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数学模型 第一章 第一章 数学模型的概念数学模型的概念 1 数学模型与现实世界的关系 2 怎样建立数学模型 3 数学模型的分类 1 E A 本德的提法 数学模型是 关于部分现实世界为一定目的而作的抽象 简化的数学结构 总之 数学模型是一种抽象的模拟 它用数学符号 数 学式子 程序 图形等刻划客观事物的本质属性与内在联系 是现实世界的 简化而又本质的描述 2 一个实例 用开普勒三定律和牛顿第二定律推导万有引力定律 牛顿在力学 上的重要贡献之一 一 开普勒三定律就是 1 行星轨道是一个椭圆 太阳位于此椭圆的一个焦点上 2 行星在单位时间内扫过的面积不变 3 行星运动周期的平方正比于椭圆长轴的三次方 比例系数不随行星 而改变 二 牛顿第二定律 rf t 汽车耗时 x 步行时间 10530utxz utz 25 x 3 模型分类 1 认识程度 白箱 如 力学 电路理论 研究对象的优化设计和控制问题 灰箱 化工 水文 地质 交通 经济 尚不完全清楚 黑箱 生态 生理 医学 社会等领域中一些机理 指数量关系方面 更 不清楚的现象 2 按照变量的情况 离散 连续 或 确定 随机 或 线性 非线性 或 单变量 多变量 3 按照时间变化对模型的影响 静态 动态 或 参数定常 参数时变 4 按照精密程度 集中参数 系统的输入能立刻到达系统内各点 常微分方程 分布参数 系统的输入要经过一段时间才能传播到系统内各点 偏微分方 程 5 按照研究方法和对象的数学方法特征 初等模型 优化模型 逻辑模型 稳定性模型 扩散模型 6 按照研究对象的实际领域 人口模型 交通模型 生态模型 生理模型 经济模型 社会模型 第二章第二章 初等模型初等模型 第一节 稳定的椅子 第一节 稳定的椅子 4个一样长的脚个一样长的脚 注 4个脚一样长的方桌一定能放平稳 假设 1 椅子的四条腿一样长 四脚的连线成正方形 2 地面是数学上的连续曲面 记 A C两脚与地面距离之和为 g B D两脚与地面距离之和为 f 不妨设0 0 g 我们注意到 椅子在任何位置 总有三只脚可以着地 即 对任意 f和 g中总有一个为零 则稳定的椅子可归结为下面的数学问 题 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 假设 f和 g是 的连续函数 0 0 g 0 0 f 且对任意 0 gf 求证 存在 0 使0 00 gf 将椅子转动 o 90 对角线互换 由0 0 g和0 0 f 可得 0 2 f 和0 2 g 令 gfh 则0 0 h 0 2 0 事实上 无 论 r多么大 rxy 的意义即乙方弹头数为甲方的 r倍 由于乙方的 打击不可能摧毁甲方的所有弹头 设甲方每枚弹头的幸存率为 0 rp 甲方只需不少于 min 0 xrxpxxr 存在 即可认为自己时安全的 故 rxy 必与 yfx 相交而进入甲方的安全区 同理 rxy 也与 xgy 相交而进入乙方的安全区 从草图上可以看出 1 乙方提高弹头数 可导致甲方亦提高弹头数 2 提高甲的幸存率 0 rp 可减少甲的弹头数及乙的弹头数 可以预料 核军备竞赛将进一步升级 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 第三节第三节 量纲分析量纲分析 量纲 一种表示不同物理特性的量 人们称之为 量纲 常常记为 其中基本的量纲通常是质量 M 长度 L 和时间 T 其余物理量的量纲 可以用基本量纲来表示 如速度的量纲是 1 LT 加速度的量纲是 2 LT 从而力 的量纲是 2 MLT 量纲分析 根据当度量量纲的基本单位改变时 物理公式本身并不改变 等号的两端必须保持量纲的一致 同时要求两端量纲的单位也保持一致 量纲齐次 当量纲的各项具有相同量纲时 这个方程被称为是 量纲齐 次 的 物理定律中出现的各项必须具有相同的量纲 例 1 万有引力定律中 出现的量纲量有 G 12 mm r和 F 考察 edcba FrmmG 21 的量纲 232231eaedaaecb e dcb a TLMMLTLMMTLM 欲使 为无量纲 0 03 0 ea eda aecb 0 10001 11003 10111 e d c b a 行满 所以秩 r 3 所以解空间二维 取 0 1 b a T T edcba1 2 2 0 1 取 1 0 b a T T edcba0 0 1 1 0 得 2 1 2 2 2 2 1 m m Fr Gm 由于 式的任一解均可用基线性表示 而 G 12 mm r和 F的一切无量 纲乘积均可用1 与2 的乘积和商来表示 万有引力定律 01 21 定理定理 Buckingham 定理 方程当且仅当可以表示为 0 21 L f 时 它 才是量纲齐次的 其中 f 是某一函数 L 21 为问题包含的变量与常数的无 量纲积 例例 2 理想单摆周期 考察一个质量集中于距离支点为l的质点上的无 阻尼单摆 其运动为某周期 t 的左右摆动 试分析 t 与其它变量之间的关系 解 包含的量有 2 LlLTgMmTt 考察 edcba ltgm 量纲为 dcdba TLM 2 e可任取 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 欲使 为无量纲的量 令 0 0 20 a bd cb 0 0120 1010 0001 d c b a 取 0 1 e b T T edcba0 1 2 1 0 取 1 0 e b T T edcba1 0 0 0 0 2 2 1 l gt 由 定理 存在 f 使 0 21 f 或 21 h 即 2 h l gt g l kaswrite g l ht 可以证明 当 很小时 2 k 即 g l t 2 量纲分析的一般步骤如下 I 将与问题有关的有量纲的物理量 变量和常数 记做12 n x xxL 按照物 理意义确定这个问题的基本量纲 记做12 m XXXL II 记 n i i i x 1 这是物理量之间的关系式 其中i 待定 为无量纲 量 将i x 的量纲用基本量纲表示为 1 1 2 ijm ij j xXin L 利用已有的物理知识定出ij III 利用 式得到 式的量纲表达式 1 1 n i i m ij j j X 即 1 1 m j n iji j i X 1 0 1 1 m j n miji i jj j XX IV 解线性方程组 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 1 0 1 mj n i iij L 0 2 1 21 22212 12111 nnmmm n n M L LL L L 若方程组秩为 r 则有 n r个基本解 记做 12 1 2 T ssss n snr LL 于是得到 n xxx 21 L 之间的 n r个关系式 1 1 2 i n s is i xsnr L 其中s 是无量纲的量 第四节第四节 比例方法比例方法 例 1 四足动物的身材 问题 四足动物的躯干 不包括头 尾 的长度和 它的比重有什么关系 实际意义 比如 一个在生猪收购站或屠宰场工作的人 往往希望能从生 猪的身长估计它的重量 根据弹性理论知 2 3 sd fl 又Q 2 3 2 4 d l ld l slmmf 动物的相对下垂度 进化 l 常数 23 dl 又Q 2 dsslf 44 klflf 由统计数据定出 k 即得 f与l之间得关系式 例 2 雨中行走问题 走多快才能少淋雨呢 解 用 0 0 u 表示人的速度 zyx vvv 表示雨速 l表示行走的距离 则行走 的时间为 u l 假定人体为长方体 则前 侧 顶的面积之比为 TL 1 则单位时间淋雨量为 TvLvvuTLvvvu zyxzyx 10 0 总淋雨量为 avu u l uR x 其中 0 TvLva zy 数学问题 已知 avl x 求 u为何值时 R u 最小 分两种情况讨论 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 1 0 x v 时 当 avx 时 取x vu 使 R u 取最小值 min R x v la 当 x va 2 aul aul u al uR 故当u a 时 R u 达最小 12 0 avx 时 应取x vu 可以使前后不淋雨 则淋雨量最小 其它 情况下都应使 u尽可能地大 第五节第五节 最短路径与最速方案的几个问题最短路径与最速方案的几个问题 1 最短路径问题 例 1 今有一个半径为 1公里的圆形湖 湖心在连接 A B两点的线段上 有一个步行者想从 A处步行到 B处去 除不能涉水过湖外 他不受其他限制 问怎样的路径对他来说是最近的 假设 路径是空间中的连续曲线 猜测 过 A作圆的切线 AE 切圆于 E 点 过 B作圆的切线 BF 切圆于 F 点 最短路径为由曲线 AE 弧 EF和线段 FB 组成的连续曲线 隐含着平面中 两点间的最短路径为连接两点的线段 现证之 不妨设此人从湖的 上 方通过而到达 B处 显然 由射线 EA 弧 EF和射线 FB围成的平面区域是平面中的凸集 不难得到 最短路径 不能经过此凸集外的任意一点 否则 设其过凸集外的某点 M 则由分离定 理 必存在一直线 H 将 M与凸集严格分离开来 由路径 是连续曲线 故必在路径中有一段包含 M的弧21MM M 与凸集分 离 这样 弧21M M 比弧21MM M 短 从而证得 AE 弧 EF FB为最短路线 x xx x xx l val vualuv uu R u l avl uvaluv uu PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 结论 结论 若可行区域得边界是光滑曲面 则最短路径必由下列弧组成 1 空间中 的自然最短曲线 或者 2 可行区域的边界弧 而且组成最短路径的各 段弧在连接点处必定相切 例 2 一辆汽车停于 A处并垂直于 AB方向 此汽车可转的最小圆半径为 R 求不倒车而由 A到 B的最短路 解 情况 1 若 RAB2 最短路线由弧 AC和切线 BC组成 情况 2 若 RAB2 则最短路线必居于 a b 两曲线之中 可以证 明 b 中的曲线弧 ACB更短 2 最速方案问题 例 3 将一辆急待修理的汽车由静止 A点 开始沿一直线方向推至相隔 s米的修理处 B点 设阻力不计 请给出推车人能使车快速到达修理处的方 案 解 这种问题不易控制 v 速度 及 s 位移 但可以控制 a 加速度 设 12 0 0 v Av Bfff m f a m f 21 第六节第六节 状态转移问题状态转移问题 问题 1 人 狗 鸡 米过河问题 人 狗 鸡 米均要过河 船需要人划 另 外 至多还能载一物 而当人不在时 狗要吃鸡 鸡要吃米 问人 狗 鸡 米怎样过河 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 解 过河状态为 1 未过为 0 则有 10个可取状态 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 运算向量 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 定义加法 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 问题转化为 对 1 1 1 1 如何进行奇数次的运算 使之化为 0 0 0 0 方法 1 编写程序 包含有多个条件和判断语句 用计算机计算 但此方 法较烦 可能会出现重复 方法 2 图论方法 用简单的计算 给出可取状态 人在此岸 与 人 在对岸 之间的对应关系 可得两个等优的解 一条是 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 另一条是 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 问题 2 夫妻过河问题 有三对夫妻要过河 船最多能载两人 由于封建意识 严重 要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起 如何安 排三对夫妻过河 阿拉伯早期的一道趣味数学题 一 把问题化为状态转移问题 用向量 H W 表示有 H个男子 W个女子在南岸 其中 3 0 WH 共有 10 个可取状态 0 0 0 1 0 2 0 3 3 0 3 1 3 2 3 3 1 1 和 2 2 运算向量为 1 1 nm jj 其中 2 1 0 nm 且 L3 2 1 21 jnm 在以上假设下 问题可转化为 求由状态 3 3 经奇数次可取运算转移到 0 0 的转移过程 步骤如下 j 1 LL 3 1 3 2 2 2 1 3 2 3 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 3 3 11 11 11 11 11 二 用图解法求解 运动规则为 1 第奇数次需向左或下运动 1 2格 2 第偶数次需向右或上运动 1 2格 3 每次运动必须落在可取状态 即点 o 上 Ex 有三名商人各带一名仆人 现需过河 小船过河能载三人 商人已获得仆 人的阴谋 在河的另一岸 只要仆人数超过商人数 仆人会将商人杀死并窃取 货物 安排如何乘船的权利掌握在商人手中 试为商人制定一个安全过河方 案 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 第七节第七节 铺瓷砖问题铺瓷砖问题 要用 40块方形瓷砖铺设如图 7 1所示图形的地面 但当时商店只有长方形 瓷砖 每块大小等于方形的两块 一人买了 20块方形瓷砖 试试看铺地面 结 果弄来弄去始终无法完整铺好 黑格 21 白格 19 用 19块长方形 而 2个黑格无法用一块长方形盖住 必须断一为二 这种方法称为 奇偶校验 即是如果两个数都是奇数或偶数 则称具有 相同的奇偶性 如果一个数是奇数 另一个数是偶数 则称具有相反的奇偶 性 在铺瓷砖问题中 同色的两个格子具有相同的奇偶性 异色的两个格子具 有相反的奇偶性 长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格 因此 19 块长方形瓷砖在地面上铺好后 只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性 时 才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上 由于剩下的两个方格具有具有相同 的奇偶性 因此无法铺上最后一块长方形瓷砖 这就从理论上证明了用 20块长 方形瓷砖铺好图 7 1 所示的地面是不可能的 欧氏证明 2是无理数就用了 奇偶校验 在物理学中也有着重要的证 明 如 1957年美籍华人杨振宁和李政道推翻著名的 宇称守恒定律 以其卓 越的成就而获得诺贝尔奖金 其中就用了奇偶校验方法 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 第三章第三章 微分方程模型微分方程模型 第一节第一节 发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭 火箭是一个复杂的系统 为了使问题简单明了 我们只从动力系统及整体 结构上分析 并假定引擎是足够强大的 1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星 1 卫星能在轨道上运动的最低速度 2 2 gRK R mK mg 2 2 2 2 r R mg r mRg r mK F 向心力 使卫星作匀速圆周运动 故 r mv F 2 从而 r g Rv 现设 81 9 g 米 秒 2 离地面高度 公里 100 200 400 600 800 1000 v 7 86 7 80 7 69 7 58 7 47 7 37 公里 秒 2 火箭推进力及速度的分析 假设 火箭重力及空气阻力均不计 考虑 2 tOt dt dm tmttm 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u 常数 由动量守恒定理 utvtOt dt dm ttvttm utvtmttvttmtvtm 2 2 tOt dt dm tmttm 2 tOt dt dm ttvttvtmttvttm 2 tOutvt dt dm t dt dm ttvttvtmtvtm 2 tOutvt dt dm t dt dm ttvtvttvtm 两边同除 t 并令0 t 得 dt dm u dt dv m dt dm utv dt dm dt dm tv dt dv m 由此解得 ln 0 0 tm m uvtv 0 m 是火箭初始质量 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 提高 u 或提高 0 tm m 之比 tv 3 目前技术条件下一级火箭末速度得上限 火箭 卫星系统得质量分成三部分 I p m 有效负载 如卫星 II F m 燃料质量 III s m 结构质量 如外壳 燃料容器及推进器 sp mm m uv 0 ln 一般来说 结构质量s m 在Fs mm 中应占有一定得比例 在现有技术 下 要使燃料仓与发动机得质量和小于所载燃料的 8 1 或 10 1 是很难做到的 设 0psFs mmmmm p mm m uv 1 ln 0 0 对于给定的 u值 当 0 p m时 火箭所能达到的速度为 1 lnuv 已知目前火箭燃料的skmu 3 如果取1 0 则skmv 7 又 vQ 末 r g R 取kmrkmRsmg70006006400 6400 81 9 2 skmv 6 7 而由前面推出卫星要进入圆形轨道 火箭末速度应为skm 6 7 是在假 定忽略空气阻力 重力 不携带任何东西的情况下 由此得出 如上的 单级火箭是不能用于发射卫星的 缺陷缺陷 在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底 但当燃料耗尽时 发 动机加速的仅仅是一个空的燃料仓 因此 有待改进火箭的设计 改进改进 不断丢弃无用部分 t dt dm 表示丢弃的结构质量 t dt dm 1 表示燃烧掉的燃料喷 出的气体质量 理想连续丢弃理想连续丢弃 建模 由动量守恒定律 1 uvt dt dm tvt dt dm ttvttmtvtm 2 tOt dt dm ttvttvtm 整理 并令 0 t 得 ln 1 1 0 tm m utv dt dm u dt dv m PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 v 末 p m m u 0 ln 1 考虑空气阻力 重力 理想要达到 v末 10 5km s 而不是 7 6km s 如果取 50 3 1 0 0 p m m skmu 即 1 t 重的卫星需要造一个 50 t 重 的火箭 4 理想过程的实际化 连续丢弃用逐级丢弃近似 令i m 第 I 级质量 燃料 结构 i m 为结构质量 i m 1 为燃料质 量 假设 u一样 以分析三级为例 p mmmmm 3210 321 0 1 ln mmmm m uv p 32 32 12 ln mmm mmm uvv p p 3 3 23 ln mm mm uvv p p 3 3 32 32 321 03 3210 ln mm mm mmm mmm mmmm m u v mmmmm p p p p p p 选取321 mmm 使p m 最大 令 3 3 3 32 2 32 0 1 p p p p p m mm a mm mmm a mmm m a 式则变为 3312 123 ln 1 1 1 1 1 1 vaaa uaaa 由于321 aaa 是对称的 故当321 aaa 时 321 aaa取最小值 即 p m 最大 令 u v e a a a a u v aaaa 3 3 321 1 1 1 1 ln 记 3 03 1 pm m ep p u v 设 v 10 5km s u 3km s 77 1 0 0 p m m 二级 n级同理 级数 n 1 2 3 4 5 质量 t 149 77 65 60 50 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 传染病传播的数学模型传染病传播的数学模型 生物医学中的数学模型 1 传染病传播的数学模型 2 疾病的数学模型 人们将传染病的统计数据进行处理和分析 发现在某以民族或地区 某种传染 病传播时 每次所涉及的人数大体上是一常数 这一现象如何解释呢 分析 传染病传播涉及的因素 人口多少 易受传染的人有多少 传染率 的大小 排除率的大小 人员的迁入或迁出 潜伏期 先考虑最简单的情形 模型一模型一 假设 1 每个病人在单位时间内传染的人数是常数 K 2 一人得病后 经久不愈 人在传染期间不会死亡 记 ti 表示 t 时刻病人数 0 K 表示每个病人单位时间内传染得人数 0 0 ii 即最初有 0 i 个传染病人 则在 t 时间内增加的病人数为 ttiKtitti 0 0 0 0 ii tiK dt tdi 其解为 tK eiti 0 0 表明 传染病的传播是按指数函数增加的 初期吻合较好 但 tit 这是不符合实际的 假设 1 有问题 模型二模型二 用 tsti表示 t 时刻传染病人数和未被传染人数 0 0 ii 假设 1 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正 比 即 0 tKsK 假设 2 一人得病后 经久不愈 人在传染期内不会死亡 假设 3 总人数为 n 即ntits 0 0 0 ii ntits tiK dt tdi 得 inK e i n n ti 11 0 可以用来预报传染较快得疾病前期传染病高峰到来的时间 2 0 0 2 11 1 tnK tnK e i n e i n kn dt di 此函数称为传染病曲线 它表示传染病人增加率与时间的关系 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 令 0 2 2 dt tid 得极大点为 nK i n t 1ln 0 1 由此可见 当