1-2精心搜集整理的高品质高考数学复习资料.pdf

数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 考 纲 要 求 1 理解命题的概念 2 了解 若p 则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命 题 会分析四种命题的相互关系 3 理解必要条件 充分条件与充要条件的意义 热 点 提 示 1 本节主要考查充分必要条件的推理判断以及四种命题的相互关系 问题 2 本部分内容在高考试题中多以选择题 填空题的形式出现 大 多是以其他数学知识为载体 具有较强的综合性 属于中档题 目 有时也在解答题中出现 考查对概念的理解与应用 难度不 会太大 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 1 命题 用表达的 可以判断真假的 叫做命题 其中的语句叫 做真命题 的语句叫做假命题 语言 符号或式子 陈述句判断为真 判断为假 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 四种命题及其关系 1 四种命题 命题表述形式 原命题若p 则q 逆命题 否命题 逆否命题 若q 则p 若綈 p 则綈 q 若綈 q 则綈 p 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 四种命题间的相互关系 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 没有关系 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 否命题是命题的否定吗 提示 不是 命题的否命题既否定命题的条件 又 否定命题的结论 而命题的否定只否定命题的结论 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 3 充分条件与必要条件 1 若p 则q 为真命题 记p q 则的 充分条件 的必要条件 2 如果既有p q 又有q p 记作 p q 则 的充要条件 q也是p的 p是q q是p p是q 充要条件 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 1 与命题 若a M 则b M 等价的命题是 A 若a M 则b MB 若b M 则a M C 若a M 则b MD 若b M 则a M 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题 所以只 需写出原命题的逆否命题即可 故选D 答案 D 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 x y 是 x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因 x y x y 但x y x y 答案 B 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 3 命题 设a b c R 若ac2 bc2 则a b 的逆 命题 否命题 逆否命题中真命题共有 A 0个B 1个 C 2个D 3个 解析 原命题正确 则它的逆否命题也正确 逆命题 不正确 则它的否命题也不正确 正确的为逆命题 答案 B 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 4 a 1 是 直线x y 0和直线x ay 0互相垂 直 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若x y 0与x ay 0互相垂直 则x ay 0的 斜率必定为1 a 1 反之也成立 答案 C 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 5 下列命题为原命题 分别写出它们的逆命题 否 命题和逆否命题 同时分别指出它们的真假 1 若x2 5x 14 0 则x 7或x 2 2 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 逆命题 若x 7或x 2 则x2 5x 14 0 真 否命题 若x2 5x 14 0 则x 7且x 2 真 逆否命题 若x 7且x 2 则x2 5x 14 0 真 2 原命题可以写成 已知a b c d是实数 若a与b c与d都相等 则a c b d 其中 已知a b c d 是实数 是大前提 a与b c与d都相等 是条件p a c b d 是结论q 所以逆命题是 已知a b c d是 实数 若a c b d 则a与b c与d都相等 假 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 否命题 已知a b c d是实数 若a与b c与d不都 相等 则a c c d 假 逆否命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a与b c与d不都相等 真 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 例1 判断下列语句是否是命题 若是 判断其 真假 并说明理由 1 矩形难道不是平行四边形吗 2 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 3 一个数不是合数就是质数 4 大角所对的边大于小角所对的边 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 5 x y是有理数 则x y也都是有理数 6 求证 x R 方程x2 x 1 0无实数根 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 通过反诘疑问句 对矩形是平行四边形作出判 断 是真命题 2 疑问句 没有对垂直于同一直线的两条直线平行作 出判断 不是命题 3 是假命题 1不是合数也不是质数 4 是假命题 没有考虑到必须在同一个三角形中 5 是假命题 若x y 6 祈使句 不是命题 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 判断一个语句是否是命题 关键在于能否判断其真假 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 变式迁移 1判断下列语句是否为命题 若是 判断其 真假 并说明理由 1 求证 是无理数 2 x2 4x 4 0 3 你是高三的学生吗 4 若A B 则sinA sinB 5 若x R 则x2 4x 7 0 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 3 不是命题 1 是祈使句 3 是疑问句 而 2 4 5 是命题 其中 4 是假命题 2 5 是真命 题 x2 4x 4 x 2 2 0恒成立 x2 4x 7 x 2 2 3 0恒成立 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 例2 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆 否命题 命题的否定 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是偶数 3 若xy 0 则x 0或y 0 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 思路分析 本题考查四种命题及其真假判断 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 因为 x y不 都是奇数 包含 x是奇数 y不是奇数 x不是奇数 y 是奇数 x y都不是奇数 三种情况 x 0或y 0 的否定是 x 0且y 0 而不是 x 0或y 0 因为 x 0或y 0 包含 x 0且y 0 x 0且y 0 x 0且y 0 三种情况 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 原命题是真命题 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为真命 题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命 题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真 命题 命题的否定 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为 假命题 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 原命题是真命题 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 是假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 是假 命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 是 真命题 命题的否定 x y都是奇数 则x y不是偶数 是假 命题 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 3 原命题为真命题 逆命题 若x 0或y 0 则xy 0 是真命题 否命题 若xy 0 则x 0且y 0 是真命题 逆否命题 若x 0且y 0 则xy 0 是真命题 命题的否定 若xy 0 则x 0且y 0 是假命题 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题 同真同假 逆命题与否命题同真同假 所以 当判断一 个命题的真假有困难时 可以判断它的逆否命题的真假 原命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中真命 题的个数可能是0个 2个 4个 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 变式迁移 2已知函数f x 是 上的增函数 且 a b R 对命题 若a b 0 则f a f b f a f b 1 写出其逆命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出其逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 逆命题是 若f a f b f a f b 则a b 0 这是一个真命题 可从反面证明其否命题为真 因为a b 0 则a b b a 因为f x 是 上的增函数 则 f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 所以命题的否命题为 真 所以逆命题为真 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 逆否命题是 若f a f b f a f b 则a b 0 它为真 可证明原命题为真来证明它 因为a b 0 所以a b b a 因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 原命题为真 所以逆否命题为真 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 例 3 指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条 件 1 p a b 2 q 直线 x y 0 与圆 x a 2 y b 2 2 相切 2 p x x q x2 x 0 3 设 l m 均为直线 为平面 其中 l m p l q l m 4 设 2 2 2 2 p q tan tan 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 思路分析 1 先分清命题的条件与结论 2 分析由前者能否推出后者 由后者能否推出前者 也可利用反例来推证 解 1 若 a b 2 圆心 a b 到直线 x y 0 的距 离 d a b 2 2 r 所以直线与圆相切 反之 若直线 与圆相切 则 a b 2 a b 2 故 p 是 q 的充分不 必要条件 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 若 x x 则x2 x x2 x 0成立 反之 若x2 x 0 即x x 1 0 则有x 0或x 1 当x 1时 x x x 因此 p是q的充分不必要条件 3 l l m 但l m l p是q的必要不充分条件 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 4 x 2 2 时 正切函数 y tanx 是单调递增的 当 2 2 2 2 且 时 tan tan 反之也成立 p 是 q 的充要条件 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 变式迁移 3已知P x x2 8x 20 0 S x x 1 m 1 是否存在实数m 使x P是x S的充要条件 若存 在 求出m的取值范围 2 是否存在实数m 使x P是x S的必要条件 若存 在 求出m的取值范围 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 解 1 由题意x P是x S的充要条件 则P S 由x2 8x 20 0 2 x 10 P 2 10 由 x 1 m 1 m x 1 m S 1 m 1 m 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 这样的m不存在 2 由题意x P是x S的必要条件 则S P 由 x 1 m 可得1 m x m 1 综上 可知m 3时 x P是x S的必要条件 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 例4 设函数f x x x a b 1 求证 f x 为奇函数的充要条件是a2 b2 0 2 设b 1 且对任意x 0 1 f x 0恒成立 求实 数a的取值范围 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 1 证明 充分性 若a2 b2 0 则a b 0 所以f x x x 因为对任意的x R都有f x f x 0 所以f x 为奇 函数 故充分性成立 必要性 若f x 为奇函数 则对任意的x R都有 f x f x 0恒成立 即 x x a b x x a b 0 令x 0 得b 0 令x a 得a 0 所以a2 b2 0 故 必要性成立 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 2 解 f x x x a 1 当 x 0 时 a 取任意实数 f x 0 恒成立 当 0 x 1 时 f x 0 恒成立 也即 x 1 x a0 则 g x 在 0 1 内 单调递增 因为 x 1 xg 1 0 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 令 h x x 1 x 当 0 x 1 时 h x 1 x 2 0 则 h x 在 0 1 内单调递减 因为 a x 1 x恒成立 所以 a 小于 h x 在区间 0 1 内的最小值 即 a h 1 2 综上 可得 0 a 2 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 证明某个条件是某个结论的充要条件 既要考虑充 分性又要考虑必要性 它们是两个互逆的命题 要证的是 这两个互逆的命题均为真命题 求某个变量的取值范围 实质是求问题中的结论成立 的充要条件 上述问题中 实质是揭示 当b 1时 对任意x 0 1 f x 0恒成立 0 a 1 事实上 求a的 变化范围 就是为了保证在 0 a 1 且b 1 的条件 下 下面的全称命题是正确的 对任意x 0 1 恒有f x 0 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 变式迁移 4求关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一 个负根的充要条件 解 1 a 0符合题意 2 a 0时 显然方程没有零根 若方程有两异号实根 则a 0 若方程有两个负的实根 则 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 综上知 若方程至少有一个负实根 则a 1 反之 若a 1 则方程至少有一个负的实根 因此 关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一负的实根 的充要条件是a 1 数学 高考总复习人教A版 理 第一模块集合与常用逻辑用语 1 命题的判定以及命题真假的判定 1 命题的判