最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第十四章选修模块 (2).pdf

第十四章第十四章选修模块 14 1 几何证明选讲几何证明选讲 专题 2 相似三角形的判定与 性质 2015河北石家庄二中一模 相似三角形的判定与性质 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O的半径为 6 线段 AB 与 O 相交于点 C D AC 4 BOD A OB 与 O 相交于点 E 1 求 BD的长 2 当 CE OD 时 求证 AO AD 1 解 OC OD OCD ODC OCA ODB BOD A OBD AOC OC OD 6 AC 4 BD 9 6 6 4 2 证明 OC OE CE OD COD BOD A AOD 180 A ODC 180 COD OCD ADO AD AO 2015河北石家庄一模 相似三角形的判定与性质 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 O 和 M相交于 A B 两点 AD 为 M 的直径 延长 DB 交 O 于点 C 点 G 为弧 BD 的中 点 连接 AG分别交 O BD 于点 E F 连接 CE 1 求证 AG EF CE GD 2 求证 2 2 证明 1 连接 AB AC AD 为 M 的直径 ABD 90 AC为 O 的直径 CEF AGD 90 DFG CFE ECF GDF G为弧 BD 的中点 DAG GDF DAG ECF ADG CFE CEF AGD AG EF CE GD 2 由 1 知 DAG GDF G G DFG ADG DG2 AG GF 由 1 知 2 2 2 2 2 2 专题圆周角 弦切角及圆的 4切线 2015河北衡水中学二模 圆周角 弦切角及圆的切线 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆 O的直径 AB 8 圆周上过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 E 过点 B 作 AC 的平行线交 EC 的延长线于点 P 1 求证 BC2 AC BP 2 若 EC 2 求 PB 的长 5 1 证明 AB 为圆 O 的直径 ACB 90 又 AC BP ACB CBP ECA P EC为圆 O 的切线 ECA ABC ABC P ACB CBP 即 BC2 AC BP 2 解 EC为圆 O 的切线 EC 2 AB 8 5 EC2 EA EB EA EA AB EA 2 ECA ABC ACE CBE 1 5 AB 为圆 O 的直径 ACB 90 AC2 BC2 AB2 AC 由可得 PB 46 3 206 3 专题 5 圆内接四边形的判定及 性质 2015河北唐山一模 圆内接四边形的判定及性质 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆周角 BAC 的平分线与圆交于点 D 过点 D的切线与弦 AC 的延长线交于点 E AD 交 BC 于点 F 1 求证 BC DE 2 若 D E C F四点共圆 且 求 BAC 1 证明 因为 EDC DAC DAC DAB DAB DCB 所以 EDC DCB 所以 BC DE 2 解 因为 D E C F四点共圆 所以 CFA CED 由 1 知 ACF CED 所以 CFA ACF 设 DAC DAB x 因为 所以 CBA BAC 2x 所以 CFA FBA FAB 3x 在等腰 ACF 中 CFA ACF CAF 7x 则 x 7 所以 BAC 2x 2 7 2015江西赣州高三摸底考试 圆内接四边形的判定及性质 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 AB 为圆 O 的一条直径 以端点 B 为圆心的圆交直线 AB于 C D 两点 交圆 O 于 E F 两点 过 点 D作垂直于 AD 的直线 交直线 AF 于点 H 1 求证 B D H F 四点共圆 2 若 AC 2 AF 2 求 BDF 外接圆的半径 2 1 证明 因为 AB为圆 O 的一条直径 所以 BF FH 又 DH BD 所以 B D H F四点共圆 2 解 因为 AH 与圆 B相切于点 F 由切割线定理得 AF2 AC AD 代入解得 AD 4 所以 BD AD AC 1 BF BD 1 1 2 又 AFB ADH 所以 由此得 DH 2 连接 BH 由 1 知 BH 为 BDF 外接圆的直径 BH 2 2 3 故 BDF的外接圆半径为 3 2 专题 6 圆的切线的性质与 判定 2015河北保定一模 圆的切线的性质与判定 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 O1与 O2相交于 A B 两点 过点 A 作 O1的切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆的割线 分 别交 O1 O2于点 D E DE 与 AC 相交于点 P 1 求证 AD EC 2 若 AD是 O2的切线 且 PA 6 PC 2 BD 9 求 AD 的长 1 证明 连接 AB AC是 O1的切线 BAC D 又 BAC E D E AD EC 2 解 PA 是 O1的切线 PD 是 O1的割线 PA2 PB PD 62 PB PB 9 PB 3 在 O2中 由相交弦定理得 PA PC BP PE PE 4 AD 是 O2的切线 DE是 O2的割线 AD2 DB DE 9 16 AD 12 2015河北石家庄高三质检二 圆的切线的性质与判定 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 PA 与圆 O 相切于点 A 经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B C APC 的平分线分别交 AB AC于点 D E 且点 G 是线段 ED 的中点 AG 的延长线与 CP 相交于点 F 1 证明 AF ED 2 当 F 恰为 PC 的中点时 求的值 1 证明 如图 直线 PA 与圆 O 相切于点 A PAB C APE CPE ADE PAB APE AEP C CPE ADE AEP 又 G是 DE 的中点 AF ED 2 解 直线 PA 与圆 O 相切于点 A PA2 PB PC 在 PAF 中 APG FPG 由 1 知 PG AF 即 PGF PGA 90 PAG PFG PA PF PC 1 2 PC2 PB PC PC 4PB 1 4 1 4 专题 7 与圆有关的比例 线段 2015江西南昌一模 与圆有关的比例线段 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 PA 为圆 O 的切线 A 为切点 PO 交圆 O 于 B C 两点 PA 20 PB 10 BAC 的角平分线与 BC 和 圆 O分别交于点 D 和 E 1 求证 AB PC PA AC 2 求 AD AE的值 1 证明 PA 为圆 O 的切线 PAB ACB 又 P 为公共角 PAB PCA AB PC PA AC 2 解 PA 为圆 O 的切线 PC 是过点 O 的割线 PA2 PB PC PC 40 BC 30 又 CAB 90 AC2 AB2 BC2 900 又由 1 知 AC 12 AB 6 1 2 55 连接 EC 则 CAE EAB ACE ADB AD AE AB AC 6 12 360 55 2015江西南昌二模 与圆有关的比例线段 解答题 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 在圆内接四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 E 过点 A作圆的切线交 CB 的延长线于点 F 若 AB AD AF 18 AD BC BC 15 求 AE 的长 解 AF是圆的切线 且 AF 18 BC 15 由切割线定理得到 AF2 FB FC 182 FB FB 15 FB 12 AB AD ABD ADB 则 FAB ABD AF BD 又 AD FC 四边形 ADBF 为平行四边形 AD FB 12 ACF ADB F AC AF 18 AD FC 解得 AE 8 18 14 2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 专题 5 参数方程与普通方程的 互化 2015河北唐山一模 参数方程与普通方程的互化 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知椭圆 C 1 直线 l t 为参数 2 4 2 3 3 3 23 1 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程 2 设 A 1 0 若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l的距离相等 求点 P 的坐标 解 1 C 为参数 2cos 3sin l x y 9 0 3 2 设 P 2cos sin 由题可知 0 1 2 4 sin cos 1 2 4 sin cos 0 又 0 且 t1 0 t2 0 0 2 PM PN t1 t2 t1 t2 4 sin cos 4sin 2 4 由 得 0 2 4 4 3 4 sin 1 2 2 4 故 PM PN 的取值范围是 4 4 2 2015河北石家庄二中一模 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数 方程 在直角坐标系 xOy中 圆 C 的参数方程 为参数 以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建 1 cos sin 立极坐标系 1 求圆 C的极坐标方程 2 直线 l的极坐标方程是 2 sin 3 射线 OM 与圆 C 的交点为 O P 与直线 l 的交点为 Q 3 3 3 求线段 PQ的长 解 1 圆 C的普通方程为 x 1 2 y2 1 又 x cos y sin 所以圆 C 的极坐标方程为 2cos 2 设 P 1 1 则由得 1 1 1 2cos 3 3 设 Q 2 2 则由得 2 3 2 sin 3cos 33 3 3 所以 PQ 2 2015河北衡水中学二模 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方 程 在直角坐标系 xOy中 曲线 C 的参数方程为 t为参数 以该直角坐标系的原点 O 为极点 x 2 1 轴的正半轴为极轴的极坐标系下 曲线 P 的方程为 2 4 cos 3 0 1 求曲线 C的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程 2 设曲线 C和曲线 P 的交点为 A B 求 AB 解 1 曲线 C 的普通方程为 x y 1 0 曲线 P 的直角坐标方程为 x2 y2 4x 3 0 2 曲线 P 可化为 x 2 2 y2 1 表示圆心为 2 0 半径 r 1 的圆 则圆心到直线 C 的距离为 d 1 2 2 2 所以 AB 2 2 2 2 2015江西九校高三联考 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方 程 在平面直角坐标系中 直线 l的参数方程为 t为参数 若以坐标原点 O 为极点 x 轴正半 1 3 5 1 4 5 轴为极轴建立极坐标系 则曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 4 1 求曲线 C的直角坐标方程 2 求直线 l被曲线 C 所截得的弦长 解 1 由 sin得 cos sin 2 4 两边同乘以 得 2 cos sin x2 y2 x y 0 即 1 2 2 1 2 2 1 2 2 将直线参数方程代入圆 C 的方程得 5t2 21t 20 0 t1 t2 t1t2 4 21 5 MN t1 t2 1 2 2 4 1 2 41 5 2015河北石家庄高三质检二 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参 数方程 在平面直角坐标系 xOy中 曲线 C1的参数方程为 其中 t为参数 以坐标原点 O 为极点 x轴 4 2 4 正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度 曲线 C2的极坐标方程为 cos 4 2 2 1 把曲线 C1的方程化为普通方程 C2的方程化为直角坐标方程 2 若曲线 C1 C2相交于 A B两点 AB的中点为 P 过点 P 作曲线 C2的垂线交曲线 C1于 E F 两点 求 PE PF 的值 解 1 消去参数可得 C1 y2 4x C2 x y 1 0 2 设 A x1 y1 B x2 y2 且 AB中点为 P x0 y0 联立可得 x2 6x 1 0 2 4 1 0 x1 x2 6 x1x2 1 0 1 2 2 3 0 2 AB 中垂线的参数方程为 t为参数 3 2 2 2 2 2 y2 4x 将 代入 中 得 t2 8t 16 0 t1 t2 16 2 PE PF t1 t2 16 2015河北石家庄一模 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为 为参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极 2cos 3sin 坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 2 1 分别写出 C1的普通方程 C2的直角坐标方程 2 已知 M N分别为曲线 C1的上 下顶点 点 P 为曲线 C2上任意一点 求 PM PN 的最大值 解 1 曲线 C1的普通方程为 1 2 4 2 3 曲线 C2的普通方程为 x2 y2 4 2 由曲线 C2 x2 y2 4 可得其参数方程为 2cos 2sin 所以 P 点坐标为 2cos 2sin 由题意可知 M 0 N 0 33 因此 PM PN 2cos 2 2sin 3 2 2cos 2 2sin 3 2 7 43sin 7 4 3sin PM PN 2 14 2 49 48sin2 所以当 sin 0时 PM PN 2有最大值 28 因此 PM PN 的最大值为 2 7 2015江西南昌一模 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 以坐标原点为极点 以 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 C 的参数方程 t 为 2cos 2sin 参数 1 曲线 C在点 1 1 处的切线为 l 求 l 的极坐标方程 2 点 A 的极坐标为 且当参数 t 0 时 过点 A 的直线 m 与曲线 C 有两个不同的交点 试求 2 2 4 直线 m的斜率的取值范围 解 1 x2 y2 2 点 1 1 在圆上 2cos 2sin 故切线 l的方程为 x y 2 sin cos 2 切线 l的极坐标方程为 sin 4 2 2 y k x 2 2 与半圆 x2 y2 2 y 0 相切时 2 2 1 2 2 k2 4k 1 0 k 2 k 2 舍去 33 设圆与 x轴的左交点为 B 坐标为 0 kAB 2 2 2 0 2 2 2 故直线 m 的斜率的取值范围为 2 2 32 2015江西南昌二模 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 已知圆 O 的参数方程是 是参数 直线 l 的极坐标方程是 sin 1 2 2 2 cos 1 2 2 2 sin 4 2 2 1 求圆 O和直线 l的直角坐标方程 2 求直线 l与圆 O 公共点的一个极坐标 解 1 圆 O的参数方程可以化为 1 2 2 2 cos 1 2 2 2 sin 所以圆 O 的直角坐标方程是 1 2 2 1 2 2 1 2 直线 l的极坐标方程可以化为 sin cos 2 2 2 2 2 2 所以直线 l的直角坐标方程为 x y 1 0 2 由 2 2 0 1 0 得 0 1 故直线 l与圆 O 公共点为 0 1 该点的一个极坐标为 1 2 2015江西赣州高三摸底考试 极坐标方程与参数方程的应用 解答题 理 23 选修 4 4 坐标系与参 数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 点 A B 的极 坐标分别为 2 a R 曲线 C 的参数方程为 为参数 4 1 2cos 2sin 1 若 a 2 求 AOB 的面积 2 2 设 P 为 C上任意一点 且点 P 到直线 AB的最小距离为 1 求 a 的值 解 1 S AOB 2 2 sin135 2 1 2 2 2 依题意知圆心到直线 AB的距离为 3 当直线 AB 斜率不存在时 直线 AB的方程为 x 2 显然符合题意 此时 a 2 2 当直线 AB 存在斜率时 设直线 AB的方程为 y k x 2 则圆心到直线 AB 的距离 d 3 1 2 依题意有 3 无解 3 1 2 故 a 2 2 14 3 不等式选讲不等式选讲 专题 1 含绝对值不等式的 解法 2015河北保定一模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 设函数 f x x a 1 a R 1 当 a 4时 解不等式 f x 0 n 0 求证 m 2n 3 2 1 1 2 1 解 当 x 4时 2x 1 x 4 x 5 0 解得 x 5 所以 x 4成立 当 x0 1 2 解得 x 1 所以 1 x 4成立 当 x0 解得 x 5 1 2 所以 x1 或 x0 n 0 1 1 所以 m 2n m 2n 3 3 2 1 1 2 2 当且仅当 m 1 n 1 时取等号 2 2 2 2015河北石家庄二中一模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 设 f x x 1 x 1 1 求 f x x 2 的解集 2 若不等式 f x 对任意实数 a 0 恒成立 求实数 x 的取值范围 1 2 1 解 1 由 f x x 2得 2 0 1 1 1 2 或 2 0 1 1 1 1 2或 2 0 1 1 1 2 解得 0 x 2 所以 f x x 2 的解集为 x 0 x 2 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 当且仅当 0时 等号成立 1 1 2 1 由不等式 f x 对任意实数 a 0 恒成立得 x 1 x 1 3 1 2 1 则 1 1 1 3或 1 1 1 1 3或 1 1 1 3 解得 x 或 x 3 2 3 2 2015河北衡水中学二模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x 2x 1 2x 3 x R 1 解不等式 f x 5 2 若不等式 m2 m f x 对 x R 都成立 求实数 m的取值范围 解 1 原不等式等价于 3 2 4 4 5 解得 x x x 1 4 1 2或 1 2 3 2或 3 2 9 4 因此不等式的解集为 1 4 9 4 2 f x 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 2 m2 m f x min 2 m2 m 2 0 1 m 2 2015河北石家庄高三质检二 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 f x 3 x a 3 1 1 若 a 1 求 f x 8的解集 2 对任意 a 0 任意 x R f x m 恒成立 求实数 m的最大值 解 1 当 a 1时 由 f x 8 得 3x 1 3 x 1 8 当 x 时 3x 1 3 x 1 8 x 1 1 3 x 1 当 x 1时 3x 1 3 x 1 8 无解 1 3 当 x 1时 3x 1 3 x 1 8 x 5 3 综上所述 f x 8的解集为 x 1 5 3 2 f x 3 x a 3 1 2 m 3 1 3 3 1 3 3 当且仅当 3a 即 a 时 等号成立 所以 m 的最大值为 2 1 3 3 3 2015河北石家庄一模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x 的定义域为 R 1 3 1 求实数 m的取值范围 2 若 m的最大值为 n 当正数 a b 满足 n 时 求 7a 4b 的最小值 2 3 1 2 解 1 因为函数 f x 的定义域为 R 所以 x 1 x 3 m 0 恒成立 设函数 g x x 1 x 3 则 m 不大于函数 g x 的最小值 又 x 1 x 3 x 1 x 3 4 即 g x 的最小值为 4 所以 m 4 2 由 1 知 n 4 所以 7a 4b 7 4 2 3 1 2 4 6 2 2 2 3 1 2 4 5 2 3 2 2 2 3 4 5 4 4 9 4 当且仅当 a 2b 3a b 即 b 2a 时 等号成立 3 10 所以 7a 4b 的最小值为 9 4 2015河北唐山一模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x 2x a x 1 1 当 a 1时 解不等式 f x 3 2 若 f x 的最小值为 1 求 a的值 解 1 因为 f x 2x 1 x 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 且 f 1 f 1 3 所以 f x 3的解集为 x 1 x 1 2 2x a x 1 x 1 0 2 2 1 2 1 2 当且仅当 x 1 0且 x 0 时 等号成立 2 2 所以 1 解得 a 4 或 a 0 1 2 2015江西南昌一模 含绝对值不等式的解法 解答题 理 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x x a a R 1 若 a 2 解关于