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数学模型的基本概念本节将介绍什么是数学模型及建立数学模型的方法和步骤 在日常生活和工作中 经常会遇到或用到模型 如飞机模型 坦克模型 火箭模型 水坝模型等各种实物模型 用文字 符号 图表 公式等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型 如模拟模型 数学模型等抽象模型 模型是人们所研究的客观事物有关属性的模拟 它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质 因而应具有如下的特点 1 它是客观事物的一种模拟或抽象 它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解 为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具 因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象 2 为了能协助人们解决问题 模型必须具有所研究系统的基本特征或要素 此外 还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系 有了这样的一个模型 人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素 并观察它们的效果 那末如何给数学模型下一个具体的定义呢 数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的 简化的结构 具体说来 数学模型就是为了某种目的 用字母 数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表 图形 框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式 由于各个人所站角度不同 可以给出不同的定义 故我们没有必要去追求精确的定义 那不是我们的目的 二 建立数学模型的方法和步骤1 调查研究在建模前应对实际问题的历史背景和内在机理要有深刻的了解 必须对该问题进行全面的 深入细致的调查和研究 首先要明确所解决问题的目的要求和着手收集数据 而数据是为建立模型而收集的 因此 如果在调查研究时对建立什么样的模型有所考虑的话 那么我们就按模型的需要更有目的地 更合理地来收集有关数据 收集数据时应注意精度的要求 在对实际问题作深入了解时 应向有关专家或从事实际工作的人员请教 将使你对问题的了解更快和走捷径 2 现实问题的理想化现实问题错综复杂 涉及面非常之广 因此要想建立一个数学模型来反映一个现实问题面面俱到 无所不包是不可能的 也是没有必要的 一个模型 只要能反映我们所需要的某一个侧面就行了 或者在此基础之上进一步提高 建模前必须先将问题理想化 简单化 即首先抓住主要因素 暂不考虑次要因素 在相对比较简单的情况下 理清变量之间的关系 建立相应的模型 在三级火箭模型和人口模型中会有所体会 为此对所给问题给予必要的假设 不同的假设会得到不同的模型 这一步是建立模型的关键 如果假设合理 则模型与实际问题比较吻合 如果假设不合理或过于简单 即过多地忽略了一些因素 则模型与实际情况不吻合 或部分吻合 就要修改假设 修改模型 3 建立模型在已有假设的基础上 可以着手建立数学模型 建模时应注意以下几点 1 分清变量类型恰当使用数学工具 如果实际问题中的变量是确定性变量 建模时数学工具多用微积分 微分方程 线性规划 非线性规划 网络 确定性存贮论等数学方法 如果变量是随机变量 建模时数学工具多用概率 统计 随机性存贮论 排队论 对策论 决策论 随机微分方程等数学方法 由于数学分支很多 又加之相互交叉渗透 派生出许多分支 建模具体用什么分支好 一是因问题而异 二是因人而异 应看自己对哪门学科比较熟悉精通 尽量发挥自己的特长 总之 对变量进行分析是建立模型的基础 2 抓住问题的本质 简化变量之间的关系 因为模型过于复杂 则无法求解或求解困难 就不能反映客观实际 因此应尽可能用简单的模型如线性化 均匀化等来描述客观实际 建模的原则是 模型尽可能简单 明了 思路清晰 能不采用则尽量不用高深的数学知识 不要追求模型技术的完美 侧重于实际应用 只要问题能解决 模型越简单越能被决策者所采用 3 建模要有严密推理 在已定的假设下 建模过程中推理一定要严密 以保证模型的正确性 否则会造成模型错误 前功尽弃 4 建模要有足够的精确度 由于实际问题常对精度有所要求 建模时和收集资料时要予以充分考虑 但同时实际问题又非常复杂 作假设时又要去掉非本质的东西 把本质的东西和关系反映进去 因而要掌握好这个尺度 有时要有一个反复摸索的过程 4 模型求解不同的模型要用到不同的数学工具求解 这就要求从事实际工作者对相应的数学分支知识有一定的了解 当然 由于计算机的广泛使用 利用已有的许多计算机软件为我们求解带来方便 因而尽可能地掌握已有的软件 使你解决问题省力不少 5 模型分析对模型求出的解进行数学上的分析 有助于对实际问题的解决 分析时 有时要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定性进行分析 有时根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测 为决策者提供最优决策方案 除此之外 常常需要进行误差分析 模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等 6 模型检验一个模型是否反映了客观实际 可用已有的数据去验证 如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合 则模型是成功的 至少是在过去的一段时间内是成功的 如果理论数值与实际数值部分吻合 则可找原因 发现问题 修改模型 如果理论数值与实际数值差别太大 则模型是失败的 如果模型用于预测 模型计算的理论预测值与经验推算比较相差太大 也可推知模型存在问题 必须修改 当然 并非所有的模型都要验证 如核武器竞赛模型等 7 模型的修改实际问题比较复杂 但由于理想化后抛弃了一些次要因素 因此建立的模型与实际问题就不完全吻合了 此时 要分析假设的合理性 将合理部分保留 不合理部分去掉或修改 对实际问题中的主次因素再次分析 如果某一因素因被忽略而使前面模型失败或部分失败 则再建立模型时把它考虑进去 修改时可能去掉 或增加 一些变量 有时要改变一些变量的性质 如把变量看成常量 常量看成变量 连续变量看成离散变量 离散变量看成连续变量 或改变变量之间的函数关系 如线性改为非线性或非线性改为线性 修改模型时对约束条件也要重新考虑 增加 减少或修改约束条件 8 模型应用数学模型应用非常广泛 可以说已经应用到各个领域 而且越来越渗透到社会学科 生命学科 环境学科等 由于建模是预测的基础 而预测又是决策与控制的前提 因此用数学模型对许多部门的实际工作进行指导 可节省开支 减少浪费 增加收入 特别是对未来可以预测和估计 这对促进科学技术和工农业生产的发展具有更大的意义 建立数学模型的步骤由图1 5所示 三 模型的分类数学模型可以按照问题本身所处的领域和解决问题的办法 以及按照人们的各种不同意愿有各种不同的方式分类 下面介绍几种分类方法 1 按变量性质分根据变量是确定的还是随机的可分为确定性模型和随机性模型 根据变量是连续的还是离散的可分为连续模型和离散模型 2 按时间关系分考虑模型是否因时间关系而变化可分为静态模型和动态模型 3 按所用研究方法分有初等模型 几何模型 微分方程模型 运筹学模型 概率模型 统计模型 层次分析法模型 系统动力学模型 灰色系统模型等 4 按研究对象所在领域分有经济模型 生态模型 人口模型 交通模型 战争模型 资源模型 环境模型 大气污染模型 水污染模型 气象模型 地震模型等 5 按建模目的分有分析模型 预测模型 优化模型 决策模型 控制模型等 6 按对研究对象的内部结构和性能的了解程度分有白箱模型 灰箱模型 黑箱模型 把研究对象当作一只箱子 如果所研究的对象的机理比较清楚 称为白箱 如力学 电学等一些学科中研究的问题机理相当清楚以及相应的工程技术问题 不必再研究模型构造 只是设计问题 如果对所研究对象的内部结构和性能的信息完全不知或知之甚少 称其为黑箱 如生命学科和社会学科中许多机理很不清楚的现象 如果所研究对象内部结构和性能中既有已知的又有许多未知的非确定的信息 称其为灰箱 如经济 生态 气象 管理 社会 生命等系统中的许多现象 当然白箱 灰箱和黑箱之间没有确切的界限 由于科学技术的发展和人们对该问题研究的深入 许多黑箱问题逐渐变灰 灰箱问题逐渐变白 灰箱问题 黑箱问题往往机理复杂 所知信息较少 因而建立模型困难更大 由于在这些领域 人们过去作的研究少 而这些领域又与人类休戚相关 因此我们应投入更多的精力去研究这些领域内的问题 华中理工大学邓聚龙教授等在解决灰箱问题方向作了不少工作 在国际上首先提出了解决灰箱问题的新的基本理论并用于实际取得了许多可喜的成果 黑箱问题过去作定性研究的多 但研究逐渐往定量化方向发展 定性因素数量化 是人类认识社会的需要 只有这样对生命现象和社会科学等许多领域的认识才能深刻 定性因素数量化可用模糊数学方法 优度法 比较矩阵法外 还可用文献 5 中所提供的各种方法 玩具 照片 飞机 火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 分子结构图 符号模型 1 1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 你碰到过的数学模型 航行问题 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小时20千米 小时 甲乙两地相距750千米 船从甲到乙顺水航行需30小时 从乙到甲逆水航行需50小时 问船的速度是多少 x 20y 5 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20千米 小时 数学模型 MathematicalModel 和数学建模 MathematicalModeling 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 1 2数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学进入一些新领域 为数学建模开辟了许多处女地 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 1 3数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 数学建模的一般步骤 数学建模的全过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题 翻译 成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答 翻译 回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现实世界 数学世界 1 4数学模型的特点和分类 模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性