新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析.pdf

第 5 0卷第 1 9期 2 0 1 4 年1 0 月 机械工程学报 J OI 爪 NAL OF M ECHANI CAL ENGI NEERI NG Vlo 1 5 0 N O 1 9 Oct 2 0 1 4 DoI l 0 39 01 JM E 2 01 4 1 9 0 41 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析 牛雪梅 高国琴 刘辛军2 鲍智达 1 江苏大学 电气信息工程学院镇江2 1 2 0 1 3 2 清华大学机械工程系北京 1 0 0 0 8 4 摘要 动力学模型是进行动力学特性分析的基础 同时也是实现机构高精度时实控制的前提 以一种新型驱动冗余并 联机构为研究对象 采用 L a g r a n g e 方程法建立了基于工作空间的动力学模型 并借助最小 2范数法实现机构工作空间 的非约束等效广义力到轴 向驱动力的优化 由于机构动力学方程存在非线性和强耦合特性 计算量大 难以满足实时 控制要求 为此 通过对机构各主要构件所引入的驱动力的分析 提出基于 R BF神经网络误差补偿的动力学模型简化 方案 仿真结果验证 了所建模型的正确性和模型简化方法的有效性 关键词 并联机构 冗余驱动 动力学建模 L a g r a n g e方程 简化策略 中图分类号 T P 2 4 2 Dy n a mic Fo r mul a t io n a nd S imp l ifi e d M o d e l o f a No v e l 3 DOF Pa r a l l e l M e cha n is m wit h Act ua t io n Re d u nda n cy NI U Xu e me i GAO G u o q i n L I U Xi n j u n B AO Z h i d a 1 S ch o o l o f E l e ct r ica l a n d I n f o r ma t io n E n g i n e e r in g J ia n g s u U n iv e r s i t y Z h e n j ia n g 2 1 2 0 1 3 2 De p a r t me n t o f Me ch a n ica l E n g in e e r in g T s in g h u a Un iv e r s ity B e i j in g 1 0 0 0 8 4 Ab s t r a ct Dy n a mics p l a y s a l l imp o r t a n t r o l e in t h e a p p l ica t io n o f p a r a l l e l me ch a n is m wh ich is t h e k e y t o an a l y z e t h e d yn am ic ch a r a ct e r is t ics a n d a ch i e v e h ig h p r e cis i o n o p e r a t i o n T h e in v e r s e d y n a mi c mo d e l f o r a n o v e l r e d u n d a n t l y a ct u a t e d p a r a l l e l me ch a n is m i s f o r mu l a t e d i n the t a s k s p a ce u s i n g L a g r a n g ia n f o r ma l is m a n d the d r i v in g f o r ce is o p t i mi z e d b y u t i l i z in g t h e mi n i ma l 2 n o rm me t h o d By i n v e s t ig a t in g t h e co n t r ib u t i o n o f e a ch t e rm in t h e d y n a mi c mo d e l t o t h e d r i v i n g f o r ce a s i mp l ifi e d s t r a t e g y o f t h e d yn a mi c mo d e l for r e a l t ime co n tro l a p p l ica t io n is p r e s e n t e d and the s u b s e q u e n t mo d e l e r r o r is co mp e n s a t e d b y a d o p ti n g RBF n e u r a l n e t wo r k S i mu l a t i o n r e s u l t s v e ri f y the co r r e ct n e s s a n d e ff e cti v e n e s s o f the p r o p o s e d d y n a mic mo d e l a n d s imp l i fi e d s tra t e gy Ke y wo r d s p ara l l e l me ch anis m r e d u n d a n t a ctua t io n d yn am i cs mo d e l i n g l a g r an g e f o r ma l is m s i mp l ifi e d s tr a t e gy 0 前言 并联机构具有刚度大 承载 能力强 运动精度 高 运动惯量小等优点 越来越多的引起学术界和 工业界的广泛关注 J J 以 3 自由度为代表的少 自由 度并联机构具有结构简单 刚度大 灵巧度好 工 作空间大 控制容易 造价低等优点L z J 成为机器 人技术研究的新热 点L 4 J 众所周知 对于少 自由度 并联机构 其 自由度的减少会最终导致动平台的耦 国家 自然科学 5 1 3 7 5 2 1 0 江苏省高校优势学科建设工程 苏政办 发 2 0 1 1 6号 江苏省高校研究生科研创新计划 C X L X1 1 0 5 9 8 和江 苏大学高级专业人才科研启动资金 1 3 J DG 0 4 7 资助项 目 2 0 1 3 1 0 1 9收 到初稿 2 0 1 4 0 5 2 7收到修改稿 合运动 运动学和动力学分析也变得非常复杂 另 外 当机构运动到奇异点时 其刚度和精度特性迅 速恶化L 6 J 采用冗余驱动方法可 以消除并联机构的 奇异性 实现跨越构型空间 有益于改善并联机构 的刚度 定位精度 奇异 避障性能 动力学性能 和载荷 的合理分布 J 并联机构 的动力学模 型的建立是其动 力学研 究的重要方面 同时也是实现并联机构高精度 时实 控制的前提 J 分析文献可知 目前比较成熟 的建 模方法有 L a g r a n g e 方程法 牛顿一 欧拉法 凯恩法 高斯法 虚功原理等方法 WU等 l 叫 针对一种 3 D OF 并联机器人 在运动学分析的基础上 采用虚功原 理法建立 了其逆动力学方程 并运用最 b 乘法进 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 4年 1 0月 牛雪梅等 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析 4 3 式中 为动坐标原点 D相 对于坐标系 的位置 坐标 为坐标系 相对于 的旋转变换矩 阵 则硝表示为 I c o s fl F 0 s in fl 结合式 3 4 可得 相对于坐标系 的位置 坐标 表示如下 r 0 Ly j f 0 j 根据 3 个驱动杆的端点在参考坐标系 和 的 坐 标 值 结 合 机 构 连 杆 长 度 不 变 的特 性 Il 一 lI 可 得 机 构 的 位 置 方 程 y r z z 1 葺 一 z Z 2 6 一 r 3 c o s z 3 一 r 3 s i n fl z 从而进一步可得并联机构 不含冗余支链 的位置逆 解方程 丽 z z 2 丽 z 7 r 3 s i n z 分析可知 该并联机构的位置逆解共有 8组 而机构设计要求决定了式 7 中的符号 士 均取为 l J 冗余驱动滑块带动支链 3在 y方 向做直线 运动 且其位移量表示为 Z 4 一 Y 8 式 7 和式 8 即为驱动冗 余并联机 构的运动学 逆解 1 3 雅可 比矩阵 本文所研究的驱动冗余并联机构 其雅可 比矩 阵表示为各驱动滑块速度对动平台 3维速度 的一阶 影响系数矩 阵 由于该雅可 比矩阵为非满秩矩阵 故只适用于工作空间向关节空间的速度映射 即当 给定并联机器人末端执行器的进给速度 可 以唯一 得到 4个驱动滑块的驱动速度L 9 为保证工作空间 和关节空间的一一对应 需要推导 出 4 x 3的速度传 递矩 阵 对式 7 求导可得非冗余驱动滑块 B f 卢1 2 3 的 驱动速度公式 Z Z 刍 Y 一 i 墨 夕 z z 1 z z 2 Y 5 z z 三 z 3 一 r 3 s i n fl z z 3 Z 3 一 r 3 s i n fl z 三 z 3 一 z c o s p s i n f1 r 3 fl 整理可得 和 圣 1 0 式中 输出速度矢量 三 1 2 毛 圣 输入速度矢量 圣 三 机构正 逆雅可 比矩阵 z Z 1 0 0 1 A l 0 z Z 2 0 l 0 0 Z 3 一 s in fl z 定 义 为 非冗 余 驱动 机 构 的速度 雅 可 比矩 阵 则 Jr A B 1 1 根据式 8 9 同时考虑驱动冗余部分 则整 个机构的雅可比矩阵 l 可表示为 式 中 一 冗余驱动部分雅可 比矩阵 J 1 0 0 2 并联机构动力学建模 驱动冗余 并联机 构的动力 学建模 是建立在 非 驱动冗余并联机构动力学建模基础上的 由于驱动 冗余支链的存在 使得并联机构的动力学建模更加 复杂 J 为实现所研究驱动冗余并联机构的准确建 模及有效验证 将机构分为动平 台 连杆和驱动滑 块三个子系统 分别对其进行动力学建模 然后求 取机构整体动力学方程 2 1 动平台子系统动力学方程 并联机构动平 台动能为 1 1 一 一 寺 p 1 l 寺 L eO h 1 3 二 二 式中 l 厂动平 台的质量 一 q 0 S C O 1 0 一 n 龇 一 0 0 S Z 一 z 一 一 一 龇 Z Z 一 R足 一 r r 0 一 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 机械工程学报 第 5 0卷第 1 9期 卜动平台质心的线速度 角速度和转动 惯量矩阵 三 E to 欧 拉 转速 矢量 f 转速矢量到角速度矢量的变换矩阵 f 1 0 si n fl l 0 1 0 I 0 0 c o s fl J 而惯量矩阵 厶可表示为 j 0 砷 式 中 0 为动平台相对于参考坐标系 的转动惯 量 根 据 所 研 究 机 构 动 平 台 的 特 点 有 I o d i a g 0 5 m p r 2 o 2 5 m p 0 5 m p d 为便于计算 选择静坐标系 的 Y O Z平面为 零势面 则动平台的势能可表示为 u m g z 1 4 将式 1 3 1 4 代入下列拉格朗 日方程 d C f aff d t 一等 一 15 ag 整理可得机构动平台的子动力学方程 MA 圣 r p 1 6 式中 M 动平台子系统惯性矩 阵 C 动平台子系统哥氏力系数矩阵 G 动平台子系统重力项 f 动平台所引入的等效广义力 2 2 连杆子系统动力学方程 机构三个连 杆 的速度包括移 动速度 和旋转角 速度 在实际运行中 各连杆的角速度较小可忽略 不计 1 8 则并联机构连杆 的动能为 1 G lT G l 1 7 式中 广 一连杆质量 卢l 2 3 l G 广 一 连杆质心的移动速度 设机构三个连杆 卢l 2 3 均质 则各连杆质 心 Gf 相对与坐标系 的位置坐标可表示为 G 1 l y r R 而 G 2 l y r R 是 一 参 oos跏 丽 1 8 对式 1 8 求导即可得连杆质心移动速度 V G i 机构连杆的势能为 3 Zm li g Z G i 1 9 i 1 同理可得机构连杆子系统的动力学方程 C l q G f f 2 0 式中 G j f 分别为连杆子系统惯性矩 阵 哥氏力系数矩阵 重力项和等效广义力 2 3 滑块子系统动力学方程 并联机构 四个驱动滑块均 在丝杠上做直线运 动 即转动动能为零 则驱动滑块的动能可表示为 去 2 1 i l 厶 式中 6 广 滑块质量 卢1 2 3 广一 滑块的移动速度 V b 0 0 之 机构冗余驱动滑块无 z方向运动 其重力项与 机构架 的支撑力相抵消 所 以机构驱动滑块 的势 能为 3 m b g z 2 2 i 1 同理可得滑块子系统的动力学方程 牙 c 口 f 6 2 3 式中 G 6 分别为滑块子系统惯性 矩阵 哥氏力系数矩阵 重力项和等效广义力 2 4 整体动力学模型 至此 已经完成对机构动平台 连杆和驱动滑块 三个子系统的动力学建模 在此基础上可进一步获 得机构的整体动力学方程 g 牙 C q 圣 口 G g f 2 4 式中 M q C q 圣 C p c c 6 G q G G j 目 磊 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 4年 1 0月 牛雪梅等 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析 4 5 圭 十 2 M 2 1 1 4 Z l2 m 1 2 M 2 2 p 2m 1 ml 3 2 mb l mb 3 c s 一 1 m 2 lmp r 2 l r 2 s i n c s 一 1 m 2 嘶 塞 葺 4 一 4 三 q 葺 4 fl 4 C 2 si Il 一 A m l3 2 C 3 1 C c 3 sm 胞 4 2 s c o s 一 2 c o s 一 s i n e 4 O re c s 一 4 s mE 4 0 m b G q 一 m b l g 4 z 2 m b 6 3 2 m n f g 3 3 g r 3 c o s E 4 4 Y 一R 丽 4 R 3 5 c s E r 3 s i n e r c o s E 一 一 Y R 一 Ry f ff y C F 1 3 4 2 2 4 葺一 r 一 j 一 r 一 4 r s i n E r 3 一 c o s E c o s E 置 2 5 c o m E 本文所 研究 的驱动冗余 并联机构 的 自由度为 3 对应驱动量有 4个 在任何运动状态下 机构驱 动力不唯一 因此必须进行驱动力优化 根据虚功 原理及范数最小原则可确定系统最优解 1 9 2 0 表示 如下 F J f 2 5 式中 J r T 的伪逆 F 轴 向驱动力矢量 F 厂 2 厂 4 轴向驱动力 2 5 模型简化及误差补偿 由式 2 4 可知 并联机构的动力学模型计算复 杂 不适用于时实控制 在实际应用中必须进行合 理简化 忽略各构件的转动动能 机构动平 台动和 驱动滑块 的动能可分别表示为 1 去 p z 2 6 1 f 寺 6 f z f 1 2 3 2 7 根 据 式 1 8 可 得 各 连 杆质 心 的线 速 度 l 0 0 5 0 5 三 一 0 5 之 l G 2 0 0 5 0 5 0 5 i2 和 G 3 o 0 5 三 0 5 之 故各 连杆的 动能 可近 似 表示为 I 4m z 1 l 2 3 2 8 分析式 2 6 2 8 提出如下动力学简化方案 将三个连杆质量的二分之一转入相连滑块 而剩余 二分之一的质量则转入机构动平台 由于机构动平 台动和驱动滑块的运动较为单一 因此机构动力学 模型可得到有效简化 很显然 上述模 型简化所带来 的误 差会影 响 机构的建模及控制精度 由于 R BF神经网络学习 速度快 网络结构 自适应确 定 输 出与初始权值 无关 且具有全局最优和最佳逼近性能 在函数逼 近 时间序列预测 系统建模和控制中得到 了广泛 应用 本文采用 R BF 神经 网络在线补偿动力学 模 型 简化 误 差 以满足 系 统 实 时性和 控 制精 度 要求 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 机械工程学报 第 5 0卷第 1 9期 由动力学模型可知 系统驱动力与机构动平台 位姿 速度和加速度有关 故本文所设计 R B F神经 网络输入层结点数为 9 输 出层结点数均为 4 其结 构如图 4所示 其中输入矢量为机构位姿量 位姿 的 一 阶 导 数 和 位 姿 的 二 阶 导 数 表 示 为 Q 留 圣 z 三 输出 矢量为 补偿力矢量 记为 F R B F 神 经 网络隐含层采用高斯指数型函数 输 出层采用线 性激活函数 图4 R B F神经网络结构 根据运动要求确定动平台的运动轨迹 从规划 的轨迹 中 取 出3 0 0 0 组 位 姿 数 据 O i Y i z i 卢 1 2 3 o o o 分别 用完 整 动力学模型及简化动力学模型求解出所对应的 3 0 0 0 组机构理想驱动力和实际驱动力 分别记为 并将两者进行比较 求出误差值 将 和 构成样本对并进行归一化处理 选取其 中 2 3组数 据作为 R BF神经网络的训练样本 对所设计 R B F 神经网络进行离线训练 另保 留 1 3的数据作为检 测样本验证所构建 R B F神经网络模型误差补偿方 案的有效性和正确性 在并联机构实际运动过程 中 以实测的动平台运动状态为输入 则 R B F神经 网络 的输出即对应的各个驱动轴上的补偿力 因此 考虑误差补偿项 式 2 4 可重新表示如下 F J I g C q q q G g A F 2 6 3 算例分析 针对所建动力学模型 在 Ma t a l b S i mu li n k环境 下进行仿真以验证模型正确性及模型简化方案 的有 效性 机构各组件参数如表 1 所示 R B F神经网络 的权值矢量初始值均取为 0 高斯函数的参数随机 选取 表 1 机构组件参数 构件质量 k g 数值 构件长度 mm 数值 r n p 8 1 0 3 l L2 2 6 9 0 0 mb l rob 2 1 1 8 1 5 2 1 6 0 0 mb 3 1 6 4 0 l l 9 8 1 7 mlhm12 l0 8 7 5 3 1 4 0 0 0 m 3 8 5 2 5 l R 2 21 3 91 mb 4 7 0 31 4 R3 2 0 7 8 0 如下 并联机构动 平台 中心点的期望运动轨迹规划 I Y 0 0 5 c o s 0 1 n t z 0 0 5 s in 0 1 a t 3 0 l 0 3 1 机构主要构件引入的驱动力 为分析机构各部分驱动力对 总体驱动力的影 响 基于上述机构参数进行平面圆周运动 在一个 运动周期 内 并联机构各主要部件所引入的驱动力 如图 5所示 由图可知并联机构各主要构件所引入 的驱动力变化各不相同 但均呈正余弦曲线规律变 化 这是由机构本身对称性和运动轨迹为正弦和余 弦函数所决定 的 在 1 2圆周处 由于各滑块运动 方向发生改变 故所对应驱动力达到最大值且变化 趋势发生改变 分析图 5 b 5 c知 连杆 1 2 滑 块 1 2及动平台在 z轴方 向所引入的驱动力的变 化较大 且由 和 承担 而在 y方向 由于加速 度较小 所引入轴 向驱动力 较小 从图 5 d 5 e 可 以看 出 连杆 3和滑块 3所引入 的驱动力 较大 而 的 厂 2 的分担量几乎为零 这是 由于连杆 3和滑 块 3的质量较大 且其重力项基本 由驱动力 承担 造成的 图 5 f 中 由于冗余滑块无 z轴方向运动 且其重力项 由机构架承担 故其 引入的驱动力 几 乎为零 3 2 简化模型验证 图 6为圆周运动时并联机构各支路驱动力变化 情况 图中实际模型为式 2 4 所示机构完整动力学 模型 带补偿简化模型为式 2 6 所示基于 R B F神经 网络的简化模型 由图 6可知 基于 R B F神经网络 误差补偿的简化模型的驱动力与原始完整动力学模 型的输出基本一致 最大误差不超过 1 0 N 3 3 控制性能验证 为进一步验证所 建动力学模 型的正确性和简 化方案的有效性 基于上述动力学模型 引入 P D 控制器构建机器人 闭环控制系统并对其进行计算机 仿真 P D控制器参数选为 d i a g 8 0 0 0 3 8 0 0 0 6 5 0 k d d i a g 1 5 0 0 1 5 0 0 6 0 0 并联机构动平台 运动期望轨迹选取为 y 0 0 5 c o s x t z 0 0 5 s i n x t 0 设初始位姿 g 0 0 4 一 0 0 1 0 5 1 0 仿真 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 4年 1 O月 l 0 一 l O 时间 f S 1 O 时间 f s e 牛雪梅等 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析 a 动平台引入 的驱动力 2 5 0 2 4 0 2 3 0 2 2 0 c 滑块 1 2引入的驱动力 5 0 R 需 一 5 暮 l 滑块 3引入的驱动力 时间西 s a 支路 1 时间 s c 支路 3 时间 Z l 2 一 R一 需 蓍 ll O b 连杆 1 2引入的驱动力 时间 t s d 连杆 3引入的驱动力 时间 l 0 1 5 时间 f s f 图 5 并联机构主要构件引入的驱动力 图6 并联机构各支路驱动力 结果如 图 7和 图 8所示 由此可知机构末端能有效 跟踪期望轨迹 在 y Z和 方 向的误差绝对值分 冗余滑块引入的驱动力 时间 s b 支路 2 时间 s d 支路4 时间 f s 47 别小于 0 3 n l l i 1 O 5 ml n和 0 6 1 0 4 与无补偿 模型相比 采用本文所提出的带补偿简化方案 并 加 m N R需群 加 m 如 N R需爵 加 N R臀爵 加 N R臀静 N R需辞 z 0 R需薛 j O 1 0 O N 厂 R需辞 0 j O O N R日 挈 爵 N R 爵 O O O O 2 N R需静 O O z R稃辞 杀 2 O 2 o N R臀薛 2 O 2 O O N R N R需 z 臀爵 zN T o l 需 zN T 0 I 稃 O 9 8 7 姗 z R需爵 N R臀舒 N 稃薛 N R臀 N 需 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 4年 1 0月 牛雪梅等 新型驱动冗余并联机构动力学建模及简化分析 4 9 1 O 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 秦皇岛 燕山大学 2 0 1 0 CHE NG L i Th e o r e t ica l a n d e x p e ri me n t a l in v e s t ig a t io n o f 5 DOF p a r a l l e l ma ch i n e t o o l wi t h r e d u n d a n t a ct u a t i o n D Qi n h u a n g d a o Y a n s h an Un i v e r s it y 2 0 1 0 WU J un WANG J i n g s o n g WANG L i p in g e t a 1 Dy n a mi cs an d co n t r o l o f a p l an a r 3 DOF p ara l l e l ma n i p u l a t o r wit h a ct u a t io n r e d u n d ancy J Me ch ani s m a n d Ma ch i n e T h e o r y 2 0 0 9 4 4 4 8 3 5 8 4 9 WANG Li p in g WU J u n WANG J in s o n g Dy n a mic f o r mu l a t io n o f a p l a n a r 3 DOF p ara l l e l ma n i p u l a t o r wi th a ct u a t io n r e d u n d a n cy R o b o tics and C o m p u t e r I n t e g r a t e d Ma n u f a ct u r i n g 2 0 1 0 2 6 1 6 7 7 3 GALL AR DO J R I CO J M F RI S OLI A e t a 1 Dyn a mics o f p ara l l e l ma n i p u l a t o r s b y me ans o f s cr e w t h e o r y J Me ch anis mandMa ch i n e T h e o ry 2 0 0 3 3 8 1 1 1 1 3 1 1 3 1 ABDEL LA TI F H HE I MANN B Co mp u t a t io n a l e ffi cie n t i n v e r s e d y n a mics o f 6 DOF f u l l y p ara l l e l mani p u l a t o r s b y u s i n g t h e L a g r a n g ian f o r ma l i s m J Me ch anis m a n d Ma ch in e Th e o r y 2 0 0 9 4 4 1 1 9 2 2 0 7 S T EF AN S Z HANG Dan A n o v e l d y n a mic mo d e l l i n g a p p r o a ch f o r p a r a l l e l me ch anis ms ana l y s i s J R o b o t ics and C o mp u t e r I n t e g r a t e d Manu f a ctu r i n g 2 0 0 8 2 4 1 1 6 7 1 7 2 刘晓 赵铁石 边辉 等 耦合型 3自由度并联稳定平 台机构动力学分析 J 机械工程学报 2 0 1 3 4 9 1 4 5 5 2 L I U Xi a o Z HAO Ti e s h i BI AN Hu i e t a 1 Dyn a mics ana l y s i s o f a 3 DOF co u p l i n g p ara l l e l me ch an i s m for t t a b il iz e d p l a t f o rm J J o u r n a l o f Me ch anica l E n g in e e rin g 2 0 1 3 4 9 1 4 5 5 2 刘辛军 汪劲松 谢福贵 一种多轴联动混联装置 中 国 Z L 2 0 0 8 1 0 1 1 3 7 6 8 4 P 2 0 1 0 0 1 1 3 L I U Xi u n WA NG J i n g s o n g XI E F u g u i A m u l t i a x is s yn ch r o n o u s h y b r id me ch a n is m Ch in a Z L 2 0 0 8 1 0 1 1 3 7 6 8 4 P 2 0 1 0 0 1 1 3 1 7 L I U x in j u n WA NG J i n g s o n g l I M J De t e rmin a t i o n o f th e l in k l e n g t h s f o r a s p a t ia l 3 DOF p ara l l e l ma n i p u l a t o r J J o u r n a l o f Me ch ani ca l De s i g n 2 0 0 6 1 2 8 2 3 6 5 3 7 3 1 8 杨永刚 6 P R R S并联机器人关键技术的研究 D 哈尔 滨