微积分对中学数学教学提供的指导作用.doc

学 士 学 位 论 文 BACHELORS THESIS编号 -微积分对中学数学教学的指导作用学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日 中文摘要初等数学是高等数学的基础, 二者有着本质的联系。把微积分的知识应用于解决中学数学问题上, 能起到以简驭繁的作用,尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方面,不仅可以简化解法, 而且能使问题的研究更为深入、全面。如果将整个数学比作一棵大树， 那么初等数学是根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。不论是高等数学还是初等数学，其基本方法都是相通的，那么，高等数学微积分方法在中学数学中有着怎样的指导作用呢？关键词:微积分 中学数学 应用AbstractFor middle school mathematics teaching of calculus of instruction function The primary mathematics is the base of higher mathematics , there is the essential relations. Calculus is the foundation of higher mathematics and the core. high school mathematics, such as the Roots of many issues to discuss, proof of identity, proof of inequality, geometric aspects of the application can use calculus to simplify and make the problem solution to deepen and expand.Keywords: Calculus primary mathematics applications. 目录中文摘要IAbstractI引言11 微积分为解决中学数学问题提供简便方法11.1求函数的极值、最值11.2求函数单调区间31.3因式分解、代数式化简41.4不等式与恒等式的证明51.5 方程根的讨论61.6 函数的变化性态及作图71.7 实际应用问题91.8求曲边图形的面积101.9导数在数列问题中的应用112微积分对中学数学相关内容提供理论依据112.1有理数定义112.2幂级数在近似计算中的应用122.21的推导122.22数的值132.3中学数学面积体积公式的推导152.31椭圆面积公式的推导152.32球体体积公式的推导16结论16参考文献17致谢1820 引言中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在。因此在高等数学观点来看中学数学，首先要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里的相应的原型和特例联系起来。这样就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确地把握中学数学的本质和关键。总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点。这样有利于提高数学质量和教学水平。拓展学生的解题思路，提高解题能力。1 微积分为解决中学数学问题提供简便方法1.1求函数的极值、最值利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化. （1）极值定义：设在点的某去心邻域有定义，若对该邻域中任一点,有,则称 为的一个极大值点；若有,则称为的一个极小值点，极值点的函数值称为极值；（2）用极值的第一充分条件来求极值：如果是的驻点或导数不存在点，若在 的两侧同号，则不是极值点.若在的两侧异号，则为极值点.若 在点的左为正右为负，则为极大值点；若左为负右为正，则为极小值点.而用极值的第二充分条件求极值：则只要在的邻域内可导，在的二阶导数存在，函数即在点取得极值.(3) 最值的求法：将闭区间上连续函数的最值的求法推广为开区间、半开区间（包括无穷区间）即任意区间的连续函数最值的判定和求法。其方法就是把函数的驻点(又称稳定点)、不可导的点、闭端点的函数值中的最大（最小）值与左开端点的右极限值或右开端点的左极限值比较，达到最大（最小），就是函数的最大（最小）值；否则函数就没有最大（最小）值.例1 已知，试判断 是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解： 当时 函数在和上是增函数，在上是减函数。 当时，函数取得极大值,当时，函数取得极小值例2 求函数在上的最大值和最小值.解： 令得驻点为 ，它们为的可能的极值点，算出这些点和区间端点处的函数值：，将它们加以比较，可知在上函数的最大值为，最小值为.012000极小值增极大值2减拐点减极小值增凹凸性凹凸1.2求函数单调区间在高中阶段，运用单调性的定义、以及复合函数单调区间的求解方法，可以解决一些比较简单基本函数经过几次基本运算后所得函数的单调性。但是对于一元三次（或更高次）函数的单调区间问题，用单调性的定义就显得力不从心，甚至不能求解。想反，用导数这一工具，却显得得心应手。求单调区间的步骤：（1）已知,求出；（2）求出的点；（3）令的区间是函数的增区间，故函数在此区间是增函数；（4）令的区间是函数的减区间，故函数在此区间是减函数；例 已知函数时都取得极值.求 的值与函数的单调区间.解： 由 得 ,令，可解得 在是增函数,在是减函数.由此可见，导数在求阶型如的函数的单调性时，比普通方法要优越很多！1.3因式分解、代数式化简用定积分进行因式分解，常可使解法简便,巧妙. 我们熟知对于一元多项式函数有:,那么同样针对多元多项式函数，对于某个都有：，而多项式比不含有项，因此只要多项式与多项式有公因式，就可以对多项式进行因式分解，这是基于以下一个引理：设为元多项式，若存在某个，使得与有公因式，则 与有公因式. 该引理对于定积分在因式分解中的应用的意义在于，针对构造的函数，只要存在某个点，使得与有公因式，则可判断,可以进行因式分解.例1 分解因式解：把看作变量，与看作常量（参数）.令求对导数得， 对上式取不定积分，得 其中C为常数，此处C是含有变量y和z的代数式，从而得恒等式上式中令于是 .例2 化简解：把看作变量与看作常量，令 对求导得 上式两端取不定积分得 由，得 由式，令x=0，得 .故 原式.1.4不等式与恒等式的证明不等式与恒等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，往往需要较高的技巧。利用微积分的知识与方法，例如微分中值定理、函数增减性、极值判定法等来证明，可简化证明，降低技巧性.利用微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理等证明不等式： ，是利用在内的特点证明不等式.利用函数增减性证明不等式：函数 在区间 可微, 则 在 严格递增(递减) 充要条件: 或).证明不等式的具体步骤：（1）令不等式的形式为;(2)不妨;(3)求,并判断出,若即可判断在定义区间内是增函数，既而原函数,即可判断出原不等式的大小.反之同理可得.证明恒等式的方法：即证明原等式的一阶导数为零即可，则可推出原等式必然成立.假设原等式为，若证明原等式成立，即证，所以可推出，当时，即可得.例1 证明不等式: .证明:设 则 所以递 增,又故 设 则 由上面已证得的结果: 且因, 即知 .例 2 试证当 时, 有.证明当时,等式显然成立，当时,对等式左边求导,得到 .所以 常数, 当时,.故 .1.5 方程根的讨论不妨设原方程一般形式为.设在为二阶可导函数,且满足 ； 设当（1）,从而有，则原方程必与轴有个交点，即为原方程的解.同理可得：（2）当，这时有. （3）当，这时有.(4)当，这时有.也可判断出原方程必与轴相交,即为原方程的解.例1 试证:当 时,方程有唯一解,.证明设,则当 时,因为 ,所以 由连续函数中值定理知, 上有解, 即此外, 因为 ,所以 上单调递减,故 方程上只有一个根. 由结论可知,当的图像与直线有且只有一个交点。关于函数的图像与直线是否有交点的问题,可通过对方程根的讨论得到完满的解答。注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的根，这样做有一定的运算量，显得麻烦.现采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简便.1.6 函数的变化性态及作图函数的图像以其直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候,其作用尤为明显,这就要求我们能正确地做出函数的图像。中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时,通常用描点法，做出函数的图像。这种图像一般是粗糙的,不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态。利用导数作为工具,可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断,从而比较准确地做出函数的图像。一般来说,描绘函数的图像可以按以下步骤进行:(1) 求出函数的定义域, 确定图像范围。(2) 判别函数是否具有奇偶性或周期性,缩小描绘图的范围。(3) 求函数的不连续点,并讨论函数在不连续点的左、右变化情况, 可能存在极限, 也可能趋向无穷(此时有垂直渐近线) 。如果函数定义域是无限区间, 则要讨论当无限增加时, 的变化趋势,若存在极限,则有水平渐近线;若趋于无穷,应考虑是否有斜渐近线。(4) 计算函数的一、二阶导数, 并求解 ,讨论 的单调性、局部极值、凹凸性与拐点,列表。(5) 计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标。(6) 在直角坐标系中,标出关键点的坐标, 画出渐近线 ,再按讨论的性态逐段描绘例1 作函数的图形。解：定义域为, 曲线与y 轴的交点为. 利用连续函数的零值定理可知, 在区间内曲线与x 轴有交点.令 得驻点 令 1.7 实际应用问题例1 如图221 平地上有一条水沟,沟沿是两条长100m 的平行线段,沟宽为2m , 与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线, 抛物线的顶点为O, 对称轴与地面垂直,沟深1.5m ,沟中水深1m.(1) 求水面宽;(2) 现在要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟,沟的底面与地面平行,两腰分别与抛物线相切 , 改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?解(1) 设抛物线方程为, 则由抛物线过点 , 可得.于是抛物线方程为 .当 由此可以得到, 水面宽为2 ( m)(2) 设切点为 是抛物线弧OB 上的一点, 过点P 作抛物线的切线, 得直角梯形OCD E.由于 y = x ,故切线CD 的方程为;即.于是 .设梯形OCD E 的面积为 ,则由于,故 .当且仅当时,等号成立。于是 当时, 取最小值, 此时所挖的土最少。当时,可求得 点的坐标为,因此,要使所挖掉的土最少,改挖后的沟底的宽必须为m.1.8求曲边图形的面积在几何问题中，面积始终占有重要的角色。但在初中，面积计算只限于那些规则图形或者可以分割成规则图形三角形、平行四边形、梯形。在高中，当学生学过海伦公式、解三角形的知识后，我们求面积的方法就更加多样，平面基本图形也更加一般化，但无论怎样一般化，我们所求的面积都有一个共同的特点直边。一旦需要计算曲边图形的面积，我们就需要化曲为直。例如：求抛物线与直线围成的平面图形的面积.解 解方程组得两曲线的交点.选取横坐标为微积分变量，则所围成的曲边图形的面积应该是两部分面积之和，即： .积分知识在高中教材的出现，使得求曲边图形的面积成为可能。而我们上一道例题面积相等的原因也需要利用定积分的知识才能给出了令人信服的数字解答1.9导数在数列问题中的应用根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导即可.例 求数列的和.（其中）分析这道题在中学可用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使问题更加明。解： 注意到是的导数，即，可先求数列的前n项和.当，设然后等式两边同时对x求导，有 . 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材, 中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外, 还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.2微积分对中学数学相关内容提供理论依据2.1有理数定义有理数的定义：凡是可以表示成形式的数都称作有理数.有理数可以用分数（m,n为整数，）表示，也可以用十进小数或无限十进循环小数来表示.为了以下讨论的需要，我们把有限小数（包括整数）也表示为无限小数，对此我们作如下规定对于正有限小数（包括正整数），当时，其中，为非负数记:，而当为正整数时，记.例如证明：证明： 有理数定义的依据是：无穷级数求和所得，如在上题中令 所以得到上述中学教学中的定义.2.2幂级数在近似计算中的应用幂级数的定义：由幂函数列所产生的函数项级数称为幂级数.幂级数的近似计算原理：巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，再利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算其值.所以用它解题往往思路清晰、条理清楚.2.21的推导众所周知， 圆周率 是平面上圆的周长和直径之比， 它等于3.141592653.古人计算圆周率，一般是用割圆法. 近似值的数学家是中国古代数学家刘徽（公元263 年）它的方法称为“ 割圆术” 其实质是用圆的内接正多边形的面积逐步接近圆的面积. 从而获得的近似值.阿基米德（Archimedes）用正96 边形得到圆周率小数点后3 位的精度;另一位中国古代数学家祖冲之公元429 - 527年 推算出从当时数学发展的水平来看, 割圆术应该是一个最好的选择, 如果祖冲之也是用割圆术得到 的上述近似值. 那么他需要计算圆内接正24576 边形的面积.如此复杂的计算不知祖冲之是如何完成的由于割圆术计算量大.收敛速度慢, 因此要得到更为精确的的值必须探索新的方法.计算的近代方法是运用初等数学的技巧, 把表示为各种形式的反正切函数值, 然后运用高等数学中数学分析的理论把转化为数项级数的和. 当时取前 项的和作为的近似值, 设其误差为.则当 时 取 得 则 这一公式虽然已有一定的实用价值, 但收敛速度仍不快, 由估计式可知, 改进的计算公式的关键在于尽可能取较小的 ， 使得它方便地用 表示在这方面, 马信（1706） 做出了开创性的工作, 它证明了 此方法提供了一个把 表示成一个反正切值的线性组合.2.22数的值把这个常数记作、并对它作了全面深入研究的数学家是Euler ( 欧拉) . 从1727 年就开始研究它, 并记之为. 得到了众多的发现. 在1748 年出版的书5无穷小分析引论6 中, 把自己的发现作了完整的叙述与总结.同样把数e 定义为极限, 并证明了.取了上述公式的20 项进行计算, 给出了数 的前18 位,定义了以 为底的指数函数与对数函数( 即自然对数) . 此外还给出了数和以 为底的指数函数的幂级数展开式, 以及它们的连分数展开式.最难能可贵的是借助于, 证明了著名公式:,被称作Euler( 欧拉) 公式.数是很重要的常数，它是我们熟知的自然对数的底，表示数 有多种不同的方法，幂级数是表示数 的一个理想的工具, 另外，近似计算数、幂级数也是一个理想的工具, 求的近似值，计算到小数点后三位（误差不超过）函数的麦克劳林级数是 当时，有 用它的部分和近似代替数,则误差不超过,即 要使误差不超过，即 只需，由此可知当取项数为就可满足题目要求，则有微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，利用定积分的知识可以在其他推导一些面积和体积公式.2.3中学数学面积体积公式的推导定积分定义：一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：定积分的微元法的步骤：(1)选取某一量（如）为积分变量，并确定其变化范围（如）；(2)在区间的任意一个小区间上，求出相应的部分量的近似值，若与之差是比高阶的无穷小，记为，称为的微元，称为的微元；(3)以为被积表达式，在区间上做定积分.注：此法的关键步骤适当选择连续函数，以近似表达并使二者之差为的高阶无穷小（）；旋转体的体积公式 旋转曲面的面积公式 2.31椭圆面积公式的推导求的椭圆面积方法：三角代换法椭圆的图形关于坐标轴都对称，所以只算出第一象限上的一部分面积乘以4就可以了，由方程可解出，因而椭圆面积，利用三角代换，设,则，当由0变化到时，由0变到 , 2.32球体体积公式的推导证明半径为R 的球体体积为证明：（利用定积分证明）把球体看作是坐标平面上以原点为圆心、R 为半径的上半圆：绕x 轴旋转一周而成的几何体，由定积分理论中旋转体的体积公式得到球体的体积为： 结论综上所述，利用高等数学的一些思想、观点、原理和方法，可以改变对一些问题的思维方式，拓展解题思路，不仅可以对初等数学的教学和研究有着很大的指导作用，也可以进一步加深对高等数学中的一些思想、观点、原理和方法的理解和掌握，达到一举两得.从事初等数学教学的教师，只有用高等数学的知识、观点和方法，以一种居高临下的态势，审视初等数学的教学内容，才能使初等数学的教学达到理想的境界，进而才能够不断地提高数学教学质量.对于微积分在初等数学中的应用还很多，还值得长期探讨和研究，微积分如果进入初等数学，可以扩大初等数学的应用范围，初等数学的面貌也就会发生很大的变化. 微积分作为一种工具存在于中学数学中, 在求有关曲线切线、函数单调性、极值和最值问题时非常有效, 它在解决某些传统题型上也显得简捷明了，随着新课程改革的推进, 对微积分的教学和考查的要求也将