0 5 相应于 0 5 上任小区间 x dx 的一薄层水的高度为 dW 88 2 dx 于是所求的功为 5 0 2 xdx 5 0 2 2 2 88 x 2 25 2 88 例 一个圆拄面 池中的水全部抽出来 kj 形水池 底半径5米 水深10米 要把 所做的功等于多少 水的密度 y x dx 10 x 1 于解 如图 将位x处 的薄层水抽出来 其重 量 厚度为 dx M密度 体积 dxdx 2552 当薄层水的厚度很dx 小时 所做的功元素xdxdw 25 要把池中的水全部抽出来 3846514 38 912525 10 2 10 w 所做的功 2 25 0 0 kJ x rxdx 半球装满水 问要把池中的水抽尽需作多 少功 因此 取坐标如图 6 29所示 球心为原点 例 3例 3 一直径为m20的形水池 池内 解解 要将水池中的水抽出 池中的水升高到池口平面即可 x轴向下表示水的深度 过球心的水平线为y轴 对 这个坐标系来讲 图中半圆的方程为取 222 10 yx x为积分变量 变化区间为 0 由于不同深度的质点被提出时所上升的高度不同 所以 设想把池内水 1 0 第六章 定积分的应用第 26 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 分成许多水平的薄层 于是在区间 0 10 上任取一小区间 dxxx 考虑相应 于这个小区间上的薄层水 深度为x处的水面面积为 此薄层水的体积近似于 并且把此薄层水的深度近似看成为 100 22 xyxS dxxxS 100 2 dx x 这样 抽出此薄层水克服重力所作的功近 似为 是功元素 其 dxxxdxxSxdW 100 2 g 这就为水的容重 为水的密度 g为重力加速度 所求功为 3 8 9mkN 于是 02 769692500 4 50 100 10 0 0 例 4例 4 一条长28m 质量为20kg 4 22 x xdxxxW KJ 的均匀链条被悬挂于某建筑物的顶部 问需作 10 多大的功才能把这一链条全部拉上顶部 解解 取坐标系如图6 30所示 坐标原点在建筑物顶部 x轴向下表示链条的 长度 质量为20Kg的链条的重量为 8920N96mg1 每米重量为 N7 28 196 取x为积分变量 变化区间为 0 28 在区间 0 28 dxxx 链条上相应于这个小区间的重量为dx7 把这一小段距顶部的距离 上任取一小区间 近似看成为x 则将此小段链条拉上建筑物顶部克服自身重力所作的功近似于 这就是功元素 于是所求功为 xdxdw7 JxxdxW2744 2 7 7 28 0 2 28 0 第六章 定积分的应用第 27 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 这里 主要用到物理学中的两个公式 液面下物体所受的压压 二 液体的压力二 液体的压力 强公式强公式 hp 液体的比重 物体在液面下的深度 面下物体所授的压力公式压力公式 h hAApP 主要求面积A 形状如下图所示 垂直放在体中 选取坐标系的 液 x例例 设有一薄板液轴向 下 y轴与液面相齐 薄板的曲边方程为 xfy xf为连续函数 求液体 P对薄板一侧的压力 解解 由于深度不同时压强不同 深度相同时压强相同 因此 可以设想把薄 板分成许多水平的小横条 xa b 取小区间 x xdxa b 现考虑小区间上所对应的小横条薄板 它可 o y x 近似地看成水平放置在液面下深度为x的位 置上 小横条的面积近似于小矩形的面积 dxxf 于是 根据压力公式小横条一侧所受 压力 元素为 dx xxfdP 液体薄 例 5例 5 一片 图所示 对板一侧的压力为 b a dxxxfP 底为8 cm 高为6 cm的等腰三角形垂直沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面3 cm 试求它每面所受的压力P 解解 取坐标系如右x轴向下表示水深 y轴与水平面相齐 取x为积 分变量 其变化区间为 3 9 AB方程为 3 3 2 yx 小长条面积的近似值为 压力 2 ydx 99 33 4 2 3 Pxydxx x 3 dx 1681 6464N 其中水的容重N 3 108 9 3 cm x xdx a yf x 液面 b o y 3 0 A 9 4 B x xdx x 第六章 定积分的应用第 28 页 共 32 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 例 6例 6 一椭圆形闸门 长轴为 轴为 短轴与水平面垂直 闸门 顶与水面相齐 试求闸门所受的压力 m5 1m2短 解解 选取坐标如下图所示 取x为积分变量 y x dx 10 x 变化 区间为 0 75 0 75 右半椭圆的方程为 22 75 0 75 0 xy 1 由于闸门是关于 yx o 水面 xdx x轴对称 两侧压力相等 闸门所受的压力等于右半闸门所受的压力的2 倍 在水深 x 75 0 xh处高为dx的右半横条所受压力近似于 dxxydxhdp 2 75 0 x 2 75 0 75 0 于是 dxxdxxxP 75 0 0 2222 75 0 75 0 75 0475 075 0 75 0 2 KN 5625 0 3 17 其中水的容重8 9 kN 3 m 例例 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 计算桶的一个端面上所受的压力 解 桶的一个端面是圆片 在水深x处 设桶的底半径为R 水的 比重为 与水接触的是下半圆 取坐标系如图 于圆片上取一窄条 其宽为dx 得压力元素为 dxxRx 22 2 dP 22 2 1 2 所求压力为 R RxP 2 dxx2 22 00 xRdxR R R