河南省中原名校高三数学上学期第一次摸底试卷 理（含解析）.doc

河南省中原名校2015届高三 上学期第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合a=y|y=|x|1，xr，b=x|x2，则下列结论正确的是（）a3ab3bcab=bdab=b2（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）a1b1c2d33（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a的值为（）abc5d34（5分）某程序框图如右图所示，则输出的n值是（）a.21b22c23d245（5分）己知函数f（x）=lnx，则函数f（x）的零点所在的区间是（）a.（0，1）b（1，2）c.（2，3）d（3，4）6（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）abcd7（5分）若，是第三象限的角，则=（）a2bc2d8（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d29（5分）已知等差数列an的前n项和为sn（nn*），且an=2n+，若数列sn在n7时为递增数列，则实数的取值范围为（）a（15，+）b二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上）13（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m314（5分）如果双曲线=1（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2+2相切，则双曲线的离心率为15（5分）已知平行四边形abcd中，ab=1，e是bc边上靠近点b的三等分点，aebd，则bc长度的取值范围是16（5分）己知函数f（x）=，an为a1=1，d=2的等差数列，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在abc中，记角a，b，c的对边为a，b，c，角a为锐角，设向量=（cosa，sina），=（cosa，sina），且=（i）求角a的大小及向量与的夹角；（ii）若a=，求abc面积的最大值18（12分）设为随机变量，从棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率p（=0）；（2）求的分布列，并求其数学期望e（）19（12分）己知四棱锥pabcd，其中底面abcd为矩形侧棱pa底面abcd，其中bc=2，ab=2pa=6，m，n为侧棱pc上的两个三等分点，如图所示：（）求证：an平面mbd；（）求二面角bpca的余弦值20（12分）己知曲线c1：y=x2+1（y0）与x轴交于a，b两点，点p为x轴上方的一个动点，点p与a，b连线的斜率之积为4（）求动点p的轨迹c2的方程；（）过点b的直线l与c1，c2分别交于点m，q（均异于点a，b），若以mq为直径的圆经过点a，求amq的面积21（12分）已知函数f（x）=a（x1）2lnx（a为常数）（）当a=1对，求f（x）单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的最大值四、选做题（共1小题，满分10分）【选修4-l：几何证明选讲】22（10分）如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于e（）求证：dc2=dedb；（）若cd=2，o到ac的距离为1，求o的半径r【选修4-4：坐标系与参数方程】23己知抛物线y=x2+m的顶点m到直线（t为参数）的距离为1（）求m：（）若直线l与抛物线相交于a，b两点，与y轴交于n点，求|smansmbn|的值【选修4-5：不等式选讲】24己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为（）求长方体体积的最大值；（）设=（1，3，），=（a，b，c），求的最大值河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合a=y|y=|x|1，xr，b=x|x2，则下列结论正确的是（）a3ab3bcab=bdab=b考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：先求出集合a，从而找出正确选项解答：解：|x|0，|x|11；a=y|y1，又b=x|x2ab=x|x2=b故选c点评：注意描述法所表示集合的元素2（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）a1b1c2d3考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果解答：解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，br），则a=1，b=2，a+b=1故选b点评：本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题3（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a的值为（）abc5d3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：随机变量服从正态分布n（3，4），p（2a3）=p（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故选a点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目4（5分）某程序框图如右图所示，则输出的n值是（）a.21b22c23d24考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环n，p的值，当p40时退出循环，输出n的值为23解答：解：执行程序框图，有p=1，n=2第一次执行循环体，n=5，p=11p40不成立，第2次执行循环体，n=11，p=33p40不成立，第3次执行循环体，n=23，p=79p40成立，退出循环，输出n的值为23故选：c点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题5（5分）己知函数f（x）=lnx，则函数f（x）的零点所在的区间是（）a.（0，1）b（1，2）c.（2，3）d（3，4）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：将x=1，x=2代入函数的表达式，从而得出f（1）f（2）0，进而求出零点所在的区间解答：解：f（1）=ln1=0，f（2）=ln2=ln0，f（1）f（2）0，故选：b点评：本题考查了老师的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题6（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率解答：解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，阴影部分的面积为2（eex）dx=2（exex）=2，边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，落到阴影部分的概率为故选：c点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到7（5分）若，是第三象限的角，则=（）a2bc2d考点：三角函数的化简求值 专题：计算题；转化思想分析：将表达式式 中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论解答：解：由 ，是第三象限的角，可得 .，故选：c点评：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，还要注意条件中的角与待求式中角 的差别，注意转化思想的应用8（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点b时，从而得到a值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点b时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：b点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9（5分）已知等差数列an的前n项和为sn（nn*），且an=2n+，若数列sn在n7时为递增数列，则实数的取值范围为（）a（15，+）b考点：数列的求和 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：由已知写出等差数列的通项公式，然后由f（x）=得到f（x）+f=20，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）可求解答：解：an为a1=1，d=2的等差数列，an=1+2（n1）=2n1又f（x）=，f（x）+f=f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a10）=f（1）+f（3）+f（17）+f（19）=520=100故答案为：100点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了函数f（x）=的性质，关键是能够推出f（x）+f=20，是中档题三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在abc中，记角a，b，c的对边为a，b，c，角a为锐角，设向量=（cosa，sina），=（cosa，sina），且=（i）求角a的大小及向量与的夹角；（ii）若a=，求abc面积的最大值考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：（i）在abc中，由=求得cos2a=，可得a的值再根据两个向量的数量积的定义求得向量与的夹角（ii）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得abc面积bcsina的最大值解答：解：（i）在abc中，由=求得cos2a=，可得再根据=cos，求得cos，=，可得向量与的夹角，=（ii）a=，a=，由余弦定理可得a2=5=b2+c22bccosa2bcbc，求得 bc10+5，当且仅当b=c时取等号，故abc面积bcsina=的最大值为点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于基础题18（12分）设为随机变量，从棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率p（=0）；（2）求的分布列，并求其数学期望e（）考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 专题：综合题；概率与统计分析：（1）求出从正方体的八个顶点中任取四个点，共有=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，即可由概率公式求得概率（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：四点在相对面且异面的对角线上；四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望解答：解：（1）从棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的八个顶点中任取四个点，共有=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，p（=0）=（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：四点在相对面且异面的对角线上，体积为14=，这样的取法共有2种；四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为，这样的取法共有70122=56种的分布列为 0 p数学期望e（）=点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键19（12分）己知四棱锥pabcd，其中底面abcd为矩形侧棱pa底面abcd，其中bc=2，ab=2pa=6，m，n为侧棱pc上的两个三等分点，如图所示：（）求证：an平面mbd；（）求二面角bpca的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）连结ac交bd于o，连结om，利用直线与平面平行的判定定理证明：an平面mbd；（）设平面bcp的法向量为，利用向量的垂直关系，求出法向量，同样求出平面pac法向量，利用空间向量的数量积，直接求解二面角bpca的余弦值解答：（）证明：连结ac交bd于o，连结om，底面abcd为矩形，o为ac中点，m、n为侧棱pc的三等份点，mn=cm，oman，om平面mbd，an平面mbd，an平面mbd （4分）（）易知abp为等腰直角三角形，所以bp为外接圆的直径，所以pb=，pa=3如图所示，以a为原点，建立空间直角坐标系axyz，则a（0，0，0），b（3，0，0），c（3，6，0），d（0，6，0），p（0，0，3），m（2，4，1），n（1，2，2），设平面bcp的法向量为，并且，令x=1，得y=0，z=1，平面mbd的一个法向量为，（6分）设平面pac法向量为，同理可得（8分）（10分）由图可知，二面角bpca为锐角，二面角bpca的余弦值为（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）己知曲线c1：y=x2+1（y0）与x轴交于a，b两点，点p为x轴上方的一个动点，点p与a，b连线的斜率之积为4（）求动点p的轨迹c2的方程；（）过点b的直线l与c1，c2分别交于点m，q（均异于点a，b），若以mq为直径的圆经过点a，求amq的面积考点：轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用点p与a，b连线的斜率之积为4，建立方程，即可求动点p的轨迹c2的方程；（）其方程为y=k（x1）（k0），代入上半椭圆c2的方程，求出点m的坐标，同理得出点q的坐标，利用amaq，可得，即可求出amq的面积解答：解：（）不妨设点a在点b左侧，则a（1，0），b（1，0）设p（x，y）（y0），则整理得：所以动点p的轨迹c2的方程为（5分）（）由（）知，上半椭圆c2的方程为易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入c2的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点m的坐标为（xm，ym），直线l过点b，x=1是方程（*）的一个根由求根公式，得xm=，从而ym=，点m的坐标为（，）（7分）同理，由得点q的坐标为（k1，k22k）由题意可知amaq，且，即=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=（10分）所以apq的面积为（12分）点评：本题考查动点p的轨迹c2的方程，考查apq的面积，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=a（x1）2lnx（a为常数）（）当a=1对，求f（x）单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的最大值考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点 专题：导数的综合应用分析：（1）当a=l对，函数f（x）=a（x1）2lnx=x12lnx，直接求导用导数研究单调性即可（2）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，则对x（0，1），f（x）0恒成立或者f（x）0恒成立首先证明a0，f（x）=a（x1）2lnx0恒成立；其次证明函数f（x）0在区间（0，1）上不可能恒成立，只有使对x（0，1），f（x）0恒成立从当a2，当a2两种情况入手解答：解：（1）函数的定义域为（0，+）当a=1时，函数f（x）=x12lnx，由f（x）0得x2，由f（x）0得0x2故f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+）（2）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，则对x（0，1），f（x）0恒成立或者f（x）0恒成立由x（0，1），得x10，2lnx0，故若a0，f（x）=a（x1）2lnx0恒成立；若a0，首先证明函数f（x）0在区间（0，1）上不可能恒成立，令，则x0（0，1），且=所以，函数f（x）0在区间（0，1）上不可能恒成立，故要使函数f（x）在区间（0，1）上无零点，只要对x（0，1），f（x）0恒成立=，当a2，即时，由f（x）0得，由f（x）0得，即f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；此时，令，g（a）在a2递减，故g（a）g（2）=0，所以当a2时，f（x）min0，即对x（0，1），f（x）0不恒成立，a2不满足要求，a2，当a2时，即时，由f（x）0得，由f（x）0得，即f（x）在区间（0，1）上单调递减，故f（x）f（1）=0，满足对x（0，1），f（x）0恒成立，满足要求，综上，a2，即a的最大值为2点评：本题主要考查函数与导数的综合应用，带有参变量的题，要对参量的取值进行讨论，属于高档题四、选做题（共1小题，满分10分）【选修4-l：几何证明选讲】22（10分）如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于e（）求证：dc2=dedb；（）若cd=2，o到ac的距离为1，求o的半径r考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质 专题：选作题分析：（i）先证明bcdced，可得，从而问题得证； （ii）odac，设垂足为f，求出cf=，利用dc2=cf2+df2，建立方程，即可求得o的半径解答：（i）证明：连接od，oc，由已知d是弧ac的中点，可得abd=cbdabd=ecdcbd=ecdbdc=edcbcdcedcd2=dedb （ii）解：设o的半径为rd是弧ac的中点odac，设垂足为f在直角cfo中，of=1，oc=r，cf=在直角cfd中，dc2=cf2+df2r2r6=0（r3）（r+2）=0r=3点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题【选修4-4：坐